弾性エネルギー計算

弾性エネルギー = ½ × k × x²、ばねの力 = k × x

k

ばね定数で、単位はN/m。同じ欄でkN/m、N/mm、lbf/inも選べます。ばねを1単位ぶん動かすのに必要な力なので、固いばねほどkが大きくなります

x

変位で、単位はセンチ。自然長からどれだけ伸ばしたか縮めたかを、この欄の既定の単位で測ります。符号は関係ありません。引いても縮めてもエネルギーは同じです

E

弾性エネルギーで、単位はJ。ばねを変形させるのにした仕事です。3つ目の出力の行が同じエネルギーをフィートポンドで出します

F

ばねの力で、単位はN。フックの法則F = kxによる、いちばん伸びた位置での力で、引っ張るあいだの平均ではありません

ばね、輪ゴム、弓、トランポリン、サスペンションが絡むときに、それがどれだけのエネルギーを持つのか、どれだけ強く引くのかを知りたいときに使います。いちばんよく出るのは、与えられたエネルギーのためにばねを選ぶ場合と、それが外れたら何が起きるかを確かめる場合です。前者は発射装置、カウンターバランス、ドアの機構などです。2つの習慣が答えを役に立つものにします。1つ目は、数を信じる前に変位の単位を確かめることです。この欄は既定がセンチなので、10 mmのつもりで10 cmと入れるとエネルギーは100倍になります。2つ目は、エネルギーは変位の2乗で効き、力は線形でしかないことを覚えておくことです。圧縮の最後の部分がいちばん多くのエネルギーを持ちます。9割まで縮めたばねが持っているのはまだ81パーセントで、残りの1割が最後の5分の1を足します。

1. 1 lbf/inのばねを5.08 cm引く

   1. 1 lbf/in = 175.127 N/m（固さの欄はN/mを受け取るので、ポンド毎インチのばねはこの数で入ります）
   2. 変位：2 in = 5.08 cm
   3. ばねの力：175.127 × 0.0508 = 8.90 N、これは端で感じる2 lbfです
   4. 変位の2乗：0.0508 × 0.0508 = 0.002581
   5. エネルギー：½ × 175.127 × 0.002581 = 0.226 J
   6. もう一方の単位では：0.226 ÷ 1.3558179 = 0.167 ft·lb

   これは参考表の2 inの行にあたり、数は意図的に小さいままです。軽いばねを数インチ引いても持っているのは5分の1ジュールほどで、落ちたりんご1個ぶんのエネルギーです。面白いのは2つの出力の比のほうです。力は2 lbf、エネルギーは0.167 ft·lbなので、ばねは平均1 lbfの力に逆らいながら12分の2フィート動いたことになります。エネルギーは力かける距離で、ここでは力は一定ではなく0から2まで増えました。½kx²の½はまさにそこから来ています。

2. 180 lbf/inのサスペンションのばねを7.62 cm縮める

   1. 180 lbf/in = 31,522.830 N/m
   2. 変位：3 in = 7.62 cm
   3. ばねの力：31,522.830 × 0.0762 = 2,402.04 N、およそ540 lbf
   4. 変位の2乗：0.0762 × 0.0762 = 0.005806
   5. エネルギー：½ × 31,522.830 × 0.005806 = 91.518 J
   6. もう一方の単位では：67.5 ft·lb

   実在する車のばねで、持ち帰るべき数は力のほうです。そのコーナーに540 lbf、3,300 lbの車ならこの圧縮で車重の6分の1ほどです。91.5 Jが投げたボールの運動エネルギーより小さいことも見ておいてください。ばねは固いからエネルギッシュなのではなく、長く動くからエネルギッシュなのです。サスペンションのばねは3インチしか動きません。弓は2フィート動き、そこからエネルギーが来ています。

3. 同じばねで15.24 cm — 2倍の距離

   1. 変位：6 in = 15.24 cm、上の算例の2倍
   2. ばねの力：31,522.830 × 0.1524 = 4,804.08 N、ちょうど2倍。フックの法則は線形です
   3. 変位の2乗：0.1524 × 0.1524 = 0.023226、上の0.005806の4倍
   4. エネルギー：½ × 31,522.830 × 0.023226 = 366.071 J、上の91.518 Jのちょうど4倍
   5. もう一方の単位では：270 ft·lb

   上の算例と並べて読むと、このページの全体が2つの比に収まります。圧縮が2倍なら力は2倍、エネルギーは4倍です。最初の1インチでは扱いやすいと感じるばねが4インチ目には本当に危険になりうる理由で、弓が最大の引き荷重ではなく蓄えたエネルギーで格付けされる理由でもあります。引き荷重は線形の部分で、エネルギーは2乗の部分です。

