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帯分数の計算

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計算結果

3 3/4

帯分数

仮分数
15/4
約分前の分数
30/8

帯分数の計算ツールは、学校で習う書き方の数、つまり整数と分数を横に並べた2 1/4のような数で四則演算を行い、答えも同じ書き方で印字します。2 1/4と1 1/2を足すと3 3/4になります。その3つがあり、パネルは分数計算ツールが出さないものを見せています。同じ結果を3通りに書いたものです。1行目は帯分数としての答えで、問いが来た形であり、ふつう答えに求められる形です。2行目は同じ答えを仮分数で書いたもの、つまり15/4で、途中式を採点する人が探す形です。帯分数が1つの分数になるにはここを通らなければならないからです。3行目は何も約分する前の積、つまり30/8で、計算の生の出力です。約分の手順を信用に任せず目に見えるようにしてあります。符号についての規則が1つあり、それはこの表記の読み方から出てきます。-1 1/2のマイナスは全体のもので、-1 1/2はマイナス1と2分の1であって、マイナス1たす2分の1ではないからです。だから整数の欄が符号を担い、その上に乗る分数は大きさだけを担います。分子の欄がマイナス記号を受け付けないのも同じ理由です。1 -1/2は2通りに読めます。どちらかを黙って選ぶページは、思ったとおりに書いてくださいと頼むページより悪いものです。この表記そのものについて1つ知っておくべきことがあります。横に並べた形は本当に曖昧で、数学者は掛け算として読みます。代数の中で2 1/4と打ち込むと、2かける4分の1という意味になり、それは意図したものではありません。それでもこのページは、あなたが尋ねた表記なのでそれを印字し、曖昧でない形をその隣の2行目に置いています。

帯分数を使った8つの計算

1番目2番目演算結果
2 1/41 1/2+3 3/4
3 1/21 3/4−1 3/4
1 2/32 1/4×3 3/4
2 1/21 1/4÷2
-1 1/22 1/4+3/4
1 1/24 0/1−-2 1/2
1 1/31 1/3÷1
1 1/22 4/1×9

どの行も同じ4つの手順、つまり換算・計算・約分・戻すことを、別の組で行ったもので、4つの列は2つの入力、演算の記号、帯分数の形での答えです。最初の4行は同じ小さな数に対する四則演算なので、演算子の効果が最後の列を縦に読むだけで分かります。足すと3 3/4、引くと1 3/4、掛けるとまた3 3/4、割ると2です。4つのうち2つが同じ答えに着きますが、これはここでたまたま結果を共有した別々の問いだという注意です。5行目は1番目が負で、符号は帯分数全体に属し、換算は整数部分を分母に掛けます。答えは1より小さいので帯分数の形は音を上げ、ただの分数を印字します。6行目は整数を4 0/1と書いたものを引き、答えは負で、帯分数全体の前にマイナスを付けて-2 1/2と印字されます。7行目はある数をそれ自身で割って1になります。分数は計算全体を生き延びてから完全に約分されます。8行目は1と2分の1に、整数を遠回りに書いた2 4/1、つまり2 + 4で6になるものを掛けます。積は9で、分数がまったく残らない整数です。最後の列を縦に読むと1つの型に気づきます。帯分数の形は入力と同じくらいしか複雑にならず、答えが整数部分を必要としないときはただの分数か裸の整数に畳まれます。

公式

仮分数の分子 = |整数| × 分母 + 分子 そのあと：a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d) b/d × c/f = (b×c) / (d×f)

整数部分
分数の前に置かれた整数で、どちらの帯分数でも同じです。2 1/4なら2、1 1/2なら1です。負でもよく、そのときマイナスは帯分数全体に属します。-1 1/2はマイナス1と2分の1で、マイナス2分の1ではありません。符号を担うのはこの部分です。
分子
分数の上の数で、どちらの帯分数でも同じです。2 1/4なら1です。0以上でなければなりません。ここにマイナス記号があると帯分数が曖昧になるので、このページは読み方を選ぶ代わりに拒否します。
分母
分数の下の数で、どちらの帯分数でも同じです。2 1/4なら4です。正でなければなりません。分数の分母がいつもそうであるのと同じ理由です。符号は分子に住んでいて、住める場所は1つしかありません。
演算
足し算・引き算・掛け算・割り算のいずれかです。4つとも同じ換算を通るので、選んだ演算が決めるのは最後に作られる分子と分母の4通りの組み合わせのうちどれかだけです。
帯分数
主たる読みで、結果を整数と分数で書いたものです。15/4は3 3/4と印字されます。結果が整数のときは分数がまるごと消え、1より小さいときは整数部分が消えます。3/4の前に0は付きません。
仮分数
同じ結果を、最簡の1つの分数で書いたもので、15/4です。厳密で、帯分数が何かで足したり引いたり掛けたり割ったりする前に直しておくべき形です。
約分前
約分をする前の計算結果で、既定の例では30/8です。途中式を見えるようにするためにあり、30/8と15/4は同じ数で、2行目はその数が最簡になった姿です。

