分数計算
計算結果
約分した分数
- 約分前の分数
- 5/6
- 小数
- 0.833333
分数の計算ツールは、2つの分数に対する四則演算を一度に行います。分子と分母を打ち込み、足し算・引き算・掛け算・割り算から1つを選び、2つ目の分数を打ち込むと、答えがすでに約分された形で返ります。2分の1＋3分の1は6分の5で、このツールは分母どうしを掛けて出る36分の16ではなくそちらを印字します。この一言が、ここで計算ツールを使う値打ちそのものです。分数の足し算は人が間違えやすい演算で、四則の中で分母をそろえなければ先に進めないのはこれだけです。掛け算はそのまま掛ければ終わりですが、足し算と引き算では2分の1と3分の1を、共通して使える何かに直す必要があります。そこへ至る道は2本あります。安全なほうはこのページが全部見せているやり方で、それぞれの分子にもう一方の分母を掛け、その積を共通分母にします。2分の1と3分の1なら6分の5が6の上に乗った形、つまり約分前の形です。すっきりしたほうは両方の分母を割り切るいちばん小さい数を探すやり方で、ここでは6になり、同じ答えをいきなり6分の5に畳みます。2つの出力があるのは両方を見られるようにするためで、これは2つの答えではなく、約分する前と後ろの同じ1つの数だと知っておく価値があります。割り算は独自の規則を持つもう1つの演算です。分数で割るのは、その分数を上下ひっくり返して掛けるのと同じなので、2分の1を4分の3で割るのは2分の1×3分の4、つまり6分の4、そして3分の2になります。掛け算と引き算にこうした驚きはありませんが、引き算は負の分子が顔を出す場所です。2分の1−3分の1は6分の1、3分の1−2分の1はマイナス6分の1で、このページは負号を分数全体ではなく分子に付けたままにします。計算がそこに置いたからです。使い始める前に知っておきたいことが4つあります。このページは帯分数ではなく仮分数で扱います。4分の9は4分の9のまま返り、次の計算が欲しがる形であって、2と4分の1にはなりません。分母が0の入力は答えとして扱わず、はっきり拒否します。その分数には値が無いからです。分子が0の分数で割ることも拒否します。0の逆数は数ではないからです。そして、交叉して掛けた結果が整数を厳密に表せる範囲を出てしまうほど大きい分子も、近似の答えではなくエラーとして返します。分母の上限10万に加えてこのページが課す唯一の入力制限です。
四則演算と、約分が起きる場所
| 1番目の分数 | 演算子 | 2番目の分数 | 約分前 | 最簡形式 | 小数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1/2 | + | 1/3 | 5/6 | 5/6 | 0.833333 |
| 1/4 | + | 1/6 | 10/24 | 5/12 | 0.416667 |
| 3/4 | − | 1/3 | 5/12 | 5/12 | 0.416667 |
| 2/3 | × | 3/5 | 6/15 | 2/5 | 0.4 |
| 1/2 | ÷ | 3/4 | 4/6 | 2/3 | 0.666667 |
| 5/6 | × | 3/10 | 15/60 | 1/4 | 0.25 |
四則演算をすべて覆う6行で、大事なのは4列目と5列目、つまり約分の前と後の同じ数です。まず2行目を読んでください。計算がいちばんよく見えます。4分の1＋6分の1は10/24を通り、10と24が共通の因数2を持つので5/12に約分されます。次に1行目と3行目を見てください。2つの列が同じ分数を保っていて、約分はまったく要りませんでした。1列しか出さないページではこの2つの事実がどちらも隠れます。掛け算と割り算の行はそれぞれの規則を示します。そのまま掛けると6/15が出てから2/5になり、割り算は逆数を掛けるので2分の1を4分の3で割ると4/6が出てから2/3になります。どの行の小数も約分後の分数を6桁にしたもので、最後の列がその前の2列の確認になります。2行目と3行目は、違う演算と違う途中の分数から来ているのに、どちらも0.416667に行き着きます。
公式
足し算・引き算： a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) 掛け算： a/b × c/d = (a·c) / (b·d) 割り算： a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) そのあと両方を最大公約数で割る
- 1番目の分数
- 分子と分母で、どちらも整数です。分子は負でも0でもかまいませんが、分母は0ではいけませんし、10万を超えてもいけません
- 演算子
- 四則演算のどれかで、4つしかないので一覧から選びます。1番目の分数に2番目の分数を足す・引く・掛ける・割るのいずれかです。割り算は2番目の分数を上下ひっくり返して行う演算で、だから2番目の分子が0のときに拒否される演算でもあります
- 2番目の分数
- もう一方の項で、規則は同じです。分子は任意の整数、分母は0以外で10万まで。割り算のときは、その分子が逆数の分母になります
- 約分前
