PVIFA計算
計算結果
年金現価係数（PVIFA）
- 期首払いの年金現価係数
- 7.24689
年金現価係数（PVIFA）は、計算のうちお金がまったく関わらない部分です。1期あたり1単位の金額をn期にわたって受け取るとき、それが割引率iのもとで今いくらの価値になるか、という1つの問いに答えます。出てきた係数に自分の支払額を掛ければ現在価値になり、係数のまま置いておけば表に入る数になります。多くの人がこの数と出会うのは表の中です。このページが係数を単独で出すのは、教科書の巻末表や試験問題や表計算が実際に必要としているのがその数だからで、既定の設定は答えが公表されている値になるように選んであります。年8%・10年・年1回払いでは係数は6.71008で、これは標準的な年金表の8%の行の10番目のマスと同じ数です。参考表は同じ10年のまま金利を4%から12%まで動かしており、6つの係数はどれも公表されている表と概算ではなく桁まで一致します。だからこのページは、手元の表が正しいかを検算するのにも使えます。それぞれの係数の隣には期首払いの版が並んでいます。同じ支払いの列を各期のはじめに移したもので、8%では6.71008が7.24689になり、およそ8%大きくなります。この差は、それ以外が同一の列についた1期ぶんの利息です。
年1回・10期で金利6通り——係数とその期首払い版
| 年利（%） | PVIFA | 期首払いのPVIFA |
|---|---|---|
| 4 | 8.1109 | 8.43533 |
| 5 | 7.72173 | 8.10782 |
| 6 | 7.36009 | 7.80169 |
| 8 | 6.71008 | 7.24689 |
| 10 | 6.14457 | 6.75902 |
| 12 | 5.65022 | 6.32825 |
10年のまま金利だけを動かしているので、この表は公表されている年金表の10番目の列を上から下へ読んだものになります。ここにある数はどれも標準的な表と桁まで一致します。4%で8.1109、5%で7.72173、6%で7.36009、8%で6.71008、10%で6.14457、12%で5.65022です。見るべき形は、金利が上がるほど係数が下がることと、この期間ではおよそ5.65を下回らないことです。10回のうち8回はまだ割引の届く範囲にあるからです。金利を50%まで押し上げると係数は1.96532までつぶれますが、それは同じ表を極端なところで読んだだけのことです。2列目は同じ10回の支払いを各期のはじめに移したもので、つねに1期ぶんの利息だけ大きく、2つの列の比はその金利そのものになります。4%なら4%、12%なら12%で、期間を変えてもこの比は変わりません。8%の行が計算機の既定のケースです。
公式
PVIFA = [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i。期首払いなら × (1 + i)。（i = 年利 ÷ 1年の支払回数、n = 年数 × 1年の支払回数）
- i
- 1期あたりの割引率です。年利を1年の支払回数で割ったもので、各回の支払いを割り引く率そのものです。
- n
- 期数です。年数に1年の支払回数を掛けたもので、遠い支払いを小さく数えさせる指数でもあります。
- PVIFA
- 年金現価係数です。1期あたり1単位の金額をn期にわたって受け取るとき、それが今いくらの価値になるかを表し、金額は一切入っていません。
- 期首払いのPVIFA
- 各回の支払いが期の末ではなくはじめに届く場合の同じ係数で、期末払いの係数に (1 + 期利率) を掛けたものです。
金額ではなく係数のほうが要るときに使います。手元の数値を公表されている表と突き合わせるとき、支払額が与えられていない問題を解くとき、支払額を別の入力にする表計算を組むとき、金利と期間を動かしたときに係数がどう動くかを見たいときに向いています。金額が入ってこないぶん、割引の形そのものがよく見えます。8%・10年で6.71008というのは、10年分の1単位が今日では7単位に届かないという意味ですし、同じ係数を50%で引くと1.96532になり、その金利では最初の2年ほどを除いてほとんど何も割引を生き残らないという意味になります。公表されている表を使う前に2つ知っておくと役に立ちます。表はほとんどが各期の末に払う前提で作られているので、期首払いの列を値付けするときは1列目ではなく2列目が要ります。そして期利率と期数は支払いの頻度に合わせなければなりません。10年・毎月の年金は年10期ではなく月0.5833…%で120期であり、年1回の行を引くと係数をおよそ12倍に読み違えることになります。
計算例
年8%・10年・年1回払い——教科書のあのマス
- 1期あたりの利率：8% ÷ 1 = 年8%
- 期数：10 × 1 = 10
- PVIFA：[1 − 1.08⁻¹⁰] ÷ 0.08 = 6.7100814…、表示は6.71008
- 期首払い：6.7100814… × 1.08 = 7.2468879…、表示は7.24689
既定のケースであり、このページが他の年金ページの毎月・20年ではなく年1回・10年を既定にしている理由です。標準的な年金表で8%の行を引くと、10番目のマスは6.71008です。近似ではなくその数そのものだからです。隣の期首払いの列は同じ表のはじめ払いの欄にあたり、両者の8.0%の差はちょうど1期ぶんの利息です。
年7%・20年・毎月払い——128.98251
- 1期あたりの利率：7% ÷ 12 = 月0.5833…%
- 期数：20 × 12 = 240
- PVIFA：[1 − (1.005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0.005833… = 128.98250649…、表示は128.98251
年金現価のページが既定で使っているのと同じ入力で、あちらは支払額500に対して64,491.25を返します。128.98250649… に500を掛けるとちょうどその数になり、これが2つのページの関係そのものです。片方が係数を出し、もう片方がそれに金額を掛けます。ただし、印字された128.98251に500を掛けると64,491.255になって64,491.26に丸められるので、5桁の係数は読むためのもので、次の計算につなげるためのものではありません。
