分数を引く計算

1番目の分数 − 2番目の分数 = (1番目の分子 × (L ÷ 1番目の分母) − 2番目の分子 × (L ÷ 2番目の分母)) ÷ L; ただしL = 2つの分母の最小公倍数。そのあと差を約分する

1番目の分子

引かれるほうの分数の上の数で、3/4なら3です。自分の分母が共通分母に何回入るかを掛けられ、既定の場合なら3倍されて3/4が9/12になります。負でもよく、符号はそれと一緒に動きます

1番目の分母

1番目の分数の下の数で、3/4なら4です。正でなければならず、最小公倍数が共通分母になる2つの数のうちの1つです。パネルには書かれたまま残るので、書き直しをそれと見比べられます

2番目の分子

引くほうの分数の上の数で、1/6なら1です。掛けられる数が1番目とは違い——既定の場合なら2倍されて2/12になります——その非対称が変換後の2つの読みそのものです

2番目の分母

2番目の分数の下の数で、1/6なら6です。1番目の分母と合わせて共通分母を12に固定します。正でなければならない理由は1番目と同じです

共通分母（L）

2つの分母の最小公倍数です。4と6なら12、互いに素な7と11なら77で、こちらは本当にただの積になります。計算は、一方の分母を2つの最大公約数で割ってもう一方に掛けるという道で行い、あふれない経路で同じ数に着きます。独立した行として印字されるのは、方法全体がここに懸かっているからで、また必要以上の共通分母を選ぶのがこの操作で最も多い算術の滑りだからです

変換後の分数

両方を共通分母の上に書き直したあとの2つの分数です。既定の場合なら9/12と2/12。約分せずに変換したまま印字します。約分すると仕事をした掛け数が隠れてしまうからです。引き算はこの2つの分子の間で行われます

差（最も簡単な形）

変換後の2つの分子を引いて残ったものです。9 − 2 = 7で、分母は12。最も簡単な形で印字するので、変換後の分子どうしを引いた結果と違うことがあります——5/6から1/3を引くと3/6が残り、それは1/2と印字されます——2つの分数が等しいときは裸の0に塌縮します

1つ目はこの練習問題そのもので、分母が違えばすぐに教わり、パネルは教科書の手順に沿って並んでいます。共通分母を見つけ、変換し、引き、約分する。2つ目は手でやった計算の確認で、役に立つのは変換後の2つの読みです。自分のものがこれと違えば、そのあとのすべてが違います。3つ目は4と6のように因数を共有する分母の組で、共通分母が積より小さくなり、パネルがその節約を見せます。4つ目は7と11のような互いに素な分母の組で、もう一方の極端です。何も共有していないので共通分母は積になり、答えはたいていすでに最も簡単な形で届きます。5つ目は等しい2つの分数で、差が0になりパネルはそれを裸の0として印字します。このページで唯一分数でない読みです。足し算も掛け算も割り算もせず、帯分数も受け取りません。それらは3つの別のページです。

1. 3/4 − 1/6

   1. 共通分母を出す：4と6の最小公倍数は24ではなく12です。どちらも12を割り切れますが、4 × 6は共有する因数2を2回数えているからです
   2. 1番目を変換：12 ÷ 4 = 3なので、3/4は(3 × 3)/(4 × 3) = 9/12になります
   3. 2番目を変換：12 ÷ 6 = 2なので、1/6は(1 × 2)/(6 × 2) = 2/12になります
   4. 共通分母の上で分子を引く：9 − 2 = 7で、7/12になります
   5. 7と12は何も共有していないので、7/12はすでに最も簡単な形です

   既定の場合で、共通分母が単なる積ではない理由を見せるものです。4と6はどちらも12を割り切り、12は両方が割り切るいちばん小さい数なので、12分のいくつで足り、24分のいくつは倍の手間でした。変換後の2つの読みがその証拠です。9/12と2/12は分母が同じで、それこそが引き算を成立させます。変換後の数が変換したまま印字され、約分されていないことに注意してください。2/12は1/6と書けますが、そうするとそれを生んだ掛け数が消えてしまいます。そして掛け数こそが見せている段です。

