比例式計算

A ÷ B = C ÷ D; たすき掛けにするとA × D = B × C; 不足している項 = 埋めた組の積 ÷ その対角の相手

第1項（A）

左側の比の1つ目の数で、3 : 4 = 12 : 16なら3です。空けてもよく、そのときはこのページが解く項になります。どの欄が空いていても答えは同じ行に印字されます。負でもかまいませんが、0にはできません

第2項（B）

同じ比例式なら4です。比の後ろ側なので比べられるほうにあたり、ここが0では何も述べていないことになります。3 : 0という比は比ではありません。負の値はかまいません

第3項（C）

右側の比の1つ目の数で、例では12です。空けてもよく、負でもかまいません。ここも0は断られます。C ÷ DがどのDでも0になり、0を0でない比に等しくするDは存在しないからです

第4項（D）

右側の比の2つ目の数で、例では16です。ふつう空いているのはこの欄です。画面が最初の3つを用意するからです。最もよく検索される項で、解き方はほかの3つと同じです。もう一方の組を掛け、対角の相手で割ります

不足している項

空けられた項を解いたもので、3 : 4 = 12 : ? なら16です。4つの欄のどれが空いていても1行に印字されます。特定の位置に名前を付けた行なら、4回のうち3回は違う欄を指してしまうからです。答えが0になることはありません。2つの積のどちらかを、0でない相手で割ったものだからです

たすき掛け

埋めた組の積で、3 : 4 = 12 : ? なら4 × 12の48です。たすき掛けとは、内項の積と外項の積が等しいという主張そのものなので、これは等号の両側に座る数であり、手で確かめるべき数です。どちらの組が表示されるかはどの欄が空だったかで決まり、いつでも埋まっているほうの組です。解いた値を必要としない組であり、その値自体が丸められた読みだからです

倍率

CをAで割ったもので、3 : 4 = 12 : 16なら4です。2つ目の比が1つ目のすべての項を4倍したものだからです。どちらの比の値でもありません——比例式が述べているとおり、それらは定義上等しいからです。2つ目の比が1つ目を何倍しているかであり、答えの大きさをひと目で確かめる最短の道です

1つ目は教科書的な用途です。比例式の3つの項が分かっていて4つ目が欲しい場面で、縮尺図でもレシピでも混合比でも固定レートの通貨換算でも同じです。2つ目は解けた比例式の確認です。たすき掛けの行は手でやる掛け算そのもので、倍率は同じ確認のひと目版です。3つ目は最初の項が未知の比例式で、答えはいつも最後の欄にあると思い込んでいる道具では表せないものです。ここでは最初の欄を空けるだけです。4つ目は小数を含む2つの比で、1.5 : 4.5 = 2.5 : 7.5のように答えが小数になり、このページは結果を分数にせず小数のまま印字します。5つ目は単位あたりの単価との境界です。12 : 5 = ? : 1は1個の値段を出すのと同じ算術で、このページも解けますが、2つ目の項がちょうど1だと主張するのは単価のページのほうです。

1. 3 : 4 = 12 : ?

   1. 空いているのは第4項なので、それが解かれます
   2. たすき掛けにする：3 × D = 4 × 12、つまり3 × D = 48
   3. 両辺を3で割る：D = 48 ÷ 3 = 16
   4. 倍率で確かめる：12 ÷ 3 = 4で、4 × 4 = 16。どちらの比も同じです

   既定の場合で、多くの人が持ち込む形です。最初の3つの項が与えられ、最後の1つが欲しい。2つの補助の読みは確認の2つの半分です。たすき掛けの48は等式の両側に座る数で、倍率4は2つ目の比が1つ目に掛けている数です。解いた項がどちらの比も0.75にする項であることに注意してください。3 ÷ 4と12 ÷ 16です。その等しさが比例式の中身の全部で、このページはそれを並べ替えているだけです。

2. ? : 4 = 12 : 16

   1. 今度は第1項が空いています。方法はそれ以外どこも変わりません
   2. たすき掛けにする：A × 16 = 4 × 12、つまりA × 16 = 48
   3. 両辺を16で割る：A = 48 ÷ 16 = 3
   4. たすき掛けはやはり48です。埋めたほうの組から来ているからです

   同じ比例式で、答えが最後の欄ではなく最初の欄に来たものです。読みはどれも同じ——3、48、4。4つの欄を並べたこの形が、出力欄の固定された画面にできない答え方です。未知数は自分が穴を開けた場所にあります。ここではたすき掛けに注意する価値があります。A × 16ではなく4 × 12だからです。このページが掛けるのは埋めたほうの組で、たまたま解いた項を含む組ではありません。解いた値を使っていたら、手で確かめる読者は丸めた数を掛けることになります。

3. 3 : ? = 12 : 16

   1. 空欄は2番目の位置に移り、方法はまた同じです
   2. たすき掛けにする：3 × 16 = B × 12、つまり48 = B × 12
   3. 両辺を12で割る：B = 48 ÷ 12 = 4
   4. たすき掛けは今度は埋まっているほうの組から来ます。3 × 16 = 48です

   空欄が2番目の位置に移り、ここで2つの組が入れ替わります。第1項が欠けていれば埋まっている組はBとC、第2項が欠けていればAとDです。ここではどちらでも印字される積は48ですが、それはこの4つの数の偶然であって規則ではありません。規則は、ページが自分で埋めたほうの組を掛けるということで、だからパネルの数はいつでも打ち込んだものから手で再現できます。掛けるのではなく12で割る、というのが人が最もよく逆にする段です。

4. 12 : 5 = ? : 1

   1. 空欄は第3項です。12 : 5がC : 1に等しくなるはずです
   2. たすき掛けにする：12 × 1 = 5 × C、つまり12 = 5 × C
   3. 両辺を5で割る：C = 12 ÷ 5 = 2.4
   4. 倍率は2.4 ÷ 12 = 0.2で、2つ目の比が小さいので1を下回ります

   5個で12のときの1個の値段を出すのと同じ算術で、答えは整数ではなく小数です。このページはその小数を印字し、分数にはしません。これは意図した境界です。結果を最も簡単な形に直すのは分数のページの仕事で、項が小数の比例式にはきれいな分数がそもそもないことがあります。ここで役に立つ合図は1を下回る倍率です。2つ目の比が1つ目の何分の一かだと言っていて、答えがもっと大きくなるはずだと思っているとエラーと読み違えやすいところです。

5. −3 : 4 = −12 : ?

