運動量計算
計算結果
運動量
- 運動量（lb·ft/s）
- 271,238.0 lb·ft/s
運動量の計算ツールです。動いている物体の質量に速度を掛けたもので、kg·m/sとlb·ft/sで表示します。運動量は、何かを止めるのがどれだけ大変かを答える量で、それがどれだけのエネルギーを運ぶかとは別の問いです。運動量の式は掛け算1つ、p = mvで、両方の入力に線形です。質量を2倍にすれば運動量も2倍、速さを2倍にしても運動量は2倍です。この線形性が、隣の運動エネルギーのページとの違いの全部です。あちらでは速さが2乗で入るので、2台が同じ運動量と同じでないエネルギーを持つことがあり、下の算例はまさにその組を中心に組んであります。参考表は一定の速さでの質量ごとの運動量を並べ、最後の列に2つ目の読みを足しています。それぞれを0.1秒で止めるのに必要な力で、力積と運動量の定理から出します。この最後の列が運動量の出番です。保険の数理も、ガードレールの設計も、衝突試験の技術者もp = mvで仕事をしていて、構造物が吸収しなければならないのはエネルギーではなく運動量の変化だからです。
一定の速さでの質量ごとの運動量と、0.1秒で止める力
| 質量（kg） | 運動量 | 停止力（kN） |
|---|---|---|
| 500 | 12500 | 125 |
| 1000 | 25000 | 250 |
| 1500 | 37500 | 375 |
| 2000 | 50000 | 500 |
| 3000 | 75000 | 750 |
運動量の列の単位はkg·m/s、停止力の列はkNです。速さはどの行も25 m/sで同じ、止める時間も0.1秒で同じなので、変わるのは質量だけです。運動量は質量に比例するので、行は1列目にそのまま比例します。500 kgで12,500、1,000 kgで25,000、1,500 kgで37,500です。3列目は力積と運動量の定理、F = Δp ÷ ΔtをΔt = 0.1秒で評価したものです。この0.1は目盛りのために選んだ丸い数であって、実測された衝突の時間ではありません。実際の衝突は0.01秒から0.3秒のあいだなので、この列は桁の見当として読んでください。表の数は計算結果をそのまま出しているので、4桁の数にも3桁ごとの区切りは入っていません。
公式
運動量 = m × v、停止力 = m × v ÷ 停止時間
- m
- 質量で、単位はkg。同じ欄でポンド、トン、グラムも選べ、掛け算が走る前に換算されます
- v
- 速度で、単位はm/s。同じ欄でkm/h、mph、ft/s、ノットも選べます。厳密には速さです。運動量はベクトルで、このページはその大きさだけを出します
- p
- 運動量で、単位はkg·m/s。SIの単位です。2つ目の出力の行が同じ量をlb·ft/sで出しますが、ここのポンドは質量のポンドで、力のポンドではありません
- t
- 停止時間で、単位は秒。参考表の最後の列だけが使い、そこでは0.1秒を仮定しています。衝突としては丸い数であって、定数ではありません
力が問題になっていて、エネルギーではないとき、このページを使います。ガードレールが受け止めなければならないのは何か、エアバッグがどれだけ広げなければならないか、反動で倒れないか、といった場面です。そこでは運動量が正しい量である理由は、力が運動量の変化する割合だからです。同じ運動量の変化でも、止まるまでの時間を長く取れば力は小さくなります。クランプゾーンの設計原理はこれで全部です。2つの習慣が答えを役に立つものにします。1つ目は、このページが大きさしか出さないとしても、運動量には向きがあることを忘れないことです。正面衝突と追突ではベクトルの和が違い、このページはそれを区別できません。2つ目は、2台を比べるときに運動量とエネルギーを別々に比べることです。満載のトラックが歩く速さで走っている場合、高速道路を走る車と運動量では並びますが、エネルギーではまったく並びません。衝撃力の話では、どちらを訊いているかで答えが変わります。
計算例
3,300 lbの車を60 mphで走らせる
