運動エネルギー計算

運動エネルギー = ½ × m × v²、落下高さ = v² ÷ (2 × g)

m

質量で、単位はkg。同じ欄でポンド、トン、グラムも選べ、式が走る前に換算されます

v

速度で、単位はm/s。同じ欄でkm/h、mph、ft/s、ノットも選べます。速さであって速度ベクトルではありません。このページが測るのはエネルギーがどれだけあるかで、どちらを向いているかではありません

g

標準重力で、9.80665 m/s²。落下高さを測る基準になる固定値で、その緯度での現地の値ではありません

h

等価な落下高さで、単位はm。物体がその速さになるまで落ちるとしたときの高さで、v² ÷ 2gで求まり、参考表が使っているのと同じ関係です

何かが動いていて、それがどれだけの被害を出せるか、あるいはどれだけのエネルギーを入れなければならないか、取り出さなければならないかを気にするときはいつでも使います。よくあるのは同じ車の2つの速さを比べる場合、ブレーキやガードレールを設計する場合、衝突試験についての主張を検算する場合です。2つの習慣が答えを役に立つものにします。1つ目は、実際に運転している単位のまま速さを入れることです。この欄が換算するので、自分でm/sに直して桁を落とす理由はありません。2つ目は、ジュールではなく落下高さを読むことです。538 kJと言われても多くの人には何のことか分かりませんが、12階から落ちたのと同じエネルギーだと言えば誰でも動けます。衝突エネルギーの見積もりはこのページの仕事で、力そのものを知りたい場合は運動量のページが受け持ちます。

1. 3,300 lbの車を60 mphで走らせる

   1. 3,300 lb = 1,496.855 kg（質量の欄はkgを受け取るので、ポンドはその単位の選択欄で入ります）
   2. 60 mph = 26.8224 m/s
   3. 速度の2乗：26.8224 × 26.8224 = 719.441
   4. 運動エネルギー：½ × 1,496.855 × 719.441 = 538,449 J
   5. 同じ数をほかの2つの単位で：538.449 kJ、538,449 ÷ 1.3558179 = 397,140 ft·lb
   6. 等価な落下高さ：719.441 ÷ (2 × 9.80665) = 36.7 m、120 ft

   これは参考表の行を逆から読んだもので、表は速さから出発してエネルギーを出し、この算例は同じ車から出発しています。55 mphの行と比べてください。55 mphは333,708 ft·lb、60 mphは397,140 ft·lbで、エネルギーの比1.19は速さの比1.09ではなく、速さの2乗の比1.19です。36.7 mという落下高さのほうが口に出して言う価値があります。縁石ではなく建物です。

2. ライフルの弾丸、0.008 kgを800 m/sで

   1. 質量：0.008 kg、箱に8 gと書いてあるものです
   2. 速度の2乗：800 × 800 = 640,000
   3. 運動エネルギー：½ × 0.008 × 640,000 = 2,560 J
   4. ほかの2つの単位で：2.56 kJ、1,888 ft·lb
   5. 等価な落下高さ：640,000 ÷ (2 × 9.80665) = 32,631 m

   これは「速くて軽いものはエネルギーが小さい」という直感を壊すために置いてあります。8 gは1オンスの4分の1ほどで、それでも1階の窓から落としたボウリングの球より多くのエネルギーを持っています。2乗が効いていることもこの例で分かります。同じ弾丸を400 m/sで撃つと640 Jで、半分ではなく4分の1です。32.6 kmという落下高さは誰かが実際にやることではありません。ここで仕事をしているのは質量ではなく速さだということを言っている数です。

3. 70 kgの人が3 m/sで走っている

   1. 速度の2乗：3 × 3 = 9
   2. 運動エネルギー：½ × 70 × 9 = 315 J
   3. ほかの2つの単位で：0.315 kJ、232 ft·lb
   4. 等価な落下高さ：9 ÷ (2 × 9.80665) = 0.46 m

   スケールの日常側の端で、弾丸の算例を説得力のあるものにしてくれる例です。ジョギング中の大人は315 Jほどを運んでいて、それを止めるにはどんなにそっと止めても同じだけの仕事が要ります。落下高さのほうがジュールより正直な理由もここにあります。0.46 mは縁石から1歩降りる高さで、315 Jはそれがどこから来ているかを見るまでは多く聞こえます。同じ人を6 m/sで走らせると1,260 Jです。速さ2倍でエネルギー4倍、これがこのページのいいたいことの全部です。