   1. 空欄は第4項で、項は負でもかまいません
   2. たすき掛けにする：−3 × D = 4 × (−12)、つまり−3 × D = −48
   3. 両辺を−3で割る：D = −48 ÷ −3 = 16
   4. たすき掛けは負で倍率は正です。どちらも正しい

   負の項は合法です。比は負でよく、−0.75 = −0.75は真の比例式だからです。ここでは2つの補助の読みが反対を向いていて、それは矛盾ではありません。たすき掛けの−48は等式の片側にある2つの項の積で、倍率の4は−12 ÷ −3です。負を負で割れば正になります。もし符号が気まぐれに返ってくるように見えたらこの場合を見てください。符号は比例式全体のものではなく、印字された積や商のものです。

空ける欄はちょうど1つです。4つとも埋めると、その4つの数が3 : 4 = 12 : 16のような正しい比例式になっていても、このページは断ります。空欄がなければ解く項がなく、そのうちの1つを答えとして印字するのは、ページが勝手に選ぶことになるからです。そのおかげで、成り立つと思っている比例式を確かめる方法も決まります。1つの項を空けて、出てきた値が思っていた数かどうかを見るだけです。3つ未満しか埋まっていない場合も断られます。解くものが何もないからです。0は4つの欄のどこにも現れません。4つの場合は1つの理由に帰着します。A × D = B × Cのなかで項が0だと、等式は解けなくなるか、すべての値で成り立つかのどちらかになるので、ページは答えを選ばずに拒みます。2番目か4番目の項が0なのが最も明快な場合で、0に対して書かれた比はそもそも比ではありません。負の項は合法で答えも負になりうるので、マイナス記号をエラーと読まないでください。4つの読みは小数第4位まで丸めるので、項が割り切れないときに効きます。1.5 : 4.5 = 2.5 : 7.5は2.5、倍率は1.6667と解けます。結果は小数で印字され、分数には決してなりません。このページは何も約分せず、項が小数の比例式には約分すべき厳密な分数がないことがあります。4つの項はどれも単位を持ちません。比例式は同じ種類の量を比べるもので、量綱を付ければほかのあらゆる種類を締め出してしまうからです。両側に単位のあるレートなら、単価のページの出番です。このページが解くのは一度に1つの比例式で、複合比例式や連鎖は扱いません。

比例式の解き方は

たすき掛けにしてから割ります。3 : 4 = 12 : ? なら式は3 × D = 4 × 12、つまり3 × D = 48で、D = 16です。言葉にすれば、埋めたほうの組を掛け、解いている項の対角の相手で割る。同じ1つの方法が4つの位置すべてを覆います。

最後の項ではなく最初の項を解けるか

解けますし、4つのどれでも解けます。解きたい欄を空けて残り3つを埋めてください。別のモードも、どの項のことか尋ねるメニューもありません。? : 4 = 12 : 16なら答えは3で、パネルは空欄が最後にあるときと同じ姿です。

4つの項をすべて埋めるとどうなるか

4つの数が正しい比例式になっていても、このページは断ります。空欄がなければ解く項がなく、そのうちの1つを印字するのはページが代わりに選ぶことになるからです。成り立つと思っている比例式を確かめたいなら、1つの項を空けて、出てきた値が思っていた数と合うかを見てください。

項は負でも0でもよいのか

負の項はかまいません。−3 : 4 = −12 : 16は真の比例式です。0は4つの欄のどこでも断られます。A × D = B × Cのなかで項が0だと、等式は解けなくなるか、すべての値で成り立つかのどちらかになり、3 : 0のような比はそもそも比ではありません。解かれる項そのものが0になることもありません。

たすき掛けの行は何を見せているのか

埋めたほうの組の積です。3 : 4 = 12 : ? なら4 × 12の48です。比例式をたすき掛けにするとは2つの積が等しいと言うことなので、これは等号の両側に座る数であり、手で確かめる価値のある数です。どちらの組が印字されるかはどの欄が空だったかで決まるので、いつでも打ち込んだものから掛けられる組です。

倍率とは何か

2つ目の比が1つ目を何倍しているかです。3 : 4 = 12 : 16なら4で、12は3 × 4、16は4 × 4だからです。比の値そのものではありません。2つの比は定義上等しく、比例式が述べているのはそれです。答えの大きさが正しいかを見る最短のひと目確認です。

• Proportional — 比が一定である2つの量の間の関係。比例式が述べているのはそれで、このページはその欠けた項を解いている — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear Equation — 各項が定数か、1つの変数の定数倍であるような方程式。たすき掛けが比例式を還元する先の形で、そのあと欠けた項が割り出される — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — 2つの数の商。比例式の各辺がそれにあたり、倍率の行がその変化を測っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — このページの隣、比を約分するページで使われている。比の約分と比例式を解くことが最もよく混同される2つの操作なので、ここに挙げておく — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — 比を最も簡単な形に直すときの除数。このページは小数を返して約分された比を返さないので、その操作をしない — Wolfram MathWorld (United States)