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CalcMax

分数→小数変換

範囲：1〜100,000

計算結果

0.375000

小数

約分した分数
3/8
循環する桁数（0なら有限小数）
0

分数を小数に直す計算ツールです。分子を分母で割り、3つのことを報告します。小数にした商、約分した分数、そして小数展開の循環節の長さです。8分の3は0.375で小数がそこで終わるので、循環節の長さは0です。3分の1は表示上0.333333で小数が終わらないので、循環節の長さは1、つまり1桁が永遠に繰り返します。この3つ目の数が、ただの割り算とこのページを分けます。分数にはどれも小数展開があり、その展開はちょうど2種類に分かれます。有限の桁で終わるか、桁のまとまりを繰り返しながら永遠に続くかです。3つ目はありません。どちらになるかは、何かを割る前に分母だけで決まります。まず分数を約分してください。このページが代わりにやるので、4分の2は2分の1として報告されます。そして約分後の分母が何からできているかを見ます。素因数が2と5だけなら小数は終わり、桁数は2と5のうち長いほうの個数だけ続きます。それ以外の素因数があれば小数は繰り返し、永遠に繰り返します。循環節の長さはその分母だけの性質になるので、印字する値打ちがあります。7分の1は6桁ごとに、97分の1は96桁ごとに繰り返し、7分の22、つまり円周率のとてもよい近似も6桁ごとに繰り返します。下にある分母が7だからです。出力を逆の順に読むのも一度はやってみる価値があります。約分された分数は小数が終わるかどうかを教え、小数はそれが6桁までで何かを教え、循環節の長さはそのうちどれだけが見えていないかを教えます。3つ目の出力が0なら、6桁が答えの全部で何も失われていません。0でなければ、6桁は終わりのない展開を丸めた眺めです。3分の1は0.333333と表示され、これは3分の1ではなく6桁目で丸めた3分の1で、その差0.000000333は消えてくれません。拒否する入力が2つあります。分母が0のものには答えがなく、整数でない分子は変換せずに拒否します。帯分数は何かで割る前に仮分数に直しておく必要があるからです。

分母2から12までの、1をその数で割ったもの

分母小数循環節
20.50
30.3333331
40.250
50.20
60.1666671
70.1428576
80.1250
90.1111111
100.10
110.0909092
120.0833331

11個の単位分数で、大事なのは1列目と3列目、つまり分母とその循環節の長さです。あいだの小数は、ふだんは自分で調べることになる値です。循環節の列を上から読むと、このページの理論がそのまま現れます。2、4、5、8、10は0になります。これらの数が2と5だけでできているからです。3、6、9、12は1になります。それぞれの中に3が1つ座っているからです。11は2で、それ自身の短い循環節です。7は6で、この表でいちばん長くなります。0でない循環節の隣の小数を読むと、話が具体的になります。3分の1、6分の1、12分の1、9分の1はどれも近似として表示され、0.333333、0.166667、0.083333となります。一方、終わる行は厳密に表示されます。7行目はもう一度見る価値があります。0.142857は7分の22に出てくるのと同じ6桁のまとまりで、あの分数が円周率のよい近似になる理由だからです。

公式

小数 = 分子 ÷ 分母 約分後の分数 = 分子と分母から最大公約数を割り出したもの 循環節 = 繰り返す桁のまとまりの長さ（小数が終わるなら0）

分子
分数の上の数で、整数です。負でも0でもかまいません。分子が0なら小数も0になり、分子が分母より大きい分数は1より大きい小数になります
分母
分数の下の数で、整数、10万まで、0は不可です。小数が終わるか繰り返すかを決める欄であり、繰り返す場合はその長さも決めます。これは分母だけについての事実です
小数
分子を分母で割ったもので、6桁まで表示します。小数が終わるときはこの6桁が末尾の0も含めて答えの全部で、繰り返すときは6桁目で丸めた展開であり、その打ち切りでも厳密な形でもありません
約分後の分数
最簡の形の分数で、繰り返しの性質はこの形で判断しなければなりません。2/4は1/2として報告され、小数が終わると決めているのはその分母の2であって、打ち込んだ4ではありません
循環節
繰り返すまとまりが何桁かを表し、小数が終わるなら0です。3分の1は1、7分の1は6、97分の1は96。この数は約分後の分母だけに依存するので、分母が97の分数は分子が何であっても循環節が96になります