2. 5/6 − 1/3

   1. 共通分母を出す：3は6を割り切るので、最小公倍数は6
   2. 1番目は変換が不要：6 ÷ 6 = 1なので5/6のまま
   3. 2番目を変換：6 ÷ 3 = 2なので、1/3は2/6になります
   4. 引く：5 − 2 = 3で、分母は6、つまり3/6
   5. 約分する：3と6の最大公約数は3なので、3/6 = 1/2

   共通分母では仕事が終わらないことを見せる場合です。変換後の分子どうしの差は3/6で、3/6は答えではありません。答えは1/2です。3と6がまだ因数を共有しているからです。共通分母で止める方法はここで3/6を印字し、ページからは見えない仕方で間違えます。だからこの行が表にも計算例にも載っていて、偶然に任されていないのです。変換後の2つの読みの片方が変わっていないことにも注意してください。片方の分母がもう片方を割り切るときは、書き直す分数は1つだけで、入ったまま返ってくる読みがその正直な記録です。

3. 1/7 − 1/11

   1. 共通分母を出す：7と11は因数を共有しないので、最小公倍数は積の77
   2. 1番目を変換：77 ÷ 7 = 11なので、1/7は11/77になります
   3. 2番目を変換：77 ÷ 11 = 7なので、1/11は7/77になります
   4. 引く：11 − 7 = 4で、分母は77、つまり4/77
   5. 4と7と11は共通の因数を共有しないので、4/77はすでに最も簡単な形です

   共通分母のもう一方の極端です。共通するものが何もない2つの分母なので、最小公倍数が本当に積になり、両方の分数を書き直さないといけません。最小公倍数を飛ばしていつも分母どうしを掛ける人が同じ答えに着く場合がこれで、それでも見せる価値があるのは、1つ前の4と6の例がその人たちの間違える場合だからです。答えが4/77であって「約分された4/77」のようなものではないことに注意してください。互いに素な分母は約分された答えを保証せず、ただそうなりやすくするだけで、約分はいつでも結果に対して行われます。

4. 5/8 − 3/4

   1. 共通分母を出す：4は8を割り切るので、最小公倍数は8
   2. 1番目はそのまま：8 ÷ 8 = 1で、5/8
   3. 2番目を変換：8 ÷ 4 = 2なので、3/4は6/8になります
   4. 引く：5 − 6 = −1で、分母は8、つまり−1/8

   2つの分数はどちらも正なのに答えは正ではありません。小さいほうから大きいほうを引くと結果が0の向こうへ行き、パネルは入力を断るのではなくマイナス記号でそう言います。共通分母は8で、変換後の2つの読みは5/8と6/8なので、引き算をする前から結果が見えています。2番目の分子のほうが大きいからです。符号は分子にだけ住み、ほかのどこにもありません。答えは−1/8で、1/−8ではなく、パネルのどの行でも分母は正のままです。

5. 1/2 − 1/2

   1. 分母が等しいので、最小公倍数はその分母の2
   2. どちらも変換が不要：2つともすでに2の上に書かれています
   3. 引く：1 − 1 = 0で、分母は2、つまり0/2
   4. 約分する：0と2の最大公約数は2なので、0/2は0/1になり、裸の0として書かれます

   答えが分数でまったくない場合です。等しい分数の差は0で、0は0/1に約分され、分数の書き方は分母の1を書きません。だから主の読みは裸の0なのに、共通分母の行は2のままで、変換後の2つの読みも1/2のままです。そこが要点です。2つの入力は本物の分数で方法は本当に走り、塌縮したのは結果だけです。足し算のページで同じ引き算をしたときとパネルの見た目が違う唯一の場所でもあります。あちらでは合計が整数に達したときしか塌縮しません。