年5%・1年・年1回払い——0.95238、期首払いならちょうど1
- 5%で1期：PVIFA = 1 ÷ 1.05 = 0.952380…、表示は0.95238
- 期首払い：唯一の支払いが今日に移り、割引係数は (1.05)⁰ = 1になる
- したがって期首払いの係数は丸めを一切含まずちょうど1
このページでいちばんきれいな境目です。1年後に払われる1回は5%では額面の0.95238の価値しかありませんが、同じ支払いを今日に移すと割り引かれる時間が無いので係数は1になります。2つの列の隔たりはここで係数に対しておよそ5%と、いちばん大きく見えます。ただし割合そのものは金利と同じで、期間を延ばしても変わりません。絶対額では増えていきますが、係数に対する比率はどの期数でも金利のままです。多くの人がここを逆だと予想します。
適用限界
係数は、その背後にある金利と期数が正しいときにだけ役に立ち、そのどちらも支払いの頻度に合わせた1期あたりの値でなければなりません。公表されている表はほとんどが年1回なので、毎月の年金に使うには金利を割って期数を掛ける換算が要り、ここを間違えると桁が1つずれるという、いちばんよくある失敗になります。同じ金額が既知の期数だけ続くことを前提にしており、増えていく列、段階的に上がる列、いつ終わるとも知れない列は対象外です。割引率が全期間一定であることも前提にしていますが、現実の金利はどれも一定ではありません。そしてこれは現在価値であって価格ではありません。信用リスク、税、手数料、支払いが止まる可能性はどれも入っていません。公的な表と突き合わせるときには、政府自身の数値が別の組み立て方をしていることに注意してください。26 CFR 20.2031-7では、表Bが年1回払いの年金係数を与え（2.6%・5年で4.6325）、次に表Kがそれを各期間の末に払う場合の頻度調整率で掛けます（2.6%・四半期払いで1.0097）。この規制自身の計算例は、年10,000を四半期払いにする年金から46,774.35を得ています。このページは同じ現在価値に別の道から到達し、名目金利を直接複利にして46,744.27を出します。30.08、率にして0.06%だけ小さい値です。どちらも間違いではなく2つの流儀であり、提出する年金数理の評価額に合わせなければならない数値は規制のほうを使う必要があります。
よくある質問
- PVIFAとは何か
- present value interest factor of an annuity、つまり年金現価係数の略です。1期あたり1単位の金額を、決まった期数だけ受け取るとき、それが決まった割引率のもとで今いくらの価値になるかを表します。お金が入っていない裸の係数なので、自分の支払額を掛けて初めて現在価値になります。8%・10期・年1回なら6.71008で、これは1を10回受け取る列が今6.71008の価値であるという意味です。
- PVIFAはどう計算するのか
- [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ iを使います。iは1期あたりの利率、nは期数です。年8%・10年なら [1 − 1.08⁻¹⁰] ÷ 0.08 = 6.7100814… で、表示は6.71008になります。毎月の年金なら、先に年利を12で割り年数を12倍してから同じ式に入れてください。金利も期数も1期あたりの値でそろえる必要があります。
- なぜ期首払いの係数のほうが大きいのか
- どの支払いも1期ぶん早く届き、割り引かれる回数が1回減るからです。関係は正確で、期首払いの係数は期末払いの係数に (1 + i) を掛けたものです。8%・10年なら6.71008 × 1.08 = 7.24689で、およそ8%大きくなります。このページが両方を並べて出すのは、どちらが要るかを先に決めなくても済むようにするためです。
- 既定の設定は公表されている表と一致するのか
- 一致しますし、それは意図したものです。既定は年8%・10年・年1回払いで、6.71008を返します。これは標準的な年金表の8%の行の10番目のマスです。参考表は同じ10年のまま4%から12%まで動いており、6つの係数8.1109、7.72173、7.36009、6.71008、6.14457、5.65022は公表されている表と桁まで一致するので、手元の表の検算に使えます。
- 金利が0%のときはどうなるのか
- 係数は期数そのものに退化します。割引が無ければ支払いはただの合計だからです。年1回で10期なら係数は10、毎月で10年なら120になります。期首払いの係数も0%では同じです。(1 + 0) を掛けても何も変わらないからです。これは係数の意味を確かめるよい検算になります。期数を超える部分はすべて割引だということです。
- PVIFAは年金の現在価値と同じものか
- あと1歩手前です。現在価値は係数に支払額を掛けたものなので、支払額が分からない、重要でない、あるいは別の場所で扱い済みのときに手元に残るのが係数のほうです。このサイトでは年金現価のページが金額を出し、このページが係数を出します。同じ5つの入力から、7%・20年・毎月払いなら係数は128.98250649…、支払額500で現在価値は64,491.25になります。
参考文献
- 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — 確定年金の公式な年金係数表。2.6%・5年で年金係数は4.6325で、規制の計算例はこれを使っている — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
- 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv), Table K — 各期間の末に払う年金の調整率で、年1回の年金係数をより頻繁な支払い間隔に換算するために使う（期首払いには表Jが同じ役割を果たす） — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
- Annuities — Investor.gov glossary — この係数が値付けしている、一定間隔の支払いの列について — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)