使い道は3つあり、3つ目の出力がどれだけ役に立つかの順に並べられます。分数を測量や表計算のために小数へ直すのが素直な使い方です。8分の3は0.375、2分の1は0.5で、分母の小さい4つは暗記しておく価値があります。2つ目は、その分数が厳密に小数へ直せるかを確かめることです。答えを決まった桁数の小数にしなければならないときはこれが本題になります。分母が2と5だけでできていればきれいに直り、7や3を含むものは何桁許しても直りません。3つ目は、どれだけの精度を捨てているかを見積もることです。循環節が1桁か2桁の分数は6桁の小数でよく表せますが、96桁のものはそうではありません。97分の1は0.010309と表示され、真の展開の次の6桁はまったく別の数字です。その数を計算に使う前に知っておく価値があります。このページの外にある場合が2つあります。循環小数を厳密な分数に戻すのは逆方向で別の問題であり、6桁で印字された小数はそれを解く手がかりになる循環の構造をすでに捨てています。そして帯分数は入力として受け付けません。2と4分の1は9/4として入れてください。割り算は1つの分子と分母を必要とするからです。

計算例

  1. 8分の3 — 終わる小数

    1. 分子を分母で割る：3 ÷ 8 = 0.375
    2. 割り算が割り切れるので、循環節は0
    3. 分数はすでに最簡なので、3/8として報告される

    既定の入力例で、簡単なほうの種類です。8は2だけでできているので小数は終わり、表示の6桁はあとに0を連ねた答えの全部を保ちます。そう言っているのが周期の0で、ここでの0は何も丸められず何も捨てられていないという意味です。小数の厳密さが問題になるときに、最初に見るべき出力になります。

  2. 3分の1 — 終わらない小数

    1. 割る：1 ÷ 3 = 0.333333…
    2. 3は2と5だけではできていないので、展開は終わらない
    3. 繰り返すまとまりは1桁の3なので、循環節は1
    4. 表示は最初の6桁、0.333333

    循環節の出力が存在する理由の例で、小数がいちばん信用できない場面でもあります。0.333333は3分の1ではありません。6桁目で丸めた3分の1で、3を掛けると1ではなく0.999999になります。循環節1は、表示が無限の展開を眺めたものであって答えの全部ではないと教えています。同じページで循環節が0なら逆のことを教えます。3分の1と3分の2を足すのが定番の実演で、小数では0.999999、分数ではちょうど1になります。

  3. 7分の22 — 長い循環節と仮分数

    1. 割る：22 ÷ 7 = 3.142857142857…
    2. 7は2と5以外の素因数を持つので、小数は繰り返す
    3. 繰り返すまとまり＝142857、長さは6桁
    4. 表示は3.142857で、分数はすでに最簡

    1より大きい分数なので小数に整数部分があり、分母が7なので循環節は6桁、1桁の分母が出す中でいちばん長いものです。7分の22は円周率の古典的な近似で小数第2位まで正しく、繰り返すまとまり＝142857は、7分の1の循環節としてそれ自体が有名です。ここでは循環節の出力が実際に仕事をしています。表示された6桁が繰り返すまとまりの全部であって、より長いものの丸めた断片ではないと言っています。

  4. 4分の2は2分の1として報告される

    1. まず約分する：2と4は因数2を共有するので、分数は1/2
    2. 約分した形で割る：1 ÷ 2 = 0.5
    3. 2は2だけでできているので、循環節は0

    このページは割る前に約分し、その結果がこれです。分数の出力は打ち込んだ2/4ではなく1/2になります。値はどちらでも同じで、繰り返しの性質を読むべきなのは約分した形のほうです。小数が終わるかを決める分母は約分後の分母です。これを一度見ておくと、予想しなかった形で打ち込んだ分数が別の形で返ってくる理由が分かります。

  5. 97分の1 — 表示より長い循環節

    1. 割る：1 ÷ 97 = 0.010309278350515…
    2. 97は素数で2でも5でもないので、小数は繰り返す
    3. 循環節は96桁
    4. 表示は最初の6桁、0.010309

