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CalcMax

年金現価計算

範囲：0.01〜100,000

範囲：-99.90〜50

範囲：1〜50

計算結果

64,491.25

現在価値

支払総額
120,000.00
割引額
55,508.75

年金とは一定の間隔で受け取る同額の支払いの列で、その現在価値は、この列が合計でいくらになるかではなく、今いくらの価値にあたるかです。各回の支払いは、今日から離れている期の数だけ割引率で割られるので、20年目の末に届く1回は来月届く1回よりはるかに小さく数えられ、その割り引いた額の合計が答えになります。既定のケースは20年間・年7%で毎月500です。支払いは合計で120,000になり、今日まで割り引くと64,491.25の価値になります。つまり総額のうち55,508.75は割引率の仕業で、受け取ることは確かでも額面どおりの価値が今は無いお金です。この列にいくら払うべきか、あるいは年金や和解金やリースが今のあなたにとっていくらの価値があるかを問うとき、効いてくるのはその数です。土台にあるのは貨幣の時間価値という考え方で、同じ金額でも受け取る時期が違えば価値が違うという前提に立っています。答えを変える設定が2つあります。各期の末ではなくはじめに受け取ると、どの支払いもちょうど1期ぶん今に近づき、答えは64,867.45に上がって割引は55,132.55に減ります。差はこの列全体の1期ぶんの利息で、期末払いと期首払いを分けているものと同じ区別です。もう1つ、頻度は見た目の話ではありません。年率は何よりも先に1年の支払回数で割られるので、各回を割り引く率は支払いの頻度で決まります。マイナスの金利を入れると、見る価値のあることが起きます。年−5%では支払いの列は合計より高い価値を持ち、割引がプレミアムに変わります。

毎月500を年7%で、各月の末に受け取る場合——5つの期間

年数支払総額現在価値割引額
530000252514749
106000043063.1816936.82
2012000064491.2555508.75
3018000075153.78104846.22
4024000080459.42159540.58

この行たちのあいだで変わるのは期間だけで、真ん中の2列が逆の振る舞いをします。それがこの表の趣旨です。支払総額の列は直線で、期間が2倍なら金額も2倍です。現在価値の列はそうではありません。5年の25,251から20年の64,491.25へ上がりますが、比例にはほど遠く、30年と40年のあいだではほとんど動きません。5,305.64しか増えないあいだに、支払総額の列は60,000増えています。この平らになり方が、割引率が遠いお金にすることです。31年目から40年目までの支払いはあまりに強く割り引かれるので、足しても答えがほとんど変わりません。長い列の実用的な限界として読んでください。年7%では40年先の支払いは額面のおよそ6%の価値しかないので、それより先に期間を延ばしても現在価値はほとんど買えません。20年の行が計算機の既定のケースで、40年の行と並べるのが、期間を2倍にしても今の価値は2倍にならないことを見るいちばん明快な方法です。表の中の数は計算結果をそのまま出しているので、4桁の数にも3桁ごとの区切りは入っていません。

公式

現在価値 = 支払額 × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i。期首払いなら × (1 + i)。（i = 年利 ÷ 1年の支払回数、n = 年数 × 1年の支払回数）

支払額
1期あたりの支払額です。この列を成す同額の1回1回で、受け取るお金でも支払うお金でも同じです。
年利
割引率として使う名目年率です。適用される前に1年の支払回数で割られます。既定のケースでは年7%が月0.5833…%になります。
年数
支払いが続く長さです。1年の支払回数を掛けると、割り引く対象になる支払いの回数になります。
i
1期あたりの割引率です。各回の支払いを、今日から離れている期の数だけこれで割ります。
n
支払いの回数で、割引の複利が回る回数でもあります。

