黄金比計算

長い部分 ÷ 短い部分 = 黄金比 全体の長さ ÷ 長い部分 = 黄金比 短い部分 = 長い部分 ÷ 黄金比 長い部分 = 短い部分 × 黄金比 全体の長さ = 長い部分 + 短い部分

どの部分が分かっているか

長い部分・短い部分・全体の長さの3つからの選択です。3つのうちどれが入力で、どれとどれが計算で出るかが、これで決まります。既定は全体の長さです。直接測れる長さがこの問題へのふつうの入り口だからです。

分かっている長さ

その部分がどれだけの長さかで、100や1,920や0.5です。0より大きくなければなりません。0には黄金分割がなく、どちらの部分も0になってしまうからで、負の長さは長さではないからです。整数に限られず、単位も持ちません。ピクセルでもミリメートルでもインチでも同じように扱えます。

長い部分

分割したうち大きいほうの部分で、主たる読みです。全体の長さが分かっていればそれを黄金比で割ったもので、短い部分が分かっていればそれを黄金比に掛けたものです。長い部分そのものが分かっていれば、打ち込んだ数がそのまま答えになります。長い部分を短い部分で割ったものが黄金比になる、というのが定義の向きです。

短い部分

小さいほうの部分です。全体の長さが分かっていれば長い部分を取り除いて残ったもので、長い部分が分かっていればそれを黄金比で割ったものです。短い部分はいつでも全体のおよそ38パーセントで、ちょうど38パーセントではないところが、3分割の60対40との違いです。

全体の長さ

2つの部分を足したもので、それが入力した欄ならあなたが始めた長さそのものです。長い部分と短い部分を足すと必ずこれに戻り、その和が3行の一致を確かめる検算になります。

丸め

3つの読みはすべて小数第4位まで印字されます。黄金比そのものが終わらない数だからです。3つとも同じ2つの数から計算するので、入れた長さが4桁の目盛りに載っていれば、印字された3行は厳密に足し合います。61.8034 + 38.1966は100です。

使い道は5つあります。1つ目はレイアウトです。ページやキャンバス、写真や額縁を黄金比で分割したいとき、幅全体が分かっていて2つの部分が欲しいという場面で、これがいちばんよくある形です。2つ目は逆向きで、こちらも同じくらいよくあります。長い部分をすでに描いていて短い部分が要る、あるいは短い部分が固定で長い部分をそこから導きたいという場合です。3つ目は他人が出した分割の確認で、長い部分を入れればそれが含意する全体の長さが図面にあるものと一致するか分かります。4つ目は縮尺をまたぐ比率で、同じ比率を同じデザインの大きい版と小さい版に当てはめます。比率に単位がないので、間で換算するものは何もありません。5つ目は数ではなく言葉のほうを先に知った人がたどり着く使い方です。100の線が61.8と38.2になるのを見ると定義が具体的になり、下の表がそれをいくつかの見慣れた幅で繰り返すので、拡大縮小の効果を1つの列で読み取れます。黄金長方形が正方形を切り落としても同じ比率を保つ図形であることも、同じ理屈の延長です。

1. 全体の長さが100のとき

   1. 長い部分：100 ÷ 1.6180339887 = 61.8034
   2. 短い部分：100 − 61.8034 = 38.1966
   3. 確認：61.8034 + 38.1966 = 100。始めた長さに戻る
   4. 比も見る：61.8034 ÷ 38.1966 = 1.618

   既定の入力例で、いちばん分かりやすい形です。きりのよい100を入れると、きりの悪い数が2つ出てきて、その2つが足すとぴったり100に戻ります。この最後の部分は偶然ではありません。短い部分は2回目の割り算ではなく引き算で求めるので、印字された2行が入力した行と食い違うことがないのです。4つ目の手順は定義を逆から走らせたもので、1度はやっておく価値があります。長い部分を短い部分で割ると黄金比に戻らなければなりません。

