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CalcMax

比の計算

計算結果

3 : 2

最も簡単な比

小数
1.5000
第1項を1にした比
1 : 0.6667

比の計算は、比を最も簡単な形に直したうえで、同じ一対の数をさらに2通りに読みます。6 : 4を入れると両方の項が2で割れるので、最も簡単な比は3 : 2になります。同じ一対は、1つ目の項を2つ目の項で割ると1.5で、比を逆にして書き直すと1 : 0.6667です。この3つの読みは、3つの問いへの答えではありません。比は1回の割り算ではなく数の一対なので、6 : 4も3 : 2も1.5も1つの関係を述べていて、いくつも並べて印字するのは、仕事によって必要な書き方が違うからです。レシピや縮尺図や歯車の列は整数でしか書けず、そのための形が最も簡単な比です。掛け算しようとしている傾きやレートは小数を欲しがります。そして比を誰かに言葉で説明する文はふつう第1項を1にした形を欲しがります。第1項の1つにつき第2項が0.6667あるという文のほうが、裸の一対より動きに移しやすいからです。項が整数でない場合も拒まずに扱います。両方の項に同じ10の冪を、どちらも整数になるまで掛けてから、はじめて共通の約数を約分します。2.5 : 5は25 : 50を経て1 : 2になります。等しい比が等しいものとして扱われるのはそのおかげで、0.5 : 2のような小数だらけの一対もきれいな1 : 4で返ってきます。パネルは項を入ってきた順に印字するともかぎりません。符号が絡むときは、符号が1つ目の項に座るまで両方の項に同じ数を掛けるので、3 : −4は−3 : 4として印字されます。同じ比を、サイト全体が使っている書き方で書いただけです。

よくある比を、簡単な形と小数で

比最も簡単な比小数
2 : 41 : 20.5
3 : 121 : 40.25
6 : 43 : 21.5
12 : 182 : 30.6667
8 : 122 : 30.6667
9 : 123 : 40.75
7 : 71 : 11
5 : 25 : 22.5
100 : 254 : 14
0.5 : 21 : 40.25
2.5 : 51 : 20.5
1 : 31 : 30.3333

各行は書かれうるままの比、それを最も簡単な形にした同じ一対、そして第1項を第2項で割ったものです。横に読むと3つが一致します。6 : 4と3 : 2は同じ関係でどちらも1.5であり、それが約分の目的そのものです。暗記する価値があるのは2行で、人が間違えるのはそこです。12 : 18と8 : 12の行はどちらも2 : 3になり、違う一対が同じ比です。7 : 7は1 : 1になり、等しい2つの量の比で、3つの列が同じことを言う唯一の行です。最後の2行はもとの一対に小数点を含み、答えが変わらないことを見せるために置いてあります。2.5 : 5は25 : 50とまったく同じように1 : 2になります。

公式

最も簡単な比 = 両方の項 ÷ 最大公約数; 6 : 4 → 3 : 2。小数 = 第1項 ÷ 第2項 → 1.5。第1項を1にした比 = 1 : 第2項 ÷ 第1項 → 1 : 0.6667

第1項
コロンの前の数です。2つ目の項で割られて比の値を出す項で、符号を引き受けるのもこの項です
第2項
コロンの後ろの数です。0にはできません。2番目の位置に何もない比は比較ではなく、小数の読みが0で割ることになってしまいます
最も簡単な比
両方の項の最大公約数を約分したもので、2つの項が互いに素になります。整数しか書けない場所で使う形で、しかも厳密です。12.3457 : 1は、丸めた小数ではなく123,457 : 10,000として返ってきます
小数
第1項を第2項で割ったもので、その比が表している商そのものです。1.5は第1項が第2項の1.5倍であるという意味です。小数第4位まで印字するので、1 : 3のような比は0.3333と表示されます
第1項を1にした比
第2項を第1項で割り、1 : その数として書いたものです。第1項の1つにつき第2項がどれだけあるかを答える読みで、第1項が0でないことを必要とします。こちらも小数第4位まで印字します

用途は3つで、説明が要るのは1つ目です。比を簡単にするとは、縮尺やレシピが実際に組み立てられる形に置き直すことで、6 : 4は数の一対ですが3 : 2はレシピだからです。2つ目は比に続く算術です。比を小数の形に直すと、掛けたり比べたりグラフに描いたりできる数になり、傾きやレートやオッズがどこかへ行く前に通るのがそこです。3つ目は比を言葉で説明する場面で、ここでは第1項を1にした読みが働きます。第1項の1つにつき第2項が0.6667あるというのは、そのまま行動に移せる文です。3つとも同じ一対から出ていて、どれかがほかより正しいわけではありません。同じ関係を3種類の読み手に向けて書いたものです。

計算例

  1. 6 : 4

    1. 共通の約数：6も4も2で割れます
    2. 約分：6 ÷ 2 = 3、4 ÷ 2 = 2なので3 : 2
    3. 小数：6 ÷ 4 = 1.5
    4. 第1項を1に：4 ÷ 6 = 0.6667（小数第4位まで）