- 規則からそのまま出てきた分数で、まだ約分をしていません。2分の1＋3分の1なら6分の5が6の上に乗った形です。分母が2つの分母の積になるので、この形は分母どうしを掛けるやり方と呼ばれることがあり、最小公倍数より大きくなり得る理由でもあります
- 最簡形式
- 同じ値から最大公約数を両方で割り出したもの。6の上の6分の5は6分の5に約分されます。これが答えで、2つの出力のあいだにある手順が分数の約分の全部です
- 小数
- 答えを小数で表したもので、6桁まで。6分の5は0.833333です。割り切れない値は切り捨てではなく四捨五入し、この6桁は表示の選択であって分数の精度を述べたものではありません
4つの演算、4つの場面、そして持っておきたい習慣が1つあります。足し算は、全体の違う部分で表された量を合わせるときに使います。カップ3分の1＋カップ4分の1で、このページはそれが12分の7だと教えてくれます。引き算は同じことを符号を逆にして行うもので、2つの分数の順序が効く演算です。2分の1−3分の1は6分の1、3分の1−2分の1はマイナス6分の1なので、先に入れた分数が引かれる側になります。掛け算は四則でいちばん簡単で、いちばん考えすぎてしまう演算です。上は上どうし、下は下どうしで掛ければよく、探すべき共通分母はありません。3分の2の2分の1は3分の1です。割り算は逆数を掛けることで、人が計算ツールに頼る演算でもあります。4分の3を2分の1で割るのは4分の3×2、つまり4分の6、そして1と2分の1です。この4つの下には習慣が1つ座っています。答えをざっくりした小数と見比べることです。6の上の6分の5は10分の8より少し大きく、6分の5も同じなので、約分で値が変わっていないと分かります。約分がそのままにしておいてよいのは値だけです。2つの小数が食い違うなら、誤りは約分ではなく計算のほうにあり、最簡形式の出力を何度読み返しても見つかりません。
計算例
2分の1＋3分の1
- 分母どうしを掛けて共通分母を出す：2 × 3 = 6
- 1番目の分子：1 × 3 = 3
- 2番目の分子：1 × 2 = 2
- 分子を共通分母の上で足す：(3 + 2) / 6 = 5/6
- 約分は起きない。5と6に共通の因数はないので、約分前と答えは同じで、小数は0.833333
既定の入力例で、2つの分数出力が一致する場合です。掛け合わせた形がすでに最簡のときはいつでもそうなり、2つの単位分数の和では分母が互いに素だったということです。両者が違う例の前に一度見ておく価値があります。同じ分数を2度表示するページが不具合に見えないようにするためです。
4分の1＋6分の1、2つの形
- 分母どうしを掛けて共通分母を出す：4 × 6 = 24
- 1番目の分子：1 × 6 = 6、2番目の分子：1 × 4 = 4
- 共通分母の上で足す：(6 + 4) / 24 = 10/24
- 10と24の最大公約数を求める：2
- 両方を2で割る：答えは5/12、小数では0.416667
2つの出力を説明する例です。24は4と6の両方を割り切る最小の数ではなく、12がそれにあたるので、約分前は必要より大きくなり、約分の手順が実際に仕事をします。最小公倍数ではなく積を通るのは手抜きではなく、分母の因数を考えずにどの組にも当てはまる規則で、そのあとの約分がすっきりした形に戻します。10/24と5/12は同じ数で、表の最後に並ぶ一致した小数がそれを裏づけます。
3分の2×4分の3
- そのまま掛ける：2 × 3 = 6を、3 × 4 = 12の上に
- 共通分母は要らない。その手順は足し算と引き算だけのもの
- 6で約分する：6 ÷ 6 = 1、12 ÷ 6 = 2
- 答えは1/2で、小数では0.5
掛け算では分母をそのまま掛けるだけで、先にそろえるものは何もありません。ここでの約分は注目に値します。3分の2×4分の3は2分の1で、どちらの項よりも小さくなります。どちらも1より小さいからで、掛ければ大きくなると期待する人を驚かせる結果ですが、0.5と見比べれば1手で確かめられます。
2分の1÷4分の3
- 2番目の分数を上下ひっくり返す：3/4は4/3になる
- 掛け算に直す：(1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
- 2で約分する：4 ÷ 2 = 2、6 ÷ 2 = 3
- 答えは2/3で、小数では0.666667
割り算は逆数を掛けることで、2番目の分数の分子が答えの分母に来るのはこの規則のためです。向きに注意してください。2分の1を4分の3で割った答えは3分の2で、もとの2分の1より大きくなります。割る数が1より小さいからです。1より小さい数で割れば結果は必ず大きくなり、それがここで使えるいちばん手軽な健全性の確認です。
3分の1−3分の1と、4分の9÷4分の9
- 共通分母：3 × 3 = 9
- 1番目の分子は1 × 3 = 3、2番目の分子も1 × 3 = 3
- 引く：(3 − 3) / 9 = 0/9
- 約分：0を何で割っても0で、答えは0/9ではなく0と印字される