1つ目は宿題で、2行目が存在する理由でもあります。帯分数は演算する前に換算しなければならないので、帯分数で出された問いは仮分数を経て答えることになり、両方が印字されます。2つ目はすでにやった計算の確認で、2つの帯分数を入れて3行目を自分の書いたものと比べれば、約分する前の生の計算が正しかったかどうかが分かります。3つ目は0をまたぐ引き算です。1 1/2から4を引くと-2 1/2になり、符号の約束はまさにそういう場面でいちばん効いてきます。4つ目は割り算が整数になる場合で、2 1/2を1 1/4で割ると2になり、答えには分数がそもそもありません。一度は見ておく価値があります。5つ目は、帯分数で届いたレシピや寸法を2倍・半分・まとめて何倍かにする場合です。2 1/4を2倍するのは2 0/1を掛けることで、4番目の欄がそれを受け取ります。

計算例

  1. 2 1/4 + 1 1/2

    1. 仮分数にする：2 1/4は2 × 4 + 1 = 9なので9/4、1 1/2は1 × 2 + 1 = 3なので3/2
    2. そのまま足す：(9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = (18 + 12) ÷ 8 = 30/8
    3. 約分する：30/8は2で割って15/4
    4. 帯分数に戻す：15 ÷ 4は3余り3なので3 3/4

    既定の入力例で、1つではなく3つの読みを印字する理由が分かります。30/8、15/4、3 3/4は同じ数の3つの段階です。最初の手順がこのページ全体の土台になっている換算、つまり整数に分母を掛けて分子を足すことで、最後の手順がそれを逆にたどります。だから答えは問いが尋ねられた形で返ります。4つの手順を通して読むのも確認になります。約分後の分数と帯分数が食い違うなら、どちらかが間違って印字されています。

  2. 3 1/2 − 1 3/4

    1. 仮分数にする：3 1/2は3 × 2 + 1 = 7なので7/2、1 3/4は1 × 4 + 3 = 7なので7/4
    2. そのまま引く：(7 × 4 − 7 × 2) ÷ (2 × 4) = (28 − 14) ÷ 8 = 14/8
    3. 約分する：14/8は2で割って7/4
    4. 帯分数に戻す：7 ÷ 4は1余り3なので1 3/4

    引き算で、整数どうしを別々に引くのではなく同じ換算を通して引きます。3引く1なら2ですが答えは1 3/4で、分数が1つ分より多く取り返しているからです。先に整数だけを引いてしまうのがこの形が捕まえようとしている間違いで、約分後の行を一目見れば分かります。7/4は2より小さいので、答えが2いくつになるはずがありません。ここでは分子が正で出ています。負で出るときは符号が帯分数全体の前に付きます。

  3. 1 2/3 × 2 1/4

    1. 仮分数にする：1 2/3は1 × 3 + 2 = 5なので5/3、2 1/4は2 × 4 + 1 = 9なので9/4
    2. そのまま掛ける：(5 × 9) ÷ (3 × 4) = 45/12
    3. 約分する：45/12は3で割って15/4
    4. 帯分数に戻す：15 ÷ 4は3余り3なので3 3/4

    掛け算で、帯分数どうしを何かにつけてそろえる必要がない唯一の演算です。45/12とその最簡15/4は同じ数で、どちらも分子どうし分母どうしをそのまま掛けて出てきます。同じ答え3 3/4が既定の足し算の例からも出ていることに注意してください。違う問いで同じ結果で、この2つの例がたまたまそうなるだけですが、答えではなく欄を読もうという注意でもあります。3行目の45/12がこのページでいちばん大きい数であることも見ておいてください。2つの分数の生の積は、必ずその最簡より大きくなります。

  4. 2 1/2 ÷ 1 1/4

    1. 仮分数にする：2 1/2は5/2、1 1/4は5/4
    2. 2つ目をひっくり返して割る：(5 × 4) ÷ (2 × 5) = 20/10
    3. 約分する：20/10は2
    4. 2の帯分数形は2そのもの。書くべき分数が残っていない

    割り算が整数になる場合で、帯分数という表記が音を上げる場面です。2は2 0/1ではなく2と印字されます。分子が0なら線の上に書くものが何もないからです。計算そのものはほかの場所と同じ換算で、2つ目の分数をひっくり返すだけです。20/10は2に約分され、生の行があるので20と10が消える前に見えます。帯分数が本当に間違った道具になる形でもあります。答えはそもそも帯分数ではありませんでした。

