位置エネルギー計算

位置エネルギー = 質量 × 重力加速度 × 持ち上げた高さ

m

持ち上げる質量です。kgで入れ、同じ欄にgとtとlbも入ります。エネルギーはこれに比例します。質量が2倍ならジュールも2倍で、高さには関係ありません。落下速度にはまったく出てきません。このページで質量が消えるのはそこだけで、目を留めておく価値があります

h

物体を持ち上げる高さです。m・ft・cm・inが使えます。高さの差であって標高ではありません。箱を1階から3階へ運ぶなら、hは2階分のおよそ6 mで、海抜でも地球の中心からの距離でもありません。0も受け付けます。持ち上げなければ蓄えられるエネルギーも0で、これはれっきとした答えです

g

持ち上げる場所の重力加速度です。m/s²、ft/s²、標準重力の倍数で入れられます。この欄があるからこのページを開く価値があります。既定値は9.80665で、計算ツールの隣の表に6つの天体の値が並んでいるので、そのまま写せます。月の1.62は地球の6分の1なので、同じ持ち上げでも蓄えられるエネルギーは6分の1です。太陽の274は地球の28倍で、そこでは70 kgの人が19.2 kNの重さになります

U

蓄えられたエネルギーです。主な行がジュールで、その下にキロジュールとフィート重量ポンドが続きます。どちらの単位で仕事をする読者にも対応するためです。物体が落ちてくるときに重力が返してくれる仕事であり、持ち上げるのに入れた仕事でもあります。だから単なる位置エネルギーではなく、重力による位置エネルギーとも呼ばれます。地球で70 kgの人を2 m持ち上げると1,372.93 Jで、食べ物のカロリーのおよそ3分の1です

√(2gh)

その高さから落としたときに物体が達する速度、つまり落下速度です。単位はm/s。同じエネルギーを反対側から見たもので、落ちる間に蓄えられたUがすべて運動エネルギーになります。½mv² = mghの両辺にmがあるので質量が約分され、答えは高さと重力だけで決まります。2倍の高さから落とすと、着地の速度は2倍ではなく1.41倍になります

持ち上げるのにどれだけかかるか、落としたらどれだけになるかを知りたいときに使います。クレーンの巻き上げ機やモーターを選ぶとき、揚水発電所や重り時計のエネルギーを出すとき、荷物を持ち上げるのに電池がどれだけ供給すべきか比べるとき、地面の上に持ったボールのエネルギーはどこへ行くのかという教室の問いに答えるときなどです。重力の欄が、単なるmghの掛け算とこのページを分けています。1.62にすれば同じ持ち上げのコストが6分の1になり、月や火星のミッション計画がこの数を気にする理由がそこにあります。もう1つこのページを開く理由は落下速度です。高さが分かっていて、どれだけの勢いで落ちるか知りたいとき、分からないかもしれない質量は問題になりません。

1. 既定値：地球で70 kgを2 m持ち上げる

   1. 質量70 kg、高さ2 m、重力9.80665 m/s²
   2. エネルギー：U = m × g × h = 70 × 9.80665 × 2 = 1,372.931 J。表示は1,372.93 J
   3. キロジュールで：1,372.931 ÷ 1,000 = 1.372931。表示は1.3729 kJ
   4. フィート重量ポンドで：1,372.931 ÷ 1.3558179483 = 1,012.6219。表示は1,012.62 ft·lb
   5. 落下速度：√(2 × 9.80665 × 2) = √39.2266 = 6.2631。表示は6.26 m/s
   6. 最後の行の確認：½ × 70 × 6.2631² = 1,372.9 J。落下速度は同じエネルギーを別の形に書いたもの

   エネルギーは食べ物のカロリーのおよそ3分の1で、これが頭に置いておくべき目安です。人を1階分持ち上げるには機械的な仕事としてカロリーの3分の1ほどかかり、筋肉は100%効率ではないので体はその何倍も使います。最後の手順があるから、落下速度がこのページに載っている意味があります。後から足した別の式ではなく、同じ1,372.93 Jを高さではなく運動として書いたもので、確認がそれを裏づけています。落下速度に何が入っていないかにも目を向けてください。質量です。70 kgの人と1 kgの袋を2 mから落としても、どちらも6.26 m/sで当たります。落下の高さが着地の速度を決め、重さは被害の大きさだけを決めるのはそのためです。

2. 机の上まで持ち上げた水のボトル：1 kg、1 m

   1. 質量1 kg、高さ1 m、重力9.80665 m/s²
   2. エネルギー：U = 1 × 9.80665 × 1 = 9.80665 J。表示は9.81 J
   3. キロジュールで：0.00980665。表示は0.0098 kJ。小数点以下4桁で、2桁ではない
   4. フィート重量ポンドで：9.80665 ÷ 1.3558179483 = 7.2330。表示は7.23 ft·lb
   5. 落下速度：√(2 × 9.80665 × 1) = √19.6133 = 4.4287。表示は4.43 m/s

