正味現在価値計算
計算結果
正味現在価値
- キャッシュフローの現在価値
- 153,968.13
- 割引額
- 51,031.87
正味現在価値計算は、プロジェクトについて1つの問いに答えます。将来のキャッシュフローをすべて今日の価値に割り戻したとき、合計は今払い込むものを上回るか。今日出ていくお金、各年の終わりに受け取る見込みの額の並び、そして割引率を入れると、その並びの現在価値、そこへ至るまでに割り引かれた額、そして問いに決着をつける正味の数が返ります。式そのものより算術の形のほうが大事です。初期投資は第0年にあり、まったく割り引かれません。今日使うお金はすでに今日の単位だからです。100,000を前払いすれば100,000として引かれ、92,592.59にはなりません。後者として扱うことは、ぎりぎりに見えるプロジェクトと明らかに良いプロジェクトの違いです。並びはもう半分です。最初の数が第1年なので、その割引係数は1期間なら1 ÷ 1.08、2番目なら1 ÷ 1.08^2、以下同様です。出てくる数がそのプロジェクトの正味現在価値で、負にもなります。求められた率を上回らないプロジェクトは、誤りではなく正当な答えです。割引率は結果ではなく入力で、すべてを決めます。同じ6年の205,000が同じ100,000に対して、割引率ゼロなら105,000、8%なら53,968.13、20%なら6,968.02の値打ちです。金額に通貨記号は付きません。
1つのプロジェクト——100,000を投じて6年で205,000——を6通りの割引率で
| 割引率（%） | 正味現在価値 | キャッシュフローの現在価値 | 割引額 |
|---|---|---|---|
| 0 | 105000 | 205000 | 0 |
| 4 | 76797.79 | 176797.79 | 28202.21 |
| 8 | 53968.13 | 153968.13 | 51031.87 |
| 12 | 35287.32 | 135287.32 | 69712.68 |
| 16 | 19847.79 | 119847.79 | 85152.21 |
| 20 | 6968.02 | 106968.02 | 98031.98 |
どの行も同じプロジェクトで、変わっているのは割引率だけです。だからキャッシュフローと投資額は列を通して同一で、表全体が1つの問いを6回尋ねたものになります。このお金がこれだけのコストなら、このプロジェクトはいくらの値打ちか。ゼロでは答えは単純な算術で、205,000から100,000を引いたもので、何も先延ばしにしていないので割引額もゼロです。そこから正味現在価値は着実に下がり、割引額は上がり、半分の線は4%と8%のあいだで越えます。手を止める価値があるのは最後の行です。20%でもプロジェクトは6,968.02の値打ちがあり、大きくはないものの無ではありません。プロジェクトが単純に良いとか悪いとか言えないのはそのためです。割引率を変えれば判定も変わります。
公式
正味現在価値 = Σ [ 第k年のキャッシュフロー ÷ (1 + 割引率)^k ] − 初期投資 （k = 1 … n）
- 第k年のキャッシュフロー
- 第k年の終わりに受け取る額です。その年が受け取りではなく純粋な支出なら負にもなります。
- 割引率
- 1年あたりの割引率で、百分率で入れます。プロジェクトが上回らなければならない率です。
- k
- 年番号で、並びの最初の数が1から始まります。だから初期投資は並びの中に入りません。
- 初期投資
- 今日使うお金で第0年にあり、割引係数はちょうど1なので割り引かれずにそのまま引かれます。
- 正味現在価値
- 将来のキャッシュフローすべての現在価値から初期投資を引いたもので、ゼロを上回ればその率を上回っています。
すでに決めた率をプロジェクトが上回るかどうかを判断するのに使い、まったく違う返済スケジュールのプロジェクトを比べるのにも使います。5年間毎年40,000を返す機械と6年目に200,000を返す権利は、合計では比べられませんが、どちらも割り引けば比べられます。このページが意図的にやらないことが2つあります。割引率を選んでくれません。率はお金のコストか、ほかで得られる収益であり、このページではなくあなたの状況に属します。そして正味がゼロを横切る率を探しません。その率は内部収益率で、別の計算でありこのページにはありません。代わりに有用な感度の試し方は、同じプロジェクトをいくつかの率で走らせて答えが符号を変えるのを見ることです。下の参考表が、1つのプロジェクトについてまさにそれをしています。
計算例
100,000を投じて6年の増加する収入、割引率8%
- 1年目：25,000 ÷ 1.08 = 23,148.15
- 2年目：28,000 ÷ 1.08^2 = 24,005.49
- 3年目：32,000 ÷ 1.08^3 = 25,402.63
- 4年目：36,000 ÷ 1.08^4 = 26,461.07
- 5年目：40,000 ÷ 1.08^5 = 27,223.33
- 6年目：44,000 ÷ 1.08^6 = 27,727.46
- 6つの合計：153,968.13
- 正味：153,968.13 − 100,000 = 53,968.13
このページの既定のケースです。手で確かめる価値があるのはこの引き算の行です。このページが他の計算機と静かに食い違う唯一の場所だからです。100,000は割り引かれないので、正味は53,968.13になります。これを1回だけ割り引いた額として扱えば92,592.59が引かれ、正味は61,375.54に増えます。割引額の51,031.87は話のもう半分です。6年待つことは、割引前には稼いでいるように見える105,000の半分以上を持っていきます。
5年後に1回だけ100,000、割引率5%
- 並びの数が1つならキャッシュフローも1つで、第1年の終わりに来ます：100,000 ÷ 1.05 = 95,238.10
- 正味：95,238.10 − 100,000 = −4,761.90
