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CalcMax

分数を足す計算

範囲：1〜100,000

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計算結果

5/12

和（最も簡単な形）

共通分母
12
変換後の1番目の分数
3/12
変換後の2番目の分数
2/12

分数の足し算を、通分という手順つきで計算します。1/4と1/6を足すと5/12で、途中は3/12＋2/12です。4分の1は12分の3、6分の1は12分の2なので、合わせて12分の5になります。分母がそろっていればそのまま足せます。分母は1つ分の大きさを表し、分子はその個数を数えているからです。1/5＋2/5は5分の3で、これはりんご1個とりんご2個を合わせてりんご3個になるのと同じ理屈です。分母が違うと1つ分の大きさが違うので、そのままでは個数をまとめて数えられません。そこで、それぞれを同じ分母の等しい分数に直してから足します。ここで使う共通分母は、2つの分母の最小公倍数、つまりどちらの分母でも割り切れるいちばん小さい数です。4と6なら24ではなく12です。分母どうしを掛けた数も共通分母になりますが、1つ分が必要以上に細かくなり、あとから約分し直すことになります。最小公倍数を使えば、通分した分子もできるだけ小さく保てます。ただし和が最初から最簡になるとは限りません。1/3＋1/6は2/6＋1/6、つまり3/6になり、約分して1/2です。和は約分してから表示し、その隣に並ぶ通分後の2つの分数はそのままにします。表示しているのが手順そのものだからです。結果は分数で表示し、仮分数もそのままにします。3/4＋5/8は11/8となり、帯分数には直しません。そうすることで、パネルに出る数値をすべて同じ書き方にそろえられます。分子も分母も整数で、分母には上限があります。計算は整数のまま厳密に行うので、分母が何万という分数はそもそもここで足し合わせる対象になりません。

よくある足し算とその共通分母

1番目の分数2番目の分数共通分母和
1/41/6125/12
1/21/365/6
1/41/243/4
1/31/661/2
2/31/665/6
3/45/8811/8
1/71/117718/77
1/21/221

どの行も同じ式から出てきたもので、特別扱いの行はありません。1行目は既定の例で、最小公倍数が何をもたらすかがいちばん分かりやすい行です。1/4と1/6の共通分母は24ではなく12になります。2行目は2つの分母が共通の因数を持たない場合で、共通分母は本当に積になります。分母どうしを掛ける近道が万能に見えるのはこの行のせいです。3行目は片方の分母がもう片方で割り切れる場合で、共通分母は大きい方そのものです。4行目は最小公倍数を使っても和に手が要ることを示します。1/3＋1/6は2/6＋1/6になり、3/6は1/2に約分しなければなりません。2行目と5行目はどちらも5/6に着きますが、1/2＋1/3と2/3＋1/6はどちらも6分のいくつかに直って5つ分になるので、無関係な2組の分数から同じ答えが出ます。6行目は仮分数のまま残した結果、7行目は共通の因数がまったくない組で共通分母は77、最後の行は2分の1が2つで1になり、パネルには1と表示されます。

公式

共通分母 = 2つの分母の最小公倍数 通分後 = 各分子 × (共通分母 ÷ その分母) 和 = (通分した1番目 + 通分した2番目) ÷ 共通分母、約分する

1番目の分数
1つ目の分子と分母。分母は0ではいけません。負の分数では分子に負号が付きます。
2番目の分数
2つ目の分子と分母。1つ目とまったく同じ扱いで、2つの項を入れ替えても和は変わりません。
共通分母
2つの分母の最小公倍数。1/4と1/6なら12です。どちらの分母でも割り切れるいちばん小さい数で、これが分子をまとめて数えられるようにします。
通分した分数
それぞれの分母を共通分母に合わせた分数。分母に掛けたのと同じ数を分子にも掛けます。1/4は3/12、1/6は2/12になります。値は変わらず、変わったのは1つ分の大きさだけです。
和
通分した2つの分子を足し、共通分母の上に置いて約分したもの。分数で表示し、仮分数は帯分数にせずそのままにします。

分母が違う2つの分数を足すときは、いつでもこの手順を使います。1つ目は学校の勉強で、答えよりも通分の過程が大事な場面です。通分した2つの分数も表示されるので、宿題の途中式と1行ずつ照らし合わせられます。2つ目は、違う大きさの分数で表された量を足すときです。1時間の1/4と1時間の1/6のように、同じ単位にそろえて初めて和が意味を持ちます。この場合は12分のいくつかで数えることになります。3つ目は、誰かの計算を確かめるときです。1/4＋1/6を10/24と答えていたら、それは分母どうしを掛けただけで、間違いではありませんが約分されていません。このページの共通分母12は、同じ和をより小さい1つ分で出せることを示します。最初から分母がそろっていれば、通分の手順は何もせず、分子を足すだけです。