2. 長い部分が100のとき

   1. 短い部分：100 ÷ 1.6180339887 = 61.8034
   2. 全体の長さ：100 + 61.8034 = 161.8034
   3. つまり長い部分が100の線は161.8034の線に属する

   デザインにすでに長い辺があるときに実際に必要になる向きです。長い部分が決まっていて、線の残りがそれに従います。ここでは主たる読みが打ち込んだ数そのものになっていることに注意してください。どの分岐を通っても、パネルは長い部分を1行目に保つので、答えはいつも同じ場所にあります。2行目が上の場合と同じ61.8034であることも見ておいてください。ここが要点です。長い部分が100なら短い部分はいつも同じ61.8034で、それが161.8の線から来たのか、100の線を別のふうに分けたのかにはよりません。

3. 短い部分が100のとき

   1. 長い部分：100 × 1.6180339887 = 161.8034
   2. 全体の長さ：100 + 161.8034 = 261.8034
   3. つまり短い部分が100の線は261.8034の線に属する

   3つ目の分岐で、掛け算の向きをはっきりさせるものです。短い部分から長い部分へは黄金比を掛け、長い部分から短い部分へは黄金比で割ります。上の例には両方の向きが出ているので、見比べるのが定数の向きを覚えるいちばん速い方法です。短い部分が100なら、その2倍半を超える線が要ります。これが実用上の注意で、黄金分割の短い部分は、見た目より長い線のうちの小さいほうの取り分なのです。

4. 幅1,920ピクセルのとき

   1. 長い部分：1,920 ÷ 1.6180339887 = 1186.6253
   2. 短い部分：1,920 − 1186.6253 = 733.3747
   3. 確認：1186.6253 + 733.3747 = 1,920

   画面幅で、実際にこの計算がいちばんよく行われる場面です。キャンバスや本文の列を黄金比で分けるときで、どちらの部分も小数第4位まで出るので、ピクセルで言えば1ピクセルの何分の1かになります。整数のピクセルに丸めても、目の見分けられる範囲では十分に黄金比のままです。この例はまた、読みを小数第2位ではなく第4位まで印字する理由も見せてくれます。この大きさだと、2桁ではどちらの部分も整数に近い数に見えてしまい、どちらも厳密ではないという事実が隠れます。

5. 全体の長さが2のとき

   1. 長い部分：2 ÷ 1.6180339887 = 1.2361
   2. 短い部分：2 − 1.2361 = 0.7639
   3. 確認：1.2361 + 0.7639 = 2

   小数点の両側に数字が残る分割が見える、いちばん小さい整数の長さで、この比の奇妙さが見える例でもあります。2の線の長い部分は半分より大きく、これはいつもそうで、短い部分は4割を少し下回ります。この線を10倍すると下の表にある20になり、どちらの部分も一緒に10倍されます。比には単位も縮尺もなく、測ったものの2つの部分のあいだの割合があるだけです。

入力する長さは0より大きくなければなりません。0は拒否します。その黄金分割は0が2つになるだけで何も言っていないからで、負の長さも拒否します。それは小さい長さではなく、存在しない長さだからです。長さは一度に1つだけ取り、このページは他所で行った分割を検算することはありません。すでに2つに切った部分があるとき、片方を入れるとその部分が属する分割が返るだけで、手元の組が正しいかどうかを確かめてはくれません。3つの読みは小数第4位まで印字するので、その数が厳密になることはありません。黄金比には厳密な小数の形がそもそも無く、このページはどの行でも丸めています。全体の長さと長い部分の両方が4桁の目盛りに載っているときは印字された行が厳密に足し合いますが、小数第5位以下を持つ長さでは最後の1桁が1ずれることがあり、それは計算ではなく印字のほうです。長さに単位が無いのは意図したことで、つまりこのページは2つの部分がミリメートルなのかマイルなのかを教えられませんし、ピクセルの分割を実際に作るには整数ピクセルへの丸めが要るという注意もできません。このページは比を当てはめるだけで、それ以上のことはしません。黄金分割がその仕事にふさわしい比率かどうかは言いませんし、黄金長方形を並べてよく描かれる対数螺旋も作りません。

