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CalcMax

等しい分数の計算

範囲：1〜100,000

範囲：1〜20

計算結果

2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18

等しい分数（×2、×3、…）

約分した分数
1/3
小数
0.333333

等しい分数を並べる計算ツールです。打ち込んだ分数と同じ値になる別の書き方を一覧にします。1/3なら2/6、3/9、4/12と続きます。どれも等しいのは、分子と分母の両方に同じ数を掛けているからです。1/3の分子と分母に2を掛けると2/6、3を掛けると3/9になり、1つ分の大きさを変えてもその個数が同じなら値は変わりません。ケーキの一切れをすべて半分に切れば、半分の大きさの切れが2倍の数になるのと同じ理屈です。5つ求めれば掛ける数は2、3、4、5、6になるので、指定する個数はこの並びの長さであって、関わる分母の数ではありません。パネルはその隣で問いの残り半分にも答えます。その分数を書けるいちばん小さい形と、小数にしたときの値です。この2つは並びと一緒に読む価値があります。並びのほうは約分せずに出すからです。1/3ではなく2/6と書くことがこの練習の主旨で、同じ数を違う表記で書いたものなので、並びの各項を約分すると同じ値を何度も印字することになり、いちばん見せたいものが隠れます。最簡形式は、分子と分母を最大公約数で割って得ます。最大公約数は両方を割り切るいちばん大きい数で、すでに最簡の分数には取り除ける共通の因数が残っていません。1/3の答えが1/3になるのはそのためです。並びは最簡の形からではなく、打ち込んだままの分数から始まります。だから2/6と1/3は最簡形式が同じでも並びは変わり、2/6の次は4/12、1/3の次は2/6になります。これは意図したもので、このページは実際に使われた表記についての問いに答えます。7/21と打ち込んだ人に2/6から始まる一覧を見せるべきではありません。手元の分数と等しい別の分数を探す、比較を確かめる、割り算をせずに2つの分数を比べられる形にそろえる、といった場面で使います。分子も分母も整数でなければならず、個数にも上限があります。掛け算は整数のまま厳密に行い、パネルの数値はすべて分母の上に分子を置く形で書くからです。小数は同じ値の別の表記なので、小数での値は、これらの分数に共通するものが何かを確かめるもう1つの読み方として添えています。

よくある分数と、それと等しい分数

分数等しい分数最簡形式
1/22/4, 3/6, 4/8, 5/101/2
1/32/6, 3/9, 4/12, 5/151/3
3/46/8, 9/12, 12/16, 15/203/4
2/64/12, 6/18, 8/24, 10/301/3
6/412/8, 18/12, 24/16, 30/203/2
5/510/10, 15/15, 20/20, 25/251
0/30/6, 0/9, 0/12, 0/150
-1/2-2/4, -3/6, -4/8, -5/10-1/2

どの行も同じ掛け算から出てきたもので、特別扱いの行はありません。1行目は最も簡単な場合で、1/2が2倍3倍して2/4と3/6になります。2行目と4行目は並べて眺めたい組です。1/3と2/6は同じ数でどちらも1/3に行き着くのに、並びは違います。並びは打ち込んだままの分数から作るからです。1/3の行は2/6から始まり、2/6の行は4/12から始まります。2つ目の数字が1つ目から読み取れない理由がここにあります。3行目はすでに最簡の分数で、自分自身を答えとして繰り返します。5行目は1より大きく、最簡形式も仮分数です。掛け算は分数が1より大きいかどうかを変えません。6行目は分子が分母で割り切れる分数で、パネルはそれを5/5ではなく1と書き、一方で隣の並びは分母を保ちます。主題が表記だからです。7行目は分子が0の場合で、等しい分数もすべて0になります。前項が0の比は許されませんが、ここでは許されます。最後の行は負の分数で、負号は最後まで分子に付いたままです。マイナス2/4、マイナス3/6で、2/マイナス4にはなりません。8行はどれも個数4で、並びの長さがそろっているので直接見比べられます。