- 3,300 lb = 1,496.855 kg（質量の欄はkgを受け取るので、ポンドはその単位の選択欄で入ります）
- 60 mph = 26.8224 m/s
- 運動量：1,496.855 × 26.8224 = 40,149.2 kg·m/s
- 同じ量をほかの単位系で：40,149.2 ÷ 0.138254954376 = 290,400 lb·ft/s
- 0.1秒での停止力：40,149.2 ÷ 0.1 = 401.5 kN、およそ90,260 lbf
これは参考表の真ん中の行を、同じ車からたどったものです。ヤードポンド法の行が290,400という丸い数になるのは偶然ではありません。2つ目の段をもう一度読む価値があります。ポンドとキログラム、フィートとメートルの係数で割ると、ちょうど3,300 × 88に戻ります。質量をポンドで、速さをフィート毎秒で表したものの積が、lb·ft/sの定義そのものだからです。丸めを抱えているのはメートルの行のほうです。
6,600 lbのトラックを30 mphで走らせる
- 6,600 lb = 2,993.710 kg、上の車の2倍
- 30 mph = 13.4112 m/s、上の速さの半分
- 運動量：2,993.710 × 13.4112 = 40,149.2 kg·m/s — 車と同じ290,400 lb·ft/sです
- 運動エネルギーのページでは：269,225 Jで、車の538,449 Jに対して
- 0.1秒での停止力：同じ401.5 kN
この算例の要点は、変わらないもののほうです。質量を2倍にして速さを半分にすると、運動量はまったく同じになります。だから同じ時間で止めるのに要る力もまったく同じです。エネルギーは違います。トラックは269 kJで、車の538 kJに対してです。エネルギーは質量かける速さの2乗に従い、質量かける速さには従わないからです。2つのページ、同じ2つの入力、そしてどちらが危険かの答えは、ガードレールにかかる力を訊いているのかブレーキの熱を訊いているのかでまるごと変わります。
ライフルの弾丸、0.008 kgを800 m/sで
- 質量：0.008 kg、箱に8 gと書いてあるものです
- 運動量：0.008 × 800 = 6.4 kg·m/s
- ほかの単位系で：6.4 ÷ 0.138254954376 = 46.3 lb·ft/s
- 70 kgの人が3 m/sで走る場合と比べると：210 kg·m/sで、およそ33倍です
- 同じ弾丸の運動エネルギー：2,560 Jで、その人の315 Jに対して
これは2つのページを突き合わせるために置いてあり、それらが別々である理由でもあります。弾丸のエネルギーはその人の8倍、2,560 Jと315 Jですが、運動量は33分の1しかありません。防弾チョッキは運動量の問題であり同時に熱の問題で、それぞれに別の材料で解かれます。アラミド繊維が長い時間をかけて運動量を止め、変形がエネルギーを広げます。ライフルの反動、つまり同じ6.4 kg·m/sが後ろへ向かうものがあるので、射手の肩が動いて銃は動かないのです。
適用限界
運動量はベクトルで、このページは大きさを印字します。向きの入力がないので、正面衝突と追突が同じ速さなら同じ数が出てしまい、実際の衝突の後始末に要るベクトルの和は出せません。lb·ft/sの行はポンドを質量の単位として使っていますが、これは出回っている2つの流儀の片方です。もう1つはslug·ft/sで、両者は32.174倍違うので、lb·ft/sで書かれた数はlbfを期待している人にはポンダルとして読まれかねません。参考表の停止力は0.1秒を仮定しています。固い衝突は0.01秒に近く、クランプゾーンとシートベルトの乗員なら0.3秒に近いので、あの列は予測ではなく桁の見当です。保存の解析はありません。このページが扱うのは相互作用の前か後の1つの物体で、衝突の両側ではありません。だから連結した2体の反動速度も、壁が吸収した運動量も出せません。古典的な式p = mvで、日常的な速さでは正確ですが、光速に近づくほど運動量を小さく見積もります。角運動量はまったく別の量で、ここでは計算しません。時間とともに変わる力の力積も同じで、このページが知っているのは平均だけです。最後に、質量は一定として扱っています。燃料を燃やしているロケット、荷を積み込まれているトラックなど、動いている途中で質量が変わるものは、1つのp = mvでは表せません。
よくある質問
- 運動量の公式は何か
- p = mvで、質量（単位はkg）かける速度（単位はm/s）です。3,300 lbの車を60 mphで走らせると1,496.855 kg × 26.8224 m/s = 40,149.2 kg·m/sです。2乗も半分もないので計算は1段で済みます。だから運動量はエネルギーより考えやすく、ありがたみを感じにくいのです。
- 力積と運動量の定理とは何か
- 物体に与えられた力積、つまり力かけるそれが働いた時間が、その運動量の変化に等しいというものです。F × Δt = Δpです。移項するとF = Δp ÷ Δtで、これが参考表の最後の列の関係です。40,149.2 kg·m/sを0.1秒で止めるには401.5 kN、同じ停止を0.3秒に伸ばせば133.8 kNで、この3倍という差がクランプゾーンとエアバッグの工学的な根拠の全部です。
- 運動量の単位は何か
- SIではkg·m/sで、エネルギーがジュールやニュートンメートルという名前をもらうのとは違って、専用の名前はありません。このページはlb·ft/sも出しますが、そこのポンドは質量のポンドです。ヤードポンド法のもう1つの流儀はslug·ft/sで、両者は32.174倍違います。だから同じ運動が、どちらの意味かによって290,400とも9,027とも書かれます。
- 運動量と運動エネルギーはどう違うのか
- 運動量はmv、エネルギーは½mv²で、その違いが2つのページを必要にしています。速さを2倍にすると運動量は2倍、エネルギーは4倍になります。質量を2倍にすればどちらも2倍です。6,600 lbのトラックを30 mphで走らせた場合と3,300 lbの車を60 mphで走らせた場合は同じ290,400 lb·ft/sを運び、どちらを0.1秒で止めるにも同じ力が要ります。しかし車のほうがエネルギーは2倍なので、ブレーキに入れる熱も2倍です。
- 停止力が決まった数にならないのはなぜか
- 止めるのにどれだけ時間を許すかで決まり、動いている物体の側では何もそれを決めていないからです。F = Δp ÷ Δtなので、同じ運動量でも時間を長く取れば力は小さくなります。参考表が0.1秒を仮定しているのはそのためで、表注にもそう書いてあります。固い物体を固い壁で止めるなら0.01秒に近く、クランプゾーンとシートベルトの後ろの乗員なら0.3秒に近く、表の値の10倍から3分の1までの力になります。
- 運動の向きは関係あるのか
- 実際の量としては関係ありますが、このページでは関係ありません。運動量はベクトルなので、北へ走る車と南へ走る車の運動量は足すと打ち消し合い、衝突の解析が計算しているのはまさにその打ち消しです。このページは大きさしか出さず、向きの入力もありません。だから1つの物体を単独で見るには正しい道具で、止めるのに要る力や生じる反動は出せますが、複数の物体にわたるベクトルの和には向きません。
参考文献
- Linear Momentum and Force（College Physics 2e, §8.1）— 運動量の定義としてのp = mv、そして力を運動量の変化する割合として書いたニュートンの第2法則 — OpenStax
- NIST Guide to the SI — 運動量の一貫したSI単位としてのキログラムメートル毎秒と、lb·ft/sの行を組み立てているポンド（0.45359237 kg）とフィート（0.3048 m）の正確な係数 — National Institute of Standards and Technology
- Momentum — 力積とニュートンの第2法則との関係、そしてこのページが中心に据えている運動量と運動エネルギーの区別 — Wikipedia