0は空の結果ではなく正当な答えです。2つの分数は等しく、等しい数どうしを引くと何も残りません。約分前の出力はそれを生んだ計算の形、つまり分母の9を保ち、答えのほうは1桁に畳まれます。同じ畳み方が反対側でも起きます。4分の9を4分の9で割ると整数の1になり、約分前は36の上の36です。分子と分母が等しい分数は、それ自身の上の分数ではなく整数として印字されます。
適用限界
約分前の出力は分母どうしを掛けたものであって、最小公倍数ではありません。4分の1と6分の1の足し算は12ではなく24を通るので、途中の分数はすっきりした形より大きく、最小公倍数を期待する人には間違って見えます。どちらも同じ数で答えは正しく、2つの出力はどれだけ約分したかだけが違います。ただし欲しかったのが最小の共通分母なら、読むべきは約分後の出力です。結果は仮分数で、帯分数にはなりません。4分の9は2と4分の1にならず4分の9のままで、整数になる結果は整数として印字されます。2分の1÷2分の1は1/1ではなく1です。小数の出力は6桁に丸めるので、答えそのものというより答えの確認になります。3分の1は0.333333で、3分の1と3分の2の足し算は1ではなく0.999999と表示され、同じ計算を分数のまま通せばちょうど1になります。分母は10万が上限で、これはこのページが一度にどれだけ約分するかについての意図的な天井です。3つの入力は答えを出す代わりに拒否します。分母が0のものは分数に値が無いため、2番目の分子が0の割り算は0の逆数が数でないため、そして交叉して掛けた結果が整数演算の厳密さを保てる範囲を出るほど大きい分子は、近似の分数を印字せずエラーとして報告します。整数でない分子も拒否するので、分子の欄に1と2分の1のような値を入れる場合は、先に手で仮分数に直しておく必要があります。
よくある質問
- 2つの分数の出力が違うのはなぜですか
- 片方が答えで、もう片方が途中の計算だからです。約分前の分数は規則からそのまま出てきたもので、分母どうしを掛け、分子はもう一方の分母を掛け合わせたものです。約分後の分数は同じ値から最大公約数を両方で割り出したものです。4分の1＋6分の1は約分前が10/24、約分後が5/12で、小数が一致することが、書き方だけが変わった証拠になります。
- 12で足りるのに約分前の分母が24なのはなぜですか
- このページが共通分母を、両方を割り切る最小の数を探すのではなく、2つの分母を掛けて求めるからです。24は4×6で、12より大きいものの有効な共通分母です。掛け算は必ずうまくいき、分母の因数を分析する必要がなく、そのあとの約分が答えを最簡に戻します。この交換は意図したものです。最小の共通分母が欲しいときは、約分後の出力を読んでください。
- 分数の割り算はどうやりますか
- 逆数を掛けます。2番目の分数を上下ひっくり返して、そのまま掛けます。2分の1÷4分の3は2分の1×3分の4、つまり6分の4で、約分して3分の2です。ある数で割るのはその逆数を掛けることだからこの規則が成り立ち、2番目の分数の分子が答えの分母に来るのもそのためです。0.666667が0.5より大きいことが、1より小さい数で割れば必ず大きくなるという規則どおりだと裏づけます。
- 答えが帯分数になることはありますか
- ありません。結果は仮分数なので、4分の9は2と4分の1ではなく9/4として返ります。仮分数はそのあとも使える形です。帯分数を足したり掛けたりするには先に仮分数へ戻す必要があるので、帯分数で印字すると次の手順でもう一度直すことになります。9/4を2と4分の1にするのは割り算で、手早い確認なら小数の出力を読めば同じことが済みます。
- 分母が0だとどうなりますか
- エラーを報告します。そもそも答えようがありません。分母が0の分数には値が無く、分母は全体をいくつに分けるかを表す数で、0で割ることは定義されていないからです。2番目の分子が0の分数で割ることも同じ理由で拒否します。0の逆数は数ではないからです。一方、1番目の分子が0の場合は問題なく、掛け算でも割り算でも0になります。
- 答えが正しいかどう確かめますか
- 2つの項を暗算で小数に直し、そのざっくりした数で計算してみます。2分の1＋3分の1なら0.8と0.9のあいだに来るはずで、6分の5は0.833333です。1より小さい分数どうしの掛け算はどちらよりも小さくなり、1より小さい数で割ればどちらよりも大きくなります。ざっくりした答えと分数が食い違うときは、約分ではなく計算のほうに問題があります。約分は数の書き方しか変えられないからです。
参考文献
- Fraction — 分子・分母・斜線と、分数の足し算・掛け算・約分の規則。足し算と引き算が要求する共通分母もここに含まれる — Wolfram MathWorld (United States)
- Reduced Fraction — 分子と分母を最大公約数で割って得た最簡の分数。このページの2つの分数出力のあいだにある手順そのもの — Wolfram MathWorld (United States)
- Decimal fraction — 分母が10の整数乗である算術分数。12分の5のような分数が厳密な小数表記を持たず、小数の出力が丸めを要する理由 — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)