ひし形の面積計算

A = (d₁ × d₂) ÷ 2 A = s² × sin(θ)

d₁, d₂

2本の対角線。センチメートルで、向かい合う角を結ぶ線です。ひし形では直角に交わり、互いを半分に切ります。1つ目の公式が成り立つのはそのためです。正方形では2本が等しくなるので、同じ数を2回入れるのは間違いではなく正解です

s

1辺の長さ。センチメートルです。4辺とも等しいので1つ分かれば足ります。ただし辺だけでは面積は決まりません。辺5のひし形は、ほとんどゼロから25までどの面積にもなれます。だからこの経路には角も要るのです

θ

4つの角のうちどれか1つ。度、ラジアン、グラードのいずれかです。ひし形には大きさの違う2種類の角が2つずつあり、その2つを足すと180度になります。どちらを式に入れてもかまいません。ある角のサインと、その補角のサインは同じだからです。4つのうちどれを測ってもページが気にしない理由がそれです

A

面積。平方センチメートルで、対角線の積の半分か、辺の2乗に角のサインを掛けたものです。同じひし形ならどちらの式でも同じ数になります。表示は小数第4位までで、このサブカテゴリの面積ページと同じ桁幅です

÷ 2

対角線の式にある半分にする操作。2本の対角線がひし形を4つの直角三角形に切り分け、対角線の積はそのまわりにある長方形を2回数えてしまうからです。ひし形は、対角線を2辺とする長方形のちょうど半分になります。公式がどこから来るのかを見るのにいちばん筋の通った道です

sin(θ)

角のサイン。ひし形がどれだけ傾いたかを測る係数です。直角で1になるので、その辺を持つひし形のうち正方形が最大の面積を持ちます。平たくなるほど0に近づくので、ほとんど潰れたひし形はほとんど面積を持ちません。90度で最大になり、90度をはさんで対称です。60度と120度が同じ面積になるのはそのためです

ひし形が対角線で決まっているときは対角線の経路を使ってください。地面に割り付けるもの、板から切り出すものはたいていそうです。敷石、凧、装飾パネル、斜めに据えた窓ガラス。仕上がったひし形で測れるのは対角線です。その図形を横切る2本の距離であり、その積の半分が面積になります。6と8の場合なら24平方センチメートルです。辺と角で決まっているときはそちらの経路を使ってください。あらかじめ仕様が決まっているものはたいていそうです。辺5センチ・角度60度と指定されたタイル、床の菱形模様、図面に合わせて切る板。この経路は対角線の経路には答えられない問いにも答えます。傾けると面積がどれだけ変わるかです。辺5のとき、60度のひし形は21.6506、90度なら25を覆います。そこまで傾けると面積の約13パーセントを失い、さらに傾ければもっと失います。試しておく価値のある形が2つあります。2本の対角線に同じ数を入れると正方形になります。10と10なら面積は50、辺は7.0711です。その対角線を持つひし形の最大の面積で、便利な基準点になります。そして非常に小さな角を入れると面積はゼロへ向かいます。10度まで傾けたひし形は辺の長さこそ同じでも面積はほとんどありません。辺だけでは面積が決まらないことの実演です。平行四辺形の面積のページと見比べるなら、あちらは底辺と高さを受け取ります。ひし形にも使えますが——高さは辺×sin(角度)です——測れる距離ではなく、自分で計算しなければならない距離を訊かれます。周長が欲しいときは辺の4倍です。ひし形の数値のうち、角をまったく必要としないのはそれだけです。

1. 対角線が6と8

   1. 対角線の積：6 × 8 = 48
   2. 半分にする：48 ÷ 2 = 24

   このページが開くときの入力で、ページ全体がこれを中心に組み立てられています。2つの経路をどちらも手で確かめられる唯一のひし形だからです。対角線の6と8から辺は5に決まります。それぞれの半分が3と4で、それを脚とする直角三角形の斜辺が5だからです。その辺に対応する角は73.74度になります。だからもう一方の経路、辺5に角度73.74を入れても同じ24が出て、下の表にもその行が載っています。2つの公式が2つの図形ではなく1つの図形を書いていることが、このページでいちばんはっきり分かる例です。

2. 辺5、角度60度

   1. 角のサイン：sin 60° = 0.866025…
   2. 辺の2乗：5 × 5 = 25
   3. 面積：25 × 0.866025… = 21.650635…、四捨五入して21.6506

   辺と角の経路で、正方形を傾けるとどれだけ損をするかを見せる行です。辺5の正方形は25平方センチメートルを覆いますが、60度まで傾けると同じ4辺が囲むのは21.6506で、13パーセントあまり少なくなります。0.866は60度のサイン、つまり2分の√3で、正三角形の面積に出てくるのと同じ数です。同じ幾何を別の向きから見ただけだからです。

3. 辺5、直角

   1. 角のサイン：sin 90° = 1
   2. 辺の2乗：5 × 5 = 25
   3. 面積：25 × 1 = 25

   正方形、つまり角をまったく傾けていないひし形です。直角のサインは1なので、2つ目の式は辺の2乗に潰れ、辺5のひし形が取りうる最大の面積を返します。他の角ならどれでも小さくなります。45度なら17.6777、30度なら12.5、10度なら4.3412です。正方形が最大だと知っていると、パネルやタイルの角を選ぶときに役に立ちます。決まった辺で最も広く覆うのは、いちばん傾いていない形だからです。

