ひし形計算

A = s² × sin(θ) P = 4s d₁ = 2s × cos(θ ÷ 2) d₂ = 2s × sin(θ ÷ 2) h = s × sin(θ)

s

1辺の長さ。センチメートルです。4辺とも等しいので1つ測れば足り、それだけで周長が4sに決まります。面積は決まりません。辺5のひし形は、どれだけ傾いているかによって0から25平方センチメートルまで何にでもなります。だから角も要るのです

θ

4つの角のうちどれか1つ。度、ラジアン、グラードのいずれかです。ひし形には大きさの違う角が2つずつあり、2つの大きさを足すと180度になります。だから向かい合う角は等しく、隣り合う角は補角になります。4つのどれでもここの式すべてに使えます。ある角のサインとその補角のサインは等しいからです。60度と120度は同じひし形を表します。面積も周長も高さも同じで、2本の対角線が入れ替わるだけです

A

面積。平方センチメートルで、辺の2乗に角のサインを掛けたものです。角が直角のとき最大になります。サインが1になり、ひし形が正方形になるからです。角が0度や180度に近づいて図形が線に潰れると、ゼロに落ちます。表示は小数第4位までで、このサブカテゴリの他の面積ページと同じ桁幅です

P

周長。センチメートルで、辺の4倍です。このページで角をまったく無視する唯一の値で、傾けても角が動くだけで辺は変わらないからです。辺5のひし形は、正方形でもほぼ平たんでも周長は20です。だから周長は、図形がどれだけ覆うかの目安にはならず、縁や枠がどれだけ要るかの目安にはなります

d₁, d₂

2本の対角線。センチメートルで、向かい合う角を結ぶ線です。直角に交わり互いを半分に切り、それぞれが辺の2倍に、角の半分のコサインまたはサインを掛けたものになります。ひし形を傾けると片方が伸び、もう片方が縮みます。辺5なら90度でどちらも7.0711、60度で8.6603と5、30度で9.6593と2.5882です。その積を半分にすると面積になり、同じ図形へのもう一方の経路になります

h

高さ。センチメートルで、1辺とその向かいの辺の間の垂直距離、つまり辺に角のサインを掛けたものです。底辺×高さの式で使う高さそのものなので、辺5・角度60度のひし形は高さ4.3301、面積は5 × 4.3301 = 21.6506になります。図形が平たんになるにつれてゼロへ落ち、正方形のときだけ辺と等しくなります

ひし形が辺と角で記述されているときに使ってください。あらかじめ仕様を決めるときの書き方です。辺5センチ・角度60度と発注したダイヤ型のガラス、床のタイル模様、図面に合わせて切る金属板、4辺が等しい凧。図面が運んでくる記述がそれで、対角線の経路には答えられない問いにも答えます。もっと傾けたら面積はどうなるか、です。辺5なら、直角で25平方センチメートル、30度で12.5、10度で4.3412まで下がり、そのどの図形も周長は20です。逆に、測ったのが対角線のときは菱形面積計算ツールを使ってください。仕上がった図形を横切る2本の距離で、角度よりメジャーを当てやすいのが普通です。面積だけが欲しいときも同じです。高さがすでに分かっている長さなら、平行四辺形の面積のページを使ってください。あちらは角から高さを計算せず、底辺と垂直な高さを直接受け取ります。そしてひし形が正方形だったときは、正方形のページへ。ここで直角を入れると対角線が等しく返り、高さが辺と等しく返ります。その辺のひし形のうち正方形が最大になる、という事実がそれです。

1. 辺5センチ、角度60度

   1. 角のサイン：sin 60° = 0.866025…
   2. 面積：5 × 5 × 0.866025… = 21.650635…、四捨五入して21.6506
   3. 周長：4 × 5 = 20
   4. 角の半分は30°、コサインは0.866025…、サインは0.5
   5. 長いほうの対角線：2 × 5 × 0.866025… = 8.660254…、四捨五入して8.6603
   6. 短いほうの対角線：2 × 5 × 0.5 = 5
   7. 高さ：5 × 0.866025… = 4.330127…、四捨五入して4.3301