2つの分母はどちらも正でなければなりません。分数は符号を分子に載せるからで、変換後の読みがそれに依存しています。それぞれの分子は整数倍されて掛かるので、符号は1か所にとどまらないといけません。分子は負でもよく、2つの入力がどちらも正でも差が負になることがあります。5/8 − 3/4は−1/8で、これは正しい答えであってエラーではありません。数には大きさの制限があります。それぞれの分母の上限は100,000で、それぞれの分子はおよそ4.5 × 10¹⁰まで——変換後の2つの分子が厳密に表せる整数に着地するいちばん大きい値です。それを越えると引き算が黙って不正確になるので、ページは正しく見える数を印字する代わりに入力を断ります。4つの欄のどれも整数しか受け付けません。小数の分子は拒まれ、ページは代わりに小数を分数に直すページを指します。分子の0はかまいません。ほかと同じように共通分母の上で0に変換されます。このページは2つの分数を引くだけで、ほかのことは何もしません。足し算も掛け算も割り算もせず、整数と分数を並べて書いた帯分数も受け取りません。先に仮分数へ直す必要があり、それをするのが帯分数のページです。ここでの途中の読みは、分数のページや帯分数のページのものとはわざと違います。あちらは分母どうしをそのまま掛けて、約分する前の積を印字し、このページは最小公倍数を見つけて変換後の2つの分数を印字します。だから同じ引き算が、ここでは9/12と2/12、あちらでは別の一対の途中経過として現れ、答えは一致します。最後に、答えはいつでも約分されますが変換後の読みはそうではありません。変換後の分数は6/8のような形で印字されることがあり、それは約分のし忘れではなく変換を記録している読みです。

分母が違う分数の引き算はどうやりますか

両方を共通の分母の上に書き直してから、分子を引いてその分母をそのまま残します。3/4から1/6は9/12から2/12になり、7/12です。2つの分母を掛ければいつでも使える共通分母になり、最小公倍数を使えばより小さいものが得られます。

3/4と1/6の共通分母が24ではなく12なのはなぜですか

12が4と6のどちらでも割り切れるいちばん小さい数だからです。4と6を掛けると2つの分母が共有する因数2を2回数えることになり、計算のなかのすべての数が倍になります。24分のいくつでも同じ答えに着きますが算術は倍で、パネルは掛け数が小さくて済むほうを印字します。

共通分母を出したあとも約分が必要ですか

必要です。共通分母は引き算を可能にしますが、結果を約分されたものにはしません。5/6から1/3は5/6から2/6で、それは3/6、そして3/6は1/2です。ページは差を約分し、変換後の2つの読みは変換したまま残すので、どちらの事実も見えます。

答えが負になることはありますか

あります。5/8から3/4は5/8から6/8で、−1/8です。小さいほうから大きいほうの分数を引くと結果が0より下に行きますが、それはエラーではなく本物の答えです。符号は分子に載るので、答えは−1/8と書かれます。

2つの分数が等しいときはどうなりますか

差は0になります。1/2から1/2は1/2から1/2に変換され、分子が0に引かれて、2の上の0は1の上の0に約分されます。分母の1は書かれないので裸の0として印字されます。共通分母の行は2のままです。方法が本当に走ったからです。

帯分数もここで引けますか

引けません。このページが受け取るのは2つの分数になる4つの整数なので、4 1/2のような帯分数は先に仮分数——9/2——に直す必要があります。その変換は帯分数のページがします。足し算、掛け算、割り算もそれぞれ別のページです。

• Fraction — 分子と分母で書かれた2つの整数の商、およびその2つを引く算術 — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — 与えられた2つの整数で割り切れる最小の正の整数。このページが2つの分数を書き直す先の共通分母がそれにあたる — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — 2つの整数を割り切るいちばん大きい整数。ここでは最小公倍数を求めるのと差を約分するのの両方に使われる — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — 分数の最も簡単な形。差が印字される形であり、変換後の読みが印字される形ではない — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — 1より大きい共通の因数を持たない2つの整数。共通分母が2つの分母のただの積になる場合がそれにあたる — Wolfram MathWorld (United States)