同額の支払いの列が存在し、その合計ではなく今の価値が知りたいときに使います。いちばん分かりやすいのは、誰かがその列を買いたい、あるいは売りたいと言っている場合です。年金の買い取り、定額の和解金、個人年金の契約、均等払いのリース、債券のクーポンの列などです。貯蓄の逆の場合にも正しいページです。毎月一定額を積立から取り崩しているなら、それを支え続けるには今日いくらの原資が要るかが分かります。支払いの向きが逆になっただけで、計算は同じです。押さえるべき点が2つあります。割引率は、そのお金を別に使えば得られたであろう率なので判断の産物であり、答えはそれにつれて動きます。高く割り引くほど、将来のどの列も今の価値は下がります。そしてタイミングの設定は細部ではありません。各回が期のはじめに届くか末に届くかは、列全体の1期ぶんの利息に値し、既定のケースでは376.20です。

計算例

  1. 20年間・年7%で毎月500を受け取る場合（各月の末に受け取る）

    1. 1期あたりの利率：7% ÷ 12 = 月0.5833…%
    2. 支払いの回数：20 × 12 = 240
    3. 年金現価係数：[1 − (1.005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0.005833… = 128.98250649…
    4. 現在価値：500 × 128.98250649… = 64,491.25
    5. 支払総額は500 × 240 = 120,000、したがって割引は120,000 − 64,491.25 = 55,508.75

    将来価値のページと鏡写しの関係にあり、同じ5つの入力を与えるとあちらは260,463.33を返します。2つの答えは同じ計算を逆向きに走らせたもので、きれいに一致します。64,491.2532… を月0.5833…%で240か月運用すると260,463.3299… になります。近道をしようとしないために知っておく価値があります。印字された係数128.98251に500を掛けると64,491.255になり、正しい64,491.25ではなく64,491.26に丸められます。5桁の係数は読むためのもので、掛けるためのものではありません。

  2. 同じ支払いを期首払いにした場合——64,867.45

    1. 各500が月末ではなく月初に届く以外はすべて同じ
    2. どの支払いも1期ぶん今に近づき、割り引かれる回数が1回減る
    3. 期末払いの答えに (1 + 0.005833…) を掛けた値：64,491.25 × 1.005833… = 64,867.45
    4. 割引は120,000 − 64,867.45 = 55,132.55に下がる

    同じ支払総額120,000に対して期末払いより376.20多く、これは列全体のちょうど1か月分の利息です。早く受け取ることにこれだけの値打ちがあり、金利が高く期間が長いほど大きくなります。この設定が前提の中に埋もず画面に出ているのはそのためです。

  3. 20年間・年−5%で毎月500——割引がプレミアムに変わる

    1. 1期あたりの利率：−5% ÷ 12 = 月−0.4166…%
    2. マイナス金利の年金現価係数は期数を超える：413.752…
    3. 現在価値：500 × 413.752… = 206,876
    4. 割引は120,000 − 206,876 = −86,876で、負の数になる

    マイナスの金利は、同じお金が今より後のほうが価値を持つという意味です。だからこの列は支払いの合計より高い値打ちを持ち、3つ目のマスが負になります。算術がつじつまを合わせているのであって、出力が壊れているのではありません。この負の数は、お金の価値が下がっていく世界で20年かけて120,000を受け取るために、今日払うことになるプレミアムです。実質マイナス金利は珍しいですが皆無ではなく、これがそのとき支払いの列に起きることです。

適用限界

割引率は全期間を通じて1つの定数で、答えがいちばん敏感に反応する入力です。そしてそれが、誰も事前に測れない唯一の入力でもあるというのが問題です。インフレ調整のない名目金利なので、答えは今日の購買力ではなく支払いの通貨での金額になります。20年ともなればその差は大きくなります。支払いは等額で等間隔です。インフレで増えていく列、段階的に上がる列、期が飛ぶ列は対象外です。増える列は別の入力ではなく別の式が要ります。この列が全額きっちり期日どおりに払われることを前提にしています。実際の年金や和解金には債務者の信用リスクが付き、年金は20年後にも存在するか分からないスポンサーに依存します。危うい列を無リスク金利で割り引くと価値を過大に見積もります。買い取りの申し出が無リスクの現在価値より高い値段になるのは、まさにそのためです。税は無視しており、年金や和解金の課税扱いは元の投資と異なることがあります。手数料や制度を運営する費用も無視しています。この列が受け取る収入ではなく返済中のローンである場合、同じ数はそれに対して借り入れられる額であって、実際に払う総額ではありません。最後に、マイナス金利の場合は算術としては正しいものの、はっきり書いておく価値があるほど珍しいものです。お金が年5%で20年間じわじわ価値を失うという状況は誰も想定して計画するものではなく、この出力は式が何をするかを見せるためのもので、予測をモデル化したものではありません。