  5. -1 1/2 + 2 1/4

    1. 仮分数にする：-1 1/2は-(1 × 2 + 1) = -3なので-3/2、2 1/4は9/4
    2. そのまま足す：(-3 × 4 + 9 × 2) ÷ (2 × 4) = (-12 + 18) ÷ 8 = 6/8
    3. 約分する：6/8は2で割って3/4
    4. 結果は1より小さいので、帯分数の形は分数そのもの

    符号の規則が仕事をしている例です。マイナスは帯分数全体のものなので、-1 1/2は-1/2ではなく-3/2に換算されます。それが現れるのが最初の手順で、分母を掛けることがそれを具体的にします。整数部分は-1 × 2を寄越すのであって、+1 × 2とどこかに迷子のマイナスではありません。答えは0と1のあいだなので、帯分数の形はただの分数に畳まれ、最初の2行はぴったり一致します。約分前の6/8が残っているのは3行目だけです。

適用限界

どちらの帯分数でも分子は0以上でなければなりません。そこにマイナス記号があると曖昧になります。1 -1/2は1引く2分の1とも、1たすマイナス2分の1とも読め、-1 -1/2には読み方がそもそもありません。だからこのページはそれを拒否し、符号は意味が1つしかない整数の欄に置いてくださいと頼みます。整数部分は負でもよく、それが負の帯分数の書き方です。分母は正でなければなりません。符号は分子に住んでいるからです。どちらの帯分数にも大きさの制限があります。整数部分と分子は10万が上限で、帯分数が換算される仮分数の分子には、2つを掛け合わせても厳密に表せる整数の範囲を出ないための上限があります。約9,400万を超える2数の積は静かに不正確になるので、このページは入力を拒否します。0での割り算は拒否します。ここでの0は2つ目の帯分数全体が0という意味で、0 0/4のように一見して0に見えない形も含みます。結果は決まった小数の桁数では示しません。小数が無いからです。このページの読みはどれも厳密で、それこそが分数をわざわざ使う値打ちです。このページがやらないのは、帯分数が答えの正しい書き方かどうかを決めることです。数学者ならふつうそうではないと言うでしょうし、その異議はもっともですが、それは算数の話ではありません。

よくある質問

帯分数の足し算はどうやりますか
どちらも仮分数に直し、計算し、それから戻します。2 1/4は2 × 4 + 1 = 9なので9/4、1 1/2は3/2です。足すと(9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = 30/8になり、15/4に約分され、それが3 3/4です。このページは4つの手順をすべて走らせ、最後の3つを印字します。
答えが3回印字されるのはなぜですか
必要になるかもしれない3つの別のものだからです。帯分数は問いが尋ねられた形での答えです。仮分数は途中式が必ず通る形で、分数を使える形でもあります。3行目は約分する前の結果で、手で自分の計算を確かめるときに比べる相手です。
負の帯分数は入れられますか
入れられます。整数の欄にマイナスを置いてください。-1 1/2はマイナス1と2分の1です。分子の欄はマイナス記号を受け付けませんが、これは意図したものです。1 -1/2は1引く2分の1とも、1たすマイナス2分の1とも読め、-1 -1/2はさらに悪いからです。符号は1つ、意味が1つしかない場所に。
このページは共通分母を使いますか
使いませんし、印字もしません。足し算と引き算は2つの分母をそのまま掛け、分子は斜めに掛け合わせます。これは最小公倍数を探すのと同じ答えになり、既定の例では15/4ではなく30/8、同じ数です。共通分母はパネルがそれを見せてくれるときにだけ手間をかける価値があり、それをやるのが分数の足し算のページです。
2 1/4は2と4分の1の正しい書き方ですか
レシピや学校でふつうに使われる書き方で、曖昧です。数学者は横に並んだ2つの記号を掛け算として読むので、2 1/4は2かける4分の1、つまり2分の1になります。MathWorldのその項目には、著者がそう書いたために微積分の試験で点を失ったと記録されています。このページがそれを印字するのは、あなたが尋ねた表記だからで、9/4をその下の行に保っています。
答えが整数になるとどうなりますか
分数が消えます。2 1/2を1 1/4で割ると20/10で、約分すると2になり、2は2 0/1ではなく2と印字されます。分子が0なら線の上に置くものが何もないからです。同じ規則が逆にも働き、1より小さい答えは前に0を付けずにただの分数として印字されます。
0 0/4では割れないのはなぜですか
0 0/4は0だからです。割る数は2つ目の帯分数の全体で、帯分数は整数部分と分数がどちらも0のときに0になります。換算するまで0に見えない形です。0に逆数は無いので割り算に答えはなく、このページは何かを印字するのではなくそう伝えます。

参考文献

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