黄金比とは正確には何ですか

1に5の平方根を足して2で割った数で、1.6180339887498948482と、繰り返さずにどこまでも続きます。切り分けても生き残る唯一の比で、その辺を持つ長方形からいちばん大きい正方形を取り除くと、残った長方形がまた同じ比を持ちます。エウクレイデスは線を外中比で分けることだと述べており、それがこのページの行っている操作です。

長さを黄金比で分割するにはどうしますか

全体の長さを1.6180339887で割ると長い部分が出て、それを全体から引くと短い部分が出ます。100の線は61.8034と38.1966になります。2回目の割り算ではなく引き算にしてあるのは意図したことで、2つの部分が入力した長さに必ず足し戻ることを保証します。

全体ではなく片方の部分しか分かっていません。使えますか

使えます。1つ目の欄でどの部分が分かっているかを選び、その長さを入れてください。長い部分が分かっていれば、短い部分はそれを黄金比で割ったもので、全体は2つを足したものです。短い部分が分かっていれば、長い部分はそれを黄金比に掛けたものです。3つの分岐は同じ計算の並べ替えで、パネルはいつも同じ3行を印字します。

数が小数第4位まで出るのはなぜですか

黄金比が終わらない数なので、このページのどの読みも厳密にはなり得ないからです。4桁は丸めを止める場所で、3行とも同じ場所で止めます。入力する長さの小数が4桁以内なら、短い部分を引き算で求めているので、印字された3行は厳密に足し合います。小数第5位以下を持つ長さでは、最後の1桁が1ずれることがあります。

単位は何を使えばいいですか

何でも構いません。それがこのページのどこにも単位が出てこない理由です。黄金比は長さではなく2つの長さのあいだの割合なので、ピクセルでもミリメートルでもインチでもただの分数でも同じように振る舞い、入れる長さを拡大縮小すれば3つの読みも同じ倍率で拡大縮小されます。その代わり、答えを整数ピクセルに丸める必要があるかどうかはこのページには分かりません。

1.618で十分ではないですか

厚紙を切るなら十分で、定義としては十分ではありません。黄金比は1.618ではなく、1に5の平方根を足して2で割った数で、たまたまそういう数字で始まっているだけです。4桁の1.618をずっと使うと、100の線の長い部分が1,000分の1ほどずれます。多くの仕事では見えませんが、黄金分割ではありません。このページは使えるだけの精度を全部使い、印字する分だけを丸めます。

比率の計算ツールや比例の計算ツールと同じですか

違います。違いはあなたが何を供給するかです。比率の計算ツールはあなたが渡した2つの数を約分し、比例の計算ツールはあなたが書いた等式の空いた項を求めます。このページの比はあなたが選ぶものではなく、黄金比に固定されていて、あなたが入れるのは長さです。3つのページ、3つの別の問いです。

• Golden Ratio — 長方形から正方形を切り落としても同じ比が残る唯一の比としての黄金比の定義、1に5の平方根を足して2で割った厳密な値、別名（神の比・黄金平均・黄金分割）、そしてエウクレイデスによる外中比という等価な定義 — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio Conjugate — 黄金比より小さいほうの量で、黄金比から1を引いたもの、および黄金比の逆数に等しい。このページでいう短い部分と長い部分の比 — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — 辺が黄金比をなし、正方形を切り落としてもその比を保つ長方形。黄金比の定義を一意にする図形 — Wolfram MathWorld (United States)
• Fibonacci Number — 各項が黄金比と結びついた数列で、隣り合う項の比がこのページの当てはめる比に近づいていく — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — 同じ種類の2つの量のあいだの関係を商として書いたもの。上の式にある2つの等式がどちらもこの形を取る — Wolfram MathWorld (United States)