このページは回転の運動エネルギーを扱いません。回っているフライホイール、転がる車輪、回る軸は、重心の½mv²の上に½Iω²を運んでいて、このページは回転の部分もそれに対応する慣性モーメントも足しません。低速の式でもあります。光速のおよそ10分の1より下なら1パーセント以内に収まりますが、それを超えるとエネルギーを小さく見積もります。相対論的な式のほうがv²より速く伸びるからです。物体を点として扱うので、変形も、金属がへこむのに使われるエネルギーも入っていません。衝突試験がまさに知りたいエネルギーで、このページがまさに出せないものです。エネルギーがどこから来てどこへ行くかも関知しません。エンジンが入れる、ブレーキが熱に変える、落下が高さを速さに替える、どれもこの連鎖の外です。最後に、運動の向きについて何も言いません。エネルギーに向きはないからです。ベクトルが要るなら、求める量は運動量です。

運動エネルギーの公式は何か

½mv²で、mは質量（単位はkg）、vは速さ（単位はm/s）です。3,300 lbの車を60 mphで走らせると538,449 J、538.449 kJ、397,140 ft·lbになり、等価な落下高さは36.7 mです。12階建ての建物から落ちたあとに持つのと同じエネルギーです。引用すべきは最後の読みで、ジュールは正しいのですが誰も思い描けません。

運動エネルギーはどう計算するのか

速さを2乗して、質量を掛けて、半分にします。70 kgの人が3 m/sなら9 × 70 ÷ 2 = 315 Jです。速さの欄はkm/h、mph、m/s、ft/s、ノットのどれでも受け取り、式が走る前にメートル毎秒に換算するので、自分で直して途中で桁を落とす必要はありません。

エネルギーが速さの2乗で効くのはなぜか

物体にする仕事は、力をかけているあいだに進んだ距離かける力で、速さが高いほど同じ時間でより長く進むからです。物体を静止からvまで押すと、平均の速さは2分のv、得た運動量はmvなので、仕事は½mv²になります。車の停止距離が速さの2乗で伸びるのに制動力はほぼ変わらないのも同じ理由です。速さが2倍ならブレーキが捨てなければならないエネルギーは4倍です。

質量は速さと同じくらい効くのか

いいえ、その差がこの式の要点です。エネルギーは質量に比例しますが、速さの2乗に比例するので、質量を2倍にするとエネルギーは2倍、速さを2倍にすると4倍になります。8 gの弾丸を800 m/sで撃つと2,560 J、同じ弾丸を400 m/sなら640 J、70 kgの人が3 m/sなら315 Jです。速さの比が十分大きければ、軽くて速いほうが重くて遅いものに勝ちます。

運動エネルギーをフィートポンドに換算するには

ジュールを1.3558179483314004で割るか、このページがすでに出しているft·lbの行を読んでください。538,449 Jは397,140 ft·lbです。係数は定義上正確で、1フィートは0.3048 m、1ポンドは0.45359237 kgです。だから換算そのものは誤差を足しません。2つの行の数が最後の桁で食い違うのは、どちらも表示のために丸めているからです。

等価な落下高さとは何か

空気抵抗なしでその速さに達するために、物体が落ちなければならない高さで、v² ÷ 2gです。同じエネルギーを高さとして表したもので、だからジュールより思い描きやすいのです。60 mphの車は36.7 mの落下のエネルギーを運び、800 m/sの弾丸は32.6 kmのそれを運びます。実際の落下は空気抵抗で少し失うので、本当に必要な高さはもう少し大きくなります。この高さは下限で、30 m/sくらいまでは十分近い値です。

• Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem（College Physics 2e, §7.2）— 静止した物体を加速する仕事から½mv²を導く — OpenStax
• NIST Guide to the SI — 組立単位kg·m²/s²としてのジュールと、このページがフィートポンド（1.3558179483314004 J）とmphとlbに使っている正確な換算係数 — National Institute of Standards and Technology
• Kinetic energy — 古典的な式と相対論的な式、そして低速の形が成り立たなくなる場所 — Wikipedia