時間の遅れ計算

遅れる時間 = ローレンツ因子 × 固有時。ローレンツ因子は1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

動いている時計の速さを光速の割合で表したものです。0.9ならcの10分の9という意味です。この形で入れてもらうのは意図的で、ここでの単位は光速そのもので、打ち込まなければならない定数ではありません。欄は0から1までで、ちょうど1はこのページが使えない値です。式全体がそこで0になるもので割っているからです

Δτ

固有時、つまり動いている時計そのものが読む時間です。時間・分・秒・日で入れます。2つの時間のうち小さいほうで、旅人が経験するほうです。このページには時計が2つあり、これはもう一方と混同してはいけないほうです。船内の乗員が経験する形で旅を入れ、管制側の形では入れないでください

γ

ローレンツ因子、1 ÷ √(1 − v²/c²)です。比なので単位はつかず、小数第4位まで表示します。このページの主題そのものです。人が乗る乗り物が出せる速さでは、小数第11位まで1と一致します。1,000 m/sでも1.0000000000056にしかならず、ページには1.0000と出ます。0.1 cで1.005、そしておよそ0.9 cを越えたあたりから、ようやく表にする価値のある数に見え始めます。このページのほかの値はすべて、この因子に時間を掛けたものか、時間から引いたものです

Δt

遅れた時間、つまり同じ2つの出来事のあいだに、取り残された側の時計が読む時間です。常に2つのうち大きいほうで、ページでは秒数ではなく時長として表示します。0.9 cで船内5時間なら、11時間28分15秒となって返ります。因子が1を下回ることがないので、これが小さくなる場合はありません

Δt − Δτ

2つの時計の差で、これも時長として表示します。遅れた時間そのものではなく、その倍数でもありません。旅人自身の時間を引いたあとに残った分で、双生子のパラドックスが本当に訊いている数です。0.9 cで5時間なら差は6時間28分15秒です

速い旅の代償を距離ではなく時間で知りたいときに使ってください。光速の何割かで旅する乗員がどれだけ年を取るか、ミュオンの寿命が地上からはどう見えるか、衛星の時計に補正が要るのはなぜか。見る価値があるのは因子のほうで、答えは人を両方向に驚かせます。これまでに作られた何よりも速い0.1 cでも時計のずれは0.5%で、最後の0.99 cから0.999999 cへの一区間が効果を100倍にします。双生子のパラドックスの行きの半分もここにあります。片方を0.9 cで送り出すと、もう片方の暦は2倍以上の速さで進みます。

1. 既定値：0.9 cで船内5時間

   1. 速度は0.9 c、固有時は5時間
   2. ローレンツ因子：1 ÷ √(1 − 0.9²) = 1 ÷ √0.19 = 2.294157。表示は2.2942です
   3. 5時間は5 × 3,600 = 18,000秒です
   4. 遅れる時間：2.294157 × 18,000 = 41,294.83秒。四捨五入して41,295秒、つまり11時間28分15秒です
   5. 差：41,295 − 18,000 = 23,295秒、つまり6時間28分15秒です

   このページがただの掛け算ではない理由が、2つの時長の行にあります。動いている時計は5時間を読み、家に残った時計は11時間28分を読み、その差である6時間28分が3つ目の数で、双生子のパラドックスが問うているものです。差は固有時の倍数でもないことに注意してください。23,295秒は、旅人が測った18,000秒の1.294倍であって、2.29倍ではありません。時間からγ倍した時間を引いても差にはならず、2つの時間を引けば差になります。

2. 光速の半分で1時間：効果は実在するが控えめ

   1. 速度は0.5 c、固有時は1時間
   2. ローレンツ因子：1 ÷ √(1 − 0.25) = 1 ÷ √0.75 = 1.154701。表示は1.1547です
   3. 1時間は3,600秒です
   4. 遅れる時間：1.154701 × 3,600 = 4,156.92秒。四捨五入して4,157秒、つまり1時間9分17秒です
   5. 差：4,157 − 3,600 = 557秒、つまり9分17秒です

   光速の半分と聞くと極端に思えますが、時計にとってはそうでもありません。船内の1年が、地上では1年と2か月です。この例を載せているのは物理のためではなく丸めのためです。切り捨てる実装なら4,156と556を返し、どちらの行も1秒足りません。その1秒は、上の手順のように算数を確かめない限り見えません。この例は、因子が予想外の対称性を持つことも示します。0.5 cは1.1547で、0.5 cがどの向きでも同じです。式に入っているのがvではなくv²だからです。