計算例

  1. 1/4 + 1/6

    1. 4と6の最小公倍数は12
    2. 1つ目を通分：1/4 = 3/12（12 ÷ 4 = 3）
    3. 2つ目を通分：1/6 = 2/12（12 ÷ 6 = 2）
    4. 分子を足す：3 + 2 = 5なので5/12

    既定の入力例で、共通分母が何をもたらすかがいちばん分かりやすい場合です。1つ分は24分のいくつかではなく12分のいくつかになります。12が4と6の両方で割り切れる最小の数だからです。和はすでに最簡です。

  2. 1/2 + 1/3

    1. 2と3の最小公倍数は6
    2. 1つ目を通分：1/2 = 3/6
    3. 2つ目を通分：1/3 = 2/6
    4. 分子を足す：3 + 2 = 5なので5/6

    ここでは2と3が共通の因数を持たないため、共通分母が2つの分母の積と一致します。分母どうしを掛ける近道がいつでもうまくいくように見えるのは、この場合があるからです。

  3. 3/4 + 5/8、仮分数になる例

    1. 4と8の最小公倍数は8（8はすでに4の倍数）
    2. 1つ目を通分：3/4 = 6/8
    3. 2つ目を通分：5/8はすでに8分のいくつか
    4. 分子を足す：6 + 5 = 11なので11/8

    片方の分母がもう片方で割り切れるので、共通分母は積ではなく大きい方になります。和は1より大きく、11/8として表示されます。仮分数はそれで立派な書き方で、すべての数値を同じ形にそろえられます。

  4. 1/2 + 1/2、整数になる例

    1. 分母がすでにそろっているので、共通分母は2
    2. 通分：どちらも2分のいくつかのまま
    3. 分子を足す：1 + 1 = 2なので2/2
    4. 約分：2/2は1

    2分の1が2つで1になります。2/2や1/1ではなく1と表示されます。共通分母が最小公倍数であっても約分の手順は省けません。通分した2つは最簡ですが、その和が自動的に最簡になるとは限らないからです。

適用限界

入力はすべて整数です。0.5＋1/3はこのページでは足せません。先に小数を分数に直してください。計算全体を整数で厳密に行うので、小数が入るとその厳密さが崩れます。分母は正の整数で上限があり、分子にも上限があります。通分した分子を掛け合わせてから足すためです。結果は必ず分数で表示し、帯分数にはしません。11/8は1 3/8ではなく11/8のままです。共通分母は最小公倍数なので、四則演算の分数計算ツールが出す途中式とは違うことがあります。同じ組を足しても、あちらは6/24と4/24、こちらは3/12と2/12になります。どちらも正しく、1つ分の大きさが違うだけです。ここで行うのは足し算だけです。引き算・掛け算・割り算はそれぞれ別のページで、負の結果は分子に負号を付けて表します。帯分数は先に仮分数に直してから入力してください。

よくある質問

分母が違う分数はどう足しますか
両方を同じ分母に直してから、分子を足してその分母をそのまま使います。それが式の全部です。1/4と1/6なら共通の分母は12なので、3/12と2/12になり、和は5/12です。
共通分母はどうやって求めますか
2つの分母の最小公倍数、つまりどちらの分母でも割り切れるいちばん小さい数です。4と6なら12です。分母どうしを掛けても共通分母にはなりますが、必要より大きくなることが多いです。
分母どうしを掛けるだけではだめですか
それでも答えは出ますが、1つ分が必要以上に細かくなります。1/4＋1/6をそのやり方でやると6/24＋4/24で10/24になり、そこからさらに5/12へ約分し直すことになります。最小公倍数を使えば12分のいくつかで済みます。
答えはあとから約分が必要ですか
必要なことがあり、このページは表示する前に約分します。最小公倍数を使えば1つ分はできるだけ大きく保てますが、分子の和が共通の因数を持たないとは限りません。1/3＋1/6は2/6＋1/6で3/6になり、1/2に約分されます。
答えが仮分数になることはありますか
あります。そのまま表示します。3/4＋5/8は11/8で、1より大きくなります。帯分数に直すのはまた別の変換で、このページはすべての数値を分子と分母の形にそろえます。
パネルに出る通分後の2つの分数は何ですか
足し算のもとになる、共通分母に直したあとの2つの項です。1/4は3/12、1/6は2/12になります。値は変わっておらず、数える1つ分の大きさだけが変わっています。
小数と分数を混ぜて足せますか
いいえ。分子も分母もすべて整数でなければならず、0.5＋1/3は受け付けません。通分も足し算も整数のまま厳密に行うためで、先に小数を分数に直せばそのままでいられます。

参考文献

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