負の正味現在価値は、このページが答えられるために存在する答えです。1年後にちょうど元が取れても、お金のコストが5%なら損失で、損失の大きさは率かける額です。キャッシュフローが1回しか割り引かれていないことも見ておいてください。5回ではありません。並びの項目が1つで、最初の項目は第1年だからです。5年後なら5つの数になり、最後の数がその額を運びます。
2年目にもう一度お金が出ていくプロジェクト
- 1年目：40,000 ÷ 1.08 = 37,037.04
- 2年目：−25,000 ÷ 1.08^2 = −21,433.47
- 3年目：60,000 ÷ 1.08^3 = 47,629.93
- 合計：63,233.50
- 正味：63,233.50 − 50,000 = 13,233.50
並びの中の負の数は許されていて、打ち間違いではありません。屋根は葺き替えられ、機械は分解整備され、2年目にもう一度お金がかかるプロジェクトは普通の形です。3つのキャッシュフローの割引前の合計は75,000なので、割引額の11,766.50はその75,000のうち、本当は待つことのコストでしかない部分です。
適用限界
正味の数はあなたが与えた3つの入力と同じだけしか良くなりませんが、その3つについて何も語りません。キャッシュフローはすべて各年の終わりに届くと前提していますが、これは事実ではなく慣行です。1月に集金するプロジェクトはこのページよりわずかに価値が高く、12月に集金するものはわずかに低くなります。割引率はどの年も同じと前提しているので、導入期間のあとで率が上がるプロジェクトはモデル化できません。インフレ、税、キャッシュフローがまったく届かない危険はどれも扱っていません。それらすべてが住むべき場所が割引率であり、それを選ぶのはこのページではなくあなたの仕事です。キャッシュフロー同士は独立と前提しているので、2年目の数がある水準を超えたときにだけ続くプロジェクトは表現できません。最後に、答えは通貨の付かない通貨単位の数で、プロジェクトをまたいで正味現在価値を比べるのは、前払いの額がおおよそ同じときだけ意味を持ちます。20,000の投資で正味現在価値10,000のプロジェクトと、2,000,000の投資で10,000のプロジェクトは、同じだけ魅力的ではありません。
よくある質問
- 正味現在価値はどう計算するのか
- 将来のキャッシュフローをすべて割引率で今日の価値に割り戻し、その現在価値を合計してから、前払いするお金を引きます。100,000かかって6年間毎年25,000を返すプロジェクトを8%で見ると、6つの割り引いた額は153,968.13になり、正味現在価値は53,968.13です。初期投資は割り引かれません。今日使うお金で、今日のお金はすでに今日の単位だからです。
- なぜ初期投資は割り引かれないのか
- 第0年に起きるからです。第0年の割引係数は1 ÷ (1 + r)^0でちょうど1です。今日使うお金は、今日のお金で表すのに調整が要りません。同じ100,000を第1年のキャッシュフローとして扱えば1回割り引かれ、8%では92,592.59として引かれます。その場合、正味現在価値は7,407.41上がって61,375.54になり、ぎりぎりのプロジェクトが良く見えるプロジェクトに変わります。
- 割引率はいくつにすればよいのか
- あなたにとってお金がいくらで調達できるか、あるいはほかでいくら稼げるかです。だからこのページは率を前提にせず尋ねます。安全なプロジェクトはふつう低い率で、投機的なものは高い率で試され、同じキャッシュフローが割引率ゼロで105,000、20%で6,968.02の値打ちになります。迷ったら、いくつかの率で走らせて正味現在価値がゼロを横切る場所を探してください。その率が内部収益率で、このページは計算しませんが、下の表からおおよそ読み取れます。
- 正味現在価値は負になることがあるのか
- ありますし、負の答えのほうが役に立ちます。プロジェクトが、求めた率ほどは返さないという意味で、その率ならお金はほかでよりよく働きます。負の正味現在価値は算術の失敗ではなく、計算機もそう扱いません。キャッシュフローの現在価値が、投じる額より小さいだけです。負の数の大きさが、その率でこのプロジェクトがどれだけの価値を壊すかです。
- 並びの途中でキャッシュフローが負でもよいのか
- よいです。負の数は、その年が払うのではなくお金がかかるという意味です。改装、分解整備、規制対応の更新などです。正のキャッシュフローとまったく同じように割り引かれ、合計から引かれます。表現できないのは初期投資で、それは独立した欄を持ちます。並びの最初の数は第1年で、初期投資は第0年、まる1年離れているからです。
- ここでの割引前のキャッシュフローは何の値打ちがあるのか
- このページは割引額と呼んでいます。キャッシュフローの単純な合計と、その現在価値との差です。既定のプロジェクトではキャッシュフローは205,000に足り、今日の価値は153,968.13なので、見かけの利益のうち51,031.87は本当は待つことのコストです。この隔たりは割引率と、お金が届くまでの遠さで広がります。長いプロジェクトが合計では優秀に見えて、今日の価値がごく小さいのはそのためです。
参考文献
- 10 CFR 436.14 — 方法論上の前提（将来のキャッシュフローをどのように現在価値へ割り引くか） — U.S. Department of Energy rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
- 31 CFR Part 356, Appendix B — 式と表：現在価値係数と、財務省証券の価格の式 — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
- H.15 Selected Interest Rates — 計算した率を突き合わせる、公表された基準金利 — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)