   この行は、キロジュールの結果が2桁ではなく4桁を保つ理由を説明します。この規模では2桁の行は0.01 kJとなり、2桁目が間違っているうえ、隣に並ぶジュールの行とも食い違います。9.81 Jは0.00981 kJで、パネルはそう表示します。落下速度にももう一度目を向ける価値があります。4.43 m/sはおよそ16 km/hで、速めのランニングの速さです。机の高さの棚から瓶が落ちるとこの速さになります。小さな高さは小さなエネルギーを与え、平方根があるので、思ったほどには小さくない速度を与えます。

3. 月で同じ持ち上げ：70 kg、2 m、g = 1.62

   1. 質量70 kg、高さ2 m、重力1.62 m/s²。月
   2. エネルギー：U = 70 × 1.62 × 2 = 226.8 J。地球の1,372.93 Jのちょうど6分の1
   3. キロジュールで：0.2268。表示は0.2268 kJ
   4. フィート重量ポンドで：226.8 ÷ 1.3558179483 = 167.2791。表示は167.28 ft·lb
   5. 落下速度：√(2 × 1.62 × 2) = √6.48 = 2.5456。表示は2.55 m/s

   どの行も2つの重力の比、1.62 ÷ 9.80665 = 0.1652の分だけ小さくなります。この比こそ、9.81を式に書き込まず重力を入力欄にした理由そのものです。落下速度も小さくなりますが、比ではなくその平方根の分だけです。6.2631 × √0.1652 = 2.5456で、表示は2.55になります。比例する応答と平方根の応答のこの違いは、覚えておく価値があります。アポロの映像で宇宙飛行士が歩かずに跳ねているのはこのためです。地球で20 cm跳び上がらせるのと同じ脚の蹴りが、ここでは1.2 m持ち上げ、その高さからの着地はより遅く、より柔らかくなります。

高さは2つの水準の差なので、答えはその持ち上げのエネルギーであって、位置によって物体が持つ全エネルギーではありません。基準の水準はどこに置いても構いません。重力は持ち上げの間ずっと一定で、建物の高さなら正確ですが、惑星の半径に匹敵する距離では成り立ちません。横向きの動きは扱っていません。物体は静止した状態から始まり、静止した状態で終わります。落下速度では空気抵抗を無視していて、地球の自転と空気の浮力も入っていません。

位置エネルギーの公式は何ですか

U = mgh、つまり質量 × 重力加速度 × 持ち上げた高さです。地球で70 kgの人を2 m持ち上げると70 × 9.80665 × 2 = 1,372.93 Jを蓄えます。式は掛け算1つなので、このページの面白いところは計算そのものではなく、変えられる2つの量のほうです。重力加速度を変えれば同じ持ち上げが月では6分の1になり、高さは標高ではなく2つの水準の差です。

落下速度が質量に依存しないのはなぜですか

質量がエネルギーの収支の両辺に出てきて、約分されるからです。落下は蓄えられたエネルギーを運動エネルギーに変えるので、m × g × h = ½ × m × v²となり、両辺をmで割るとg × h = ½v²、整理するとv = √(2gh)です。70 kgの人と1 kgの袋を2 mから落としても、どちらも6.26 m/sで着地します。重い物体はより多くのエネルギーを運びますが、それは1,372.93 Jのことで、速度を上げるのにもより多くのエネルギーが要るので、2つの効果がちょうど打ち消し合います。

持ち上げる高さを2倍にするとどうなりますか

蓄えられるエネルギーは2倍になりますが、落下速度は1.41倍、つまり2の平方根の分しかなりません。2 mから4 mにすると、70 kgの持ち上げは1,372.93 Jから2,745.86 Jになり、着地の速度は6.26 m/sから12.5ではなく8.86 m/sになります。制動距離が速度の2乗で伸びるのと同じ関係なので、覚えておく価値があります。エネルギーは高さに比例し、速度はその平方根にしか比例しません。

月や火星ではどの重力の値を使えばよいですか

計算ツールの隣の表に両方載っています。月は1.62 m/s²、火星は3.71で、地球の定義値9.80665と比べます。これらは表面の平均値で、天体ごとに1%程度は変動しますが、天体どうしの差に比べればはるかに小さいので、ミッションの検討にはこの値で十分です。木星は24.79 m/s²として載っていますが、その表面は固体の地面ではなく1バールの気圧面であることに注意してください。太陽の274は光球面の値で、そこでは70 kgの人が19.2 kNの重さになります。

位置エネルギーと運動エネルギーは同じものですか

同じ量の2つの形で、このページの後半がその交換比率です。高さによって蓄えられたエネルギーは、落ちる間に運動のエネルギーとして解放されます。70 kgを2 m持ち上げた1,372.93 Jは、着地の直前には1,372.93 Jの運動エネルギーになり、それがこのページの出す6.26 m/sです。運動エネルギーの計算ツールは反対側から出発して、ある速度に必要な高さを出します。2つのページは重複ではなく、逆の関係にあります。

• 重力による