よくある質問

年金現価とは何か
同額の支払いの列が、1回1回を受け取る日から今日まで割り引いたうえで、今いくらの価値にあたるかです。合計額にはなりません。20年後に届くお金は来月届くお金より買えるものが少ないからです。既定のケースでは20年間・毎月500が合計120,000になり、年7%では今64,491.25の価値になります。額面のうち55,508.75は割引で、誰かが取る手数料ではなく、時間の効果そのものです。
年金現価はどう計算するのか
年率を1年の支払回数で割って1期あたりの利率を出し、年数に1年の支払回数を掛けて支払いの回数を出し、支払額 × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ iを使います。既定の数ではiが0.5833…%、nが240なので係数は128.98250649… となり、500を掛けると64,491.25です。支払いが各期の末ではなくはじめに来るなら、もう1つ (1 + i) を掛ければ期首払いの値になります。
期末払いと期首払いは何が違うのか
各回の支払いが期の内側のどこに落ちるかです。期末払いは末に、期首払いははじめに払い、はじめの支払いは1期ぶん今に近いので割り引かれる回数が1回減ります。既定の列では64,491.25と64,867.45の差、つまり376.20で、これは列全体の1か月分の利息です。家賃やほとんどのローンの支払いは期末払いで、前払いのリースや年初に払う保険料は期首払いです。
どの金利で割り引けばよいのか
そのお金を投じなければ得られたであろう率です。支払いを後で受け取ることが、それだけの犠牲になるからです。ほかの場所で使う割引率と同じもので、ハードルレートと呼ばれることもあります。測定値ではなく判断であり、答えはそれに非常に敏感です。金利が高いほど将来の列の今の価値は下がります。時間だけでなくリスクも反映すべきなので、支払われないかもしれない列を国債の金利で割り引くと価値を過大に見積もることになります。
現在価値が支払いの合計より高くなることがあるのか
金利がマイナスのときは必ずそうなります。年−5%では同じ20年間・毎月500が、支払総額120,000に対して206,876の価値を持ち、割引のマスには−86,876が入ります。割引ではなくプレミアムです。お金が今より後のほうが価値を持つ金利の上で式が正しく働いているのであって、出力が壊れているのではありません。マイナス金利は珍しく、20年間ずっと−5%というのは予測ではありませんが、この場合を残してあるのは、黙って例外扱いする式が前提を隠してしまうからです。
支払いの頻度は影響するのか
一度に2つを変えます。年率は1年の支払回数で割られるので、毎月払いは毎年払いとは違う1期あたりの利率で割り引かれ、割り引く支払いの回数も一緒に変わります。年1,000を10年・6%で受け取る場合の現在価値は7,360.09です。同じ年間総額を500ずつ年2回に分けると少しだけ価値が上がります。各500がより早く届き、割り引かれる回数が減るからです。年間総額ではなく1回の支払額を固定すると差はもっと大きくなります。比べているのが別の金額になるからです。
これは年金の将来価値と同じものか
同じ計算が逆向きを向いたものです。どちらも同一の年金現価係数を使い、このページはそれに支払額を掛けて今の価値を出し、将来価値のページは成長率を掛けて最後に口座に残る額を出します。既定の入力では2つの答えはきれいに一致します。64,491.2532を月0.5833…%で240か月運用すると260,463.33になります。今ある列を評価するときはこのページ、これから積み立てる列を投影するときはもう一方を使ってください。

参考文献

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