   このページが開くときの行で、図形全体を一度に見せる行です。5つの値のうち2つは辺から直接出ます。周長は20で、角はそれを変えられません。残る3つはどれも60度の0.866という係数を運んでいて、正三角形の面積に出てくるのと同じ数です。高さ4.3301は辺の5と見比べる価値があります。正方形を60度まで傾けると、図形は高さのおよそ13パーセントを失いました。sin 60° は0.866なので、失ったのは1 − 0.866、高さの6分の1ではなく7分の1ほどです。面積も同じ割合だけ減り、25から21.6506になりました。

2. 辺5センチ、直角

   1. 直角のサイン：1
   2. 面積：5 × 5 × 1 = 25
   3. 周長：4 × 5 = 20
   4. 角の半分は45°、コサインもサインも0.707106…
   5. 2本の対角線：2 × 5 × 0.707106… = 7.071067…、四捨五入して7.0711
   6. 高さ：5 × 1 = 5

   正方形、つまりまったく傾いていないひし形です。ここにある値はどれも、最大値か、知っておく価値のある偶然です。面積25は辺5のひし形が取りうる最大で、高さは辺そのものまで育ち、2本の対角線は7.0711で真ん中に一致しました。50の平方根、つまり辺の√2倍です。周長はそれでも20で、上の60度のひし形と同じです。周長が、図形がどれだけ覆うかについて何も言っていないことが、いちばんはっきり見える並びです。

3. 辺5センチ、角度73.74度

   1. 角の半分は36.869897…°、コサインは0.8、サインは0.6
   2. 長いほうの対角線：2 × 5 × 0.8 = 8
   3. 短いほうの対角線：2 × 5 × 0.6 = 6
   4. 面積：5 × 5 × sin 73.739795…° = 25 × 0.96 = 24
   5. 周長：4 × 5 = 20
   6. 高さ：5 × 0.96 = 4.8

   このページを菱形面積計算ツールにつなぐ行です。対角線の8と6から辺は5に決まります。半分は4と3で、それを脚とする直角三角形の斜辺が5だからです。その辺に対応する角が73.74度になります。だからこのページとあちらは24平方センチメートルで出会います。こちらは辺と角から、あちらは2本の対角線からです。手順に出てくる0.8と0.6は3-4-5の三角形が透けて見えているものです。対角線が4対3の比にあるひし形はどれもこの角とこの辺・対角線の関係を持ち、数がきれいに出るのはそのためです。

4. 辺5センチ、角度0度

   1. 0°のサイン：0
   2. 面積：5 × 5 × 0 = 0
   3. 周長：4 × 5 = 20
   4. 長いほうの対角線：2 × 5 × cos 0° = 2 × 5 × 1 = 10
   5. 短いほうの対角線：2 × 5 × sin 0° = 0
   6. 高さ：5 × 0 = 0

   自分の1辺の上に完全に潰れたひし形で、ページは拒否せずに答えます。面積は0、高さは0、図形は長さ10の二重の線分になりました。長いほうの対角線が10いっぱいまで伸び、短いほうは消えたのはそのためです。生き残った値は周長だけで、それでも20です。囲むものがなくなっても4つの辺はそこにあるからです。ここがこのページが受け付ける境界です。負の角はエラーとして拒否されますが、0度と180度は実在する配置で、そう答えられます。

このページは1つの辺と1つの角から1つのひし形を記述し、そこで止まります。逆は向きません。面積や対角線や高さから、それを生む図形をたどる道はありません。だから加工する人が実際に訊く問い——辺5で24平方センチメートルになる角は何か——はサインを手で解くことになり、答えは73.74度です。出力はすべてセンチメートルと平方センチメートルと度で、入力に選んだ単位とは関係ありません。辺の欄の単位ドロップダウンはその長さをセンチメートルに換算し、角度の欄は数の読み方を変えますが、どちらも答えが何で印字されるかは変えません。角度の欄ではこれが実際の罠になります。60ラジアンは60度ではないのに、ページは角として大きすぎると文句を言わず、選ばれている単位で図形を計算してしまいます。ありえない結果が出たら、まず単位の選択を疑ってください。角は0度から180度まで受け付け、その外はエラーとして報告されます。これはあなたが内角を意味したのだと暗に仮定しています。外角として与えた角や、辺の向きとして与えた角は、エラーではなく間違った図形を生みます。ちょうど0度や180度は面積0・対角線0を返します。潰れた図形には正直な答えですが、たいていの人が欲しいものではなく、いま記述した図形が退化していることをページは警告しません。辺は10億センチメートルまでに限られますが、それは幾何の限界ではなく厳密な算術の限界です。小数第4位はこのサブカテゴリの他の面積ページと共有している表示幅で、精度の主張ではありません。角度を整数度までしか読まなければ面積は1パーセントほど動き、それは小数第4位よりはるかに大きいものです。このページは図形が本当にひし形であると仮定しています。4辺が等しく、向かい合う辺が平行であることです。ひし形に近いがそうではない四角形も、ひし形として答えられます。形が確かでないものの対角線を測ったなら、菱形面積計算ツールのほうを使ってください。ここにはロスも切りしろもタイルの目地も入っていないので、返る面積は図形の面積であって、発注する材料の量ではありません。