公式

等しい分数 = (分子 × k) ÷ (分母 × k)、kは2、3、4…と個数より1つ大きいところまで 最簡形式 = 分子と分母を最大公約数で割ったもの 小数での値 = 分子 ÷ 分母

分数
打ち込む分子と分母。分母は0ではいけません。負の分数では分子に負号が付きます。分子が0の場合は許され、その等しい分数もすべて0になります。
掛ける数k
分子と分母の両方に掛ける整数。2から、指定した個数より1つ大きいところまで動きます。5つ求めれば2、3、4、5、6です。1になることはありません。それは打ち込んだままの分数だからです。
等しい分数
並びの1つひとつで、分子と分母に同じkを掛けたもの。値は変わらず、変わったのは1つ分の大きさだけです。並びの項は約分せずに出るので、2/6は2/6のまま並びます。
最簡形式
同じ値を、できるだけ小さい分子と分母で書いたもの。両方を最大公約数で割って得ます。すでに最簡の分数はそれ自身が答えになり、分子が分母で割り切れる分数は整数として印字されます。5/5は1です。
小数での値
分子を分母で割ったもので、小数点以下6桁に丸めます。同じ数の3つ目の書き方ですが、並びと違って2つの分数が等しいことを目で示せません。1/3も2/6も0.333333になります。

1つ目は学校の分数の勉強で、1つの値には多くの名前があることが主題になる場面です。2/6と打ち込んで4/12、6/18、8/24が出れば、最簡に直すのは書き方を変えることで数は変わらないと、はっきり分かります。2つ目は比較です。2つの分数は分母がそろえば比べやすくなります。2/3と3/5はひと目では判断しにくいですが、等しい分数の10/15と9/15なら簡単で、これは分数の足し算が必要とするのと同じ変換です。3つ目は誰かがやった約分の確認です。ある分数が3/4になると言われたなら、3/4から始まる並びにもとの分数が入っているはずで、入っていなければその2つは同じ数ではなかったことになります。4つ目は、分母を決められた形で報告しなければならない場合です。インチの16分のいくつか、時間の12分のいくつかといった単位で値がいくつになるかを見たいときに使います。すでに最簡の分数ではパネルがそれをそのまま繰り返し、それ自体がこれ以上簡単にできるかどうかの答えになります。

計算例

  1. 1/3を5つ

    1. 1/3の分子と分母に2を掛ける：2/6
    2. 3を掛けると3/9、4を掛けると4/12
    3. 5を掛けると5/15、6を掛けると6/18。5つ求めたので5つ
    4. 最簡形式：1と3に共通の因数はないので、答えはふたたび1/3
    5. 小数での値：1 ÷ 3 = 0.333333

    既定の入力例で、掛ける数が2から始まる理由がいちばんよく分かります。1を掛けると1/3そのものが最初の項に出てしまい、それは別の分数ではありません。最簡形式が入力と一致しているのは、この分数がすでに書けるいちばん簡単な形だということで、小数が続くのは3分の1が厳密な小数表記を持たないからです。

  2. 2/6を3つ

    1. 2/6の分子と分母に2を掛ける：4/12
    2. 3を掛けると6/18、4を掛けると8/24
    3. 最簡形式：2が両方を割り切るので、2/6は1/3
    4. 小数での値：2 ÷ 6 = 0.333333で、1 ÷ 3と同じ

    パネルの2つ目の数字を説明する例です。2/6と1/3は同じ数なので最簡形式も小数での値も同じなのに、並びは違います。ここでは最初の項が4/12で、1/3の並びは2/6から始まります。このページは打ち込んだままの分数から並びを作るので、出てくる一覧は、その値を2通りある書き方のどちらで入れたかで変わります。

  3. 5/5は整数になる

    1. 5/5の分子と分母に2を掛ける：10/10
    2. 3を掛けると15/15。2つ求めたので2つ
    3. 最簡形式：5が両方を割り切るので1
    4. 小数での値：5 ÷ 5 = 1