3. 0.999999 cで1時間：地上では29日

   1. 速度は0.999999 c、固有時は1時間
   2. ローレンツ因子：1 ÷ √(1 − 0.999998000001) = 1 ÷ √(1.999999 × 10⁻⁶) = 707.106958。表示は707.107です
   3. 1時間は3,600秒です
   4. 遅れる時間：707.106958 × 3,600 = 2,545,585.05秒。四捨五入して2,545,585秒、つまり29日と11時間6分25秒です
   5. 差：2,545,585 − 3,600 = 2,541,985秒、つまり29日と10時間6分25秒です

   旅は1時間で、家の時間は29日です。入力の最後の1桁が買っているのはこれです。0.999 cで因子は22.37、0.999999 cで707.11になり、その差は速度が千分の1変わったことから出ています。この急峻さがこのページから持ち帰れるいちばん役に立つことで、参考表の6つの速度が等間隔ではなく上側に固まっている理由でもあります。2番目の手順の算数は、平方根を手で間違えやすい唯一の場所です。√2 ≈ 1.4142からは707.1068が出ますが、表示される値の小数第4位は8ではなく0です。

4. 静止しているとき：2つの時計は完全に一致する

   1. 速度は0 c、固有時は1時間
   2. ローレンツ因子：1 ÷ √(1 − 0) = 1。表示は1.0000です
   3. 遅れる時間：1 × 3,600 = 3,600秒、つまり1時間です
   4. 差：3,600 − 3,600 = 0秒
   5. 動くものがなければ、遅れるものもありません

   この行は上のすべての基準です。相対運動がなければ効果はまったくなく、因子はちょうど1になります。小数第2位ではなく第4位まで表示する理由もこの行が示します。0.05 cで因子は1.00125で、小数第2位なら1.00となって静止と区別がつきませんが、第4位なら0.1 cの行が1.005と読めて差が見えます。表示される1.0000も埋め草ではありません。ずれが小数第4位より下にあるという意味で、それは書式の都合ではなく速度がゼロだという事実についての記述です。

行きの片道だけを扱っています。引き返す時計は等速の2区間に分けて扱う必要があり、遅れるのは旅人の時計のほうです。重力は扱っていません。重力場の低いところにある時計も遅れますが、別の式になります。速度は見ている側を基準に測ったもので、旅はその速さのまま続くと仮定しているので、両端の加速は考慮されていません。

時間の遅れの公式は何ですか

遅れる時間はローレンツ因子に固有時を掛けたもので、Δt = γΔτ です。γは1 − v²/c²の平方根で1を割ったものです。0.9 cで船内5時間は、地上で11時間28分15秒になります。そこでのγが2.2942だからです。因子は速度だけで決まるので、旅の長さを変えると2つの時間が一緒に伸び、γは変わりません。

ローレンツ因子はなぜそんなに長く1の近くにとどまるのですか

式にv²/c²が入っているからです。低速では1から引くものがごく小さく、1に近い数の平方根は1に近くなります。0.1 c、つまり毎秒3,000万メートル、どの宇宙機よりも速い速度でも因子は1.005で、0.5%です。光速の半分でも1.1547にしかなりません。急な部分はあとから来ます。0.99 cで7.09、0.999 cで22.37、0.999999 cで707です。

双生子のパラドックスとはどう違いますか

このページが出すのはその行きの半分です。片方が0.9 cで出発して片方が残れば、残った側の時計は2.2942倍の速さで進むので、船内の5年は地上の11年半になります。パラドックスが完成するには旅人が引き返す必要があり、それは1区間ではなく2区間で、加速が関わります。2人の対称性を壊しているのはそれで、このページが扱う範囲の外です。

重力でも時間は遅れますか

はい、遅れますがこのページは扱っていません。重力場のより深いところにある時計は、高いところにあるものに対して遅れます。これは独立した効果で式も別であり、衛星の時計が両方の補正を必要とする理由でもあります。このページが扱うのは特殊相対性理論の効果で、相対速度だけに依存し、重力がまったくなくても働きます。実際の航法システムでは2つが足し合わされています。

ちょうど光速ではどうなりますか

このページは入力を拒否します。v = cでは1 − v²/c²がゼロになり、ローレンツ因子がゼロで割ることになるので、無限大ではなく答えがありません。光速を超えると平方根の中が負になります。欄は0から1を受け付け、計算ツールはちょうど1を拒否します。これが正直な線引きです。光速に達するのは、このページでとても大きな数なのではなく、式が定義されなくなる点だからです。

• Time Dilation（College Physics 2e, §28.2 Simultaneity and Time Dilation）— ローレンツ因子、2つの時計、そしてミュオンと衛星による効果の証拠 — OpenStax
• Time dilation — γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²) の導出、双生子のパラドックス、そしてこの効果と重力による時間の遅れの違い — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: 2つの時長の行が最終的に数えられる単位、時間・分・日の行（1 h = 3600 s） — NIST