    既定の場合です。2つの項がもともと整数どうしなので、約分は2で1回割るだけで済み、丸めが目に見えるのは第1項を1にした読みのほうです。

  2. 小数を含む場合：2.5 : 5

    1. 両方の項を10倍：25 : 50
    2. 約分：25 ÷ 25 = 1、50 ÷ 25 = 2なので1 : 2
    3. 小数：2.5 ÷ 5 = 0.5
    4. 第1項を1に：5 ÷ 2.5 = 2

    小数点を含む項は、まず両方の項を10倍してから扱います。比は変わらないからです。この段を飛ばしてそのまま約分しようとすると、整数でない項が残ります。

  3. すでに最も簡単な形：3 : 4

    1. 共通の約数：3と4には1より大きいものがありません
    2. 約分：すでに3 : 4のままです
    3. 小数：3 ÷ 4 = 0.75
    4. 第1項を1に：4 ÷ 3 = 1.3333（小数第4位まで）

    約分するものが何もないときパネルは同じ一対をそのまま返しますが、それは何も起きなかった印ではなく正しい答えです。第1項を1にした読みはちゃんと変わり、しかも整数ではありません。

  4. 符号が動く場合：3 : −4

    1. 両方の項を−1倍：−3 : 4
    2. ほかに約分するものがないので、最も簡単な比は−3 : 4
    3. 小数：−3 ÷ 4 = −0.75で、3 ÷ −4と同じです
    4. 第1項を1に：4 ÷ −3 = −1.3333

    両方の項に同じ数を掛けても比は変わらないので、−3 : 4と3 : −4は同じ関係で、パネルは前者を印字します。どの読みもそれを裏づけていて、小数はどちらでも−0.75です。

適用限界

小数と第1項を1にした読みは小数第4位まで印字するので、割り切れない比はそこで丸められます。1 : 3は3分の1ではなく0.3333と表示され、厳密な値は分数でしか書けない循環小数です。いっぽう最も簡単な比は丸めず、近似でもありません。12.3457 : 1は123,457 : 10,000として返ってきます。小数に化粧直ししたものではなく、厳密な一対です。第2項が0の場合は断ります。a : 0は比較ではなく、小数の読みが0で割ることになるからです。第1項が0の場合も断ります。0 : 5は0 : 1に簡単にできるように見えますが、第1項を1にした読みが第1項で割る必要があり、パネルの3分の2だけを印字するくらいなら断るほうがましだからです。符号はいつでも第1項に付くので、3 : −4と打ち込むと−3 : 4で返ります。比は同じで、パネルから写し取った数が打ち込んだ数と違って見えることがあるだけです。大きすぎる数は近似せずに断ります。約分は整数で行っていて、整数が厳密でなくなる地点を越えると最大公約数が雑音から計算されることになるからです。このページは比を簡単にして2通りに読んで、そこで止まります。比例式の欠けた項を埋めること、与えられた比に量を配分すること、単位のある量どうしの比を出すことは、それぞれ別の計算です。

よくある質問

比を簡単にするにはどうすればよいですか
両方の項を割り切るいちばん大きい数を見つけて、それぞれの項をそれで割ります。6 : 4ならその数は2で、3 : 2になります。項が整数でないときは、整数になるまで両方の項に10を掛けてから、そのあとで約分してください。
小数の読みは何を意味しますか
第1項を第2項で割ったもので、その比が表している商そのものです。3 : 2は1.5で、第1項が第2項の1.5倍であるという意味です。傾きやレートは掛けられる前に数になっている必要があるので、算術に持ち込むときの読みはこちらです。
第1項を1にした読みは何を意味しますか
第1項を1として比を書き直したもので、第2項を第1項で割り、1 : その数として印字します。6 : 4なら1 : 0.6667で、第1項の1つにつき第2項が0.6667あるという読み方です。声に出して説明するときの読みがこれです。
比に小数が入っていてもよいですか
かまいません。2.5 : 5はまったく正しい比で、両方の項を10倍してから約分すると1 : 2になります。両方の項に同じ数を掛けても比は変わらず、その段が安全なのはそれだけの理由です。
パネルが同じ比をそのまま返すことがあるのはなぜですか
その一対がすでに最も簡単な形だからです。3 : 4には1より大きい共通の約数がないので、約分は何もしません。それでもパネルが3 : 4と印字するのはそれが答えだからで、ほかの2つの読みはちゃんと変わります。
3 : −4が−3 : 4と表示されるのはなぜですか
両方の項に同じ数を掛けても比は変わらず、サイトはいつでも符号を第1項のほうに書くからです。2つの形は同じ関係で、どの読みも一致します。小数はどちらでも−0.75です。
項のどちらかが0のときはどうなりますか
第2項が0の場合は断ります。a : 0は比較ではなく、小数の読みが0で割ることになるからです。第1項が0の場合も断ります。比そのものは簡単にできるように見えても、第1項を1にした読みが第1項で割る必要があり、その答えがないからです。

参考文献

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