    分母が分子を割り切る分数は整数で、パネルは5/5や、5/5を1/1に直したものではなく1と書きます。それでも隣の並びは分母を保ちます。並びの主題は表記だからです。10/10と15/15は、同じ値がより小さい1つ分でどう見えるかを示しています。

  4. 6/4、1より大きい分数

    1. 6/4の分子と分母に2を掛ける：12/8
    2. 3を掛けると18/12、4を掛けると24/16、5を掛けると30/20。4つ
    3. 最簡形式：2が両方を割り切るので、6/4は3/2
    4. 小数での値：6 ÷ 4 = 1.5

    値は1より大きく、帯分数ではなく3/2として答えます。パネルの数値をすべて同じ書き方にそろえるためです。等しい分数もすべて仮分数で、これは3/2の分子と分母に同じ数を掛けた結果です。1より大きい分数を、掛け算で1より小さい分数にはできません。

適用限界

入力はどちらも整数でなければならず、0.75からは始められません。先に3/4に直してください。計算全体が整数のまま厳密に行われ、小数が入るとその厳密さが崩れるからです。分母には上限があり0は使えず、分子にも上限があります。並びの項がすべて積だからです。個数にも上限がありますが、思ったより小さな話ではありません。分数はすぐ大きくなり、7/21のような分数を20個も並べれば何百にもなります。並びは最簡の形からではなく打ち込んだままの分数から作るので、同じ値を2通りに書くと2通りの並びが出ます。これは間違いではなく選択ですが、出力が入力の表記に依存するということです。並びの項は約分しないので、6/18のような項が1/3と同じパネルに並びます。いちばん小さい分母が欲しいときは、パネルの2つ目の数字を読んでください。結果は分数で書かれ、帯分数にはなりません。負の分数は分子に負号を保ちます。このページが並べるのは、ある分数と等しい分数であって、分数を約分するためのものではありません。約分のページは割る数と途中式を出しますが、ここは答えを印字するだけです。まったく扱わないのは分数どうしの計算と小数からの変換で、それぞれ別のページです。

よくある質問

手元の分数と等しい分数はどう探しますか
分子と分母に同じ整数を掛けます。1/3から始めて両方に2、3、4を掛けると2/6、3/9、4/12になり、どれも1/3と等しくなります。式はこれで全部で、逆にも使えます。両方を共通の因数で割れば、同じ値の別の分数になります。
一覧が1/3ではなく2/6から始まるのはなぜですか
1を掛けると打ち込んだ分数そのものが出てしまい、比べる相手の別の分数にならないからです。並びは2、3、4…という倍数で、指定する個数はそのうち何個を並べるかです。
並んだ分数が約分されていないのはなぜですか
約分すると同じ数を何度も印字することになり、主旨と正反対になります。2/6、3/9、4/12はどれも1/3で、違う書き方で並んでいるのを見ることが、値が変わっていないと分かる手立てです。打ち込んだ値の最簡形式はパネルに別枠で出ます。
最簡形式とは何ですか
同じ値を、できるだけ小さい分子と分母で書いたものです。両方を最大公約数で割って求めます。2つに共通の因数がなければすでに最簡で、1/3のときのようにパネルはそれをそのまま繰り返します。
小数での値はどれも同じですか
同じです。ここでの等しさとはまさにそういうことで、1/3も2/6も3/9も4/12も0.333333になります。並びが本当に等しいかを確かめる最短の方法ですが、同時に違いを隠す読み方でもあります。分数が4つを示すところで、こちらは1つの数を示すからです。
1より大きい分数や負の分数も使えますか
どちらも使え、どちらも並びの中で性格を保ちます。6/4のような分数は最簡形式が3/2で、12/8や18/12なども同じく1より大きくなります。負の分数は分子に負号を付けて書くので、マイナス1/2はマイナス2/4、マイナス3/6と並びます。
分数ではなく小数を入れられますか
入れられません。分子も分母も整数でなければならず、0.75は拒否されます。先に3/4に直してください。並びを作る掛け算は整数のまま厳密に行い、値が10の累乗を分母とする分数で書けない小数は、その厳密さをたちまち崩します。

参考文献

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