1辺と1つの角から何が分かるか

その図形が持っているものすべてです。面積、周長、2本の対角線、高さ。1辺で周長がその4倍に決まり、角が残りを決めます。辺が決まってしまえば、傾けること以外にひし形を変える自由はないからです。辺5・角度60度なら面積は21.6506平方センチメートル、周長は20、対角線は8.6603と5、高さは4.3301になります。

4つの角のどれを入れればよいか

どれでもかまいません。面積も周長も高さも、どれを選んでも同じになります。ここにある式はどれも角のサインを使い、ある角のサインはその補角のサインに等しいからです。sin 60もsin 120も0.866です。2本の対角線も同じ長さの組になりますが、2つの欄の間で入れ替わります。どちらが長いかは、どの角で角度を測ったかで決まるからです。ひし形には大きさの違う角が2つずつあり、隣り合う角を足すと180度になります。だから60を入れても120を入れても同じ図形を表します。片方が鋭角で片方が鈍角だと分かっているだけなら、どちらの数でも構いません。

傾けると周長は変わるのか

変わりません。周長は辺の4倍で、辺は決して変わらないので、辺5のひし形は正方形でもほぼ平たんでも周長は20です。傾けて変わるのはそれ以外のすべてです。面積は直角の25平方センチメートルから、60度で21.6506、10度で4.3412へ落ちます。だから周長は、図形がどれだけ覆うかの目安にはならず、縁や枠がどれだけ要るかの目安にはなります。

2本の対角線は辺と角とどう関係するのか

それぞれ、辺の2倍に角の半分のコサインまたはサインを掛けたものです。長いほうが2s × cos(θ ÷ 2)、短いほうが2s × sin(θ ÷ 2)になります。辺5・角度60度なら8.6603と5、90度ならどちらも7.0711になり、正方形の対角線が等しくなるのはそのためです。その積を半分にすると面積になり、菱形面積計算ツールに対角線を渡したときに使われる式がそれです。

辺が決まっているときの最大の面積はいくらか

正方形で、辺の2乗です。辺5のひし形は直角で25平方センチメートルを覆い、他の角はどれも小さくなります。60度で21.6506、30度で12.5、10度で4.3412です。理由は式にあります。角のサインは最大でも1で、90度でそこに達するからです。タイルやパネルの角を選ぶときに、決まった辺で最も広く覆いたいなら直角を選んでください。

角度が0度や180度のときはどうなるのか

面積が0、高さが0で返り、周長はそれでも20です。エラーではなく正直な答えです。0度では図形が自分の1辺の上に潰れて何も囲んでおらず、それでも4つの辺はそこにあるので、長いほうの対角線は10まで伸び、短いほうは消えました。0度から180度の外にある角はエラーとして報告されます。入力した数が内角だとページが仮定しているからです。

• Rhombus — このページが記述する、4辺が等しい四角形。ここにある5つの出力すべてが組み立てられている、辺・対角線・高さ・角の間の関係も載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — ひし形が属するより広い族。このページの高さの出力の背後にある底辺×高さの公式が書かれている場所 — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — 一般的な四角形。ここで使っている対角線の関係が、対角線が直角に交わるあらゆる四角形に成り立つ規則の特別な場合であることを確かめる場所 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。菱形と正方形の性質、平行四辺形の面積は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部