    極端な場合で、循環節が大きくても印字する価値がある理由です。96桁は表示の6桁よりはるかに多く、見えているのは最初の繰り返しの16分の1にあたります。模様が現れるまでに非常に多くの桁を繰り上げなければならない数です。6桁の小数の隣に並ぶ96という循環節は警告です。小数が間違っているという意味ではなく、小数が一瞬を切り取ったものだという意味です。循環節1の3分の1の場合と見比べてください。同じ6桁が、そちらではその数のはるかによい表現になります。

適用限界

小数は6桁まで表示するので、循環節が0のときだけ厳密です。循環節が0より大きいとき、その数に有限の小数表記は無く、6桁は6桁目で丸めた展開です。3分の1は0.333333と現れ、それは3分の1ではなく、3分の1と3分の2を足すと1ではなく0.999999と表示されます。循環節が6より大きければ、表示は1回の繰り返しの一部しか見せていません。このページは割る前に約分するので、最簡以外の形で入れた分数は約分されて返ります。2/4は1/2、100/8は25/2として報告され、循環節は約分後の分母の性質なのでその約分後の形から計算されます。整数になる結果は分母1の分数ではなく整数として印字されるので、5/1は5、分子が0なら0として返ります。帯分数は受け付けません。2と4分の1は9/4として入れてください。割り算は1つの分子と分母で動き、どちらの欄でも整数でない値は変換せずに拒否します。分母は10万が上限で、これは循環節の長さも縛ります。許された分母が出せるいちばん長い循環節は10万桁のすぐ下です。循環節は桁のまとまりそのものではなく桁数として報告されます。このページは97分の1の展開が96桁ごとに繰り返すと教えますが、その96桁がどれかは見せません。

よくある質問

分数を小数に直すにはどうしますか
分子を分母で割ります。8分の3は3 ÷ 8 = 0.375、2分の1は1 ÷ 2 = 0.5です。割り算が方法の全部で、先にやる価値があるのは分数を最簡に約分することだけです。小数が終わるか永遠に続くかを決めるのは約分後の分母だからです。
小数が終わるかどうはどう分かりますか
約分後の分母の素因数を見ます。2と5だけでできていれば小数は終わります。2、4、5、8、10、16、20、25、100はどれも終わる小数を与えます。それ以外の素数、3や7や11を含んでいれば、小数は永遠に繰り返し、有限の桁数では厳密に書けません。循環節の出力がどちらの場合かを教えます。0なら小数は終わり、それ以外は繰り返すまとまりの長さです。
1/3が0.333333と表示されるのはなぜですか
表示が小数点以下6桁で、3分の1には有限の小数表記が無いので、6桁目で展開を丸めるからです。0.333333は厳密には3分の1ではありません。3を掛けると1ではなく0.999999になり、それが違いを確かめる計算になります。循環節1はそのことを教えています。小数は続いていて、表示されているのはその眺めであって答えではありません。
2/4が1/2と表示されるのはなぜですか
このページが割る前に分数を約分し、報告するほかのすべてにとって約分後の形が大事だからです。値はどちらでも同じ0.5ですが、循環節は約分後の分母の性質なので、約分が先に来ます。小数が終わると言っているのは1/2の2であって、打ち込んだ4ではありません。必要より大きい形で入れた分数はいつも約分されて返ります。
循環節が96というのはどういう意味ですか
その分数の小数展開が96桁ごとに繰り返すという意味です。97分の1なら、96桁のまとまりが永遠に続きます。表示された小数の正確さを測った数ではありません。見えている6桁はそこまでは正しく、1回の繰り返しのごく一部だというだけです。分かるのは、6桁ではその数をよく表せないということです。続く桁は見えている模様の続きではなく、もっと長い別の模様だからです。
答えが1より大きくなったり負になったりしますか
どちらも普通のことです。分子が分母より大きければ小数は1を超え、7分の22は3.142857になります。分数の出力は帯分数にならず仮分数のままです。分子が負なら小数も負になり、負号は分数の分子に残ります。マイナス4分の3はマイナス0.75で、−3/4と印字されます。循環節はどちらにも影響されません。分母だけに依存するからです。

参考文献

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