4. 対角線が5と12

   1. 対角線の積：5 × 12 = 60
   2. 半分にする：60 ÷ 2 = 30

   細長いひし形で、辺と突き合わせて確かめやすい行です。5の半分は2.5、12の半分は6なので、辺は2.5×6の直角三角形の斜辺、つまり6.5になります。表の辺の列と一致します。面積30は、2つの経路が使い勝手の点で互換でないことを思い出させてくれます。この図形の周長は26、面積は30で、これはこの数の組み合わせの偶然であって規則ではありません。

5. 対角線が1と1

   1. 対角線の積：1 × 1 = 1
   2. 半分にする：1 ÷ 2 = 0.5

   いちばん小さな正方形のひし形で、半分にする操作がはっきり見える行です。対角線がどちらも1なら面積は2分の1になります。対角線を2辺とする単位正方形の半分だからです。辺は0.7071、つまり2分の√2で、正方形の対角線と辺の関係を逆から読んだものになります。対角線にどちらも0を入れると、空欄ではなく面積0が返ることに注意してください。大きさのないひし形も、正しい答えです。

このページが計算するのはひし形の面積だけで、それ以外は何も出しません。周長も高さも対角線も角も印字しません。どれも、すでに手元にある2つの測定値から出るからです。周長は辺の4倍で、辺の経路を使ったなら自分の入力から読み取れます。このページは2本の対角線か、辺と角の組のどちらかが必要で、どちらの経路も揃っていなければ推測せずにエラーを出します。対角線が1本だけ、あるいは角のない辺だけでは、図形が決まらないからです。両方の経路を埋めるのは、どちらも矛盾していなければ許されます。対角線と一緒に入れた辺は対角線と突き合わせて確認されます。ただし、対角線から導かれる辺と辺の欄の値が食い違うひし形は、黙ってどちらかを採るのではなく矛盾として報告されますし、どちらの数が間違っているかまでは言いません。角度の欄は度・ラジアン・グラードを受け付け、ページは角が0度から180度の間にあるものとして扱います。0度や180度は面積0を返しますが、潰れた図形に対してはそれが正直な答えです。ただし選んだ単位と違う単位で入れた角は、エラーではなく間違った答えを返します。出力は長さのドロップダウンが何であれ平方センチメートルなので、インチで入れた辺は平方センチメートルの面積で返り、換算は自分ですることになります。小数第4位は精度の主張ではなく表示幅で、メジャーで測った値には十分すぎる桁です。このページは図形がひし形であることを確かめません。4辺が等しくさえあればどんな角でもよく、ひし形に見えるが辺がわずかに違う図形も、入れた経路のほうを使ってひし形として答えられます。高さでひし形を記述する方法も、面積から元の寸法を逆にたどる方法もありません。決まった面積に合わせて板を切り出すときには、実際にはそちらが訊きたい問いです。

ひし形の面積の公式は何か

2つあり、どちらか一方で足ります。対角線の積の半分です。片方向に6、もう片方向に8のひし形は24平方センチメートルを覆います。もう1つは辺の2乗にどれか1つの角のサインを掛けたもので、辺5・角度60度のひし形は21.6506を覆います。対角線を測ったなら1つ目、辺と角で仕様が決まっているなら2つ目を使ってください。同じ図形なら同じ答えになり、このページの表がそれを直接見せています。

対角線の式に半分が付くのはなぜか

ひし形が、対角線を2辺とする長方形の半分だからです。2本の対角線は直角に交わって互いを半分に切り、ひし形を4つの直角三角形に分けます。対角線を辺とする長方形を描いてみると、ひし形はそのちょうど半分を占めていることが分かります。その長方形の面積は2本の対角線を掛けたものなので、ひし形はその積の半分になります。

ひし形はダイヤモンドと同じものか

一般にダイヤモンドという言葉が指すのは、たいていひし形です。ダイヤ型、トランプのダイヤ、ひし形のタイルはどれも菱形、つまり4辺がすべて等しい四角形です。数学では正確さのために菱形という言葉を、現場では短さのためにダイヤという言葉を使いますが、このページが扱っているのはどちらでも同じ図形です。

対角線と、辺と角の両方を入れてよいか

一致していればかまいません。対角線と一緒に入れた辺は矛盾ではなく整合性の確認です。対角線が辺を決めますし、その数が同じひし形のものかどうかをページが判定できるからです。ただしどちらかを勝たせることはしません。対角線から辺が5と導かれるのに辺の欄が7と言っているひし形は、黙ってどちらかで答えるのではなく矛盾として報告されます。どちらの数が明らかに信頼できるわけではないからです。

辺が決まっているときの最大の面積はいくらか

正方形で、面積は辺の2乗です。辺5で直角のひし形は25平方センチメートルを覆い、他の角はどれも小さくなります。60度で21.6506、45度で17.6777、30度で12.5、10度で4.3412です。これは式から出ます。角のサインは最大でも1で、90度でそこに達するからです。タイルやパネルの角を選ぶときに、決まった辺で最も広く覆いたいなら直角を選んでください。

対角線から辺を求めるにはどうするか

それぞれの対角線を半分にして、その2つを直角三角形の脚にすると、辺は斜辺になります。対角線が6と8なら半分は3と4で、辺は5です。5と12なら半分は2.5と6で、辺は6.5になります。ひし形の対角線は直角に交わり互いを2等分するからで、面積の公式もこの事実の上に建っています。

• Rhombus — このページが面積を計算する、4辺が等しい四角形。対角線の積の半分という結果と、辺・対角線・角の間の関係も載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — ひし形が属するより広い族。辺と角から高さを出せばひし形にも当てはまる、底辺×高さの公式がある — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — 一般的な四角形。ここで使っている対角線の公式が、対角線が直角に交わるあらゆる四角形に成り立つ規則の特別な場合であることを確かめる場所 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。平行四辺形の面積、菱形と正方形の性質は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部