ここにあるのはフックの法則で、ばねが弾性を保っているあいだしか成り立ちません。実物のばねを降伏点より先まで押すと、力は変位に比例しなくなります。行程の端まで押すとコイルどうしが当たり、そこで固さがまるごと変わり、上の½kx²はエネルギーを大きく見積もります。減衰も履歴も質量もありません。実物のばねは1周期ごとに内部摩擦で少しずつエネルギーを失い、質量のあるばねは動いているあいだ自分自身の運動エネルギーを持ちます。予荷重のかかったばね、つまりバルブスプリングやボルトの後ろのばねも扱いません。そこでの蓄えられたエネルギーは2つの状態の差であって変位0を基準にした総量ではないので、このページが出す数は自然長からのエネルギーです。ばね全体が同じだけ動くことも前提にしています。テーパーのついたばね、違うばねを直列に重ねたもの、コイルが変位を等分に分けないものは、1つのkでは表せません。静的な話でもあります。ばねを離したあとに続く振動については何も言いません。それには質量も要り、別のページの仕事です。最後に、蓄えたエネルギーが役に立つ形で取り出せるかは関知しません。同じ366 Jが弾を飛ばすこともあれば、ダンパーの中で熱として捨てられることもあります。変位はばねの軸に沿って測られているものとし、斜めの場合は扱いません。

弾性エネルギーの公式は何か

E = ½kx²で、kはばね定数（単位はN/m）、xは変位（単位はメートル）です。½がつくのは、ばねが動くあいだに力が0からkxまで増えるからで、変位全体にわたる平均の力は最後の値の半分にしかなりません。1 lbf/inのばねを2インチ引くと0.226 Jを蓄え、手で確かめたい人のために計算の道筋を上に全部書いてあります。

変位が2乗されるのはなぜか

ばねにする仕事は力かける距離で、その力が一定でないからです。始めは0、終わりはkxなので、平均は½kx、仕事は½kxかけるxになります。実際に効いてくるのは、変位が2倍ならエネルギーは4倍で、ばねの力は2倍にしかならないということです。だから圧縮の最後の部分がいちばん大変で、クロスボウが引き荷重ではなく蓄えたエネルギーで格付けされるのです。

ばね定数とは何か、どうやって求めるのか

ばねを1単位の長さだけ動かすのに必要な力で、単位はN/mです。N/mmやlbf/inでもよく、どちらもこの欄が受け取ります。求め方は、既知の重りをつるしてどれだけ伸びたかを読み、割るだけです。8 Nで4 cm伸びるばねならk = 8 ÷ 0.04 = 200 N/mです。車のサスペンションのばねは30 N/mm前後、つまり30,000 N/mで、実験室の軽いばねは100 N/mに近くなります。

縮めるときも伸ばすときもエネルギーは同じか

対称なばねなら同じです。コイルばねの多くは対称です。式がx²を使うので、5 cmの圧縮と5 cmの伸びはどちらも½ × k × 0.0025 Jを蓄えます。実物のばねは完全には対称ではありません。コイルばねは縮めすぎると座屈することがあり、補助コイル付きのばねは片方向だけずっと固くなります。等しいと言えるのは作動範囲の中で、行程の端までは成り立ちません。

いっぱいまで縮めたばねはどれだけのエネルギーを持つのか

いっぱいまで縮めたときの変位を½kx²に入れます。30 N/mmのサスペンションのばねを10 cm縮めると150 J、同じばねを20 cmなら600 Jで、距離が2倍で4倍になります。ただし行程が実際にどこで終わるかは確かめてください。コイルどうしが当たった時点で、ばねはばねとしての振る舞いをやめ、上の式は起きていることを表さなくなります。

lbf/inのばねレートをN/mに換算するには

175.127を掛けます。これは1ポンド力（4.448222 N）を1インチ（0.0254 m）で割った値です。180 lbf/inのばねは31,522.83 N/m、300 lbf/inなら52,538.05 N/mになります。どちらの係数も定義上正確なので、換算で誤差は増えません。値が9.8倍ほどずれていたら、どこかでポンド質量をポンド力のかわりに使っています。

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited（College Physics 2e, §16.1）— F = kxと、変形したばねに蓄えられる弾性エネルギー — OpenStax
• Elasticity: Stress and Strain（College Physics 2e, §5.3）— 弾性限界と、力と変位の線形な関係が成り立たなくなる点 — OpenStax
• NIST Guide to the SI — 固さの一貫した単位としてのニュートン毎メートルと、lbf/inの換算を組み立てているポンド（0.45359237 kg）とインチ（0.0254 m）の正確な係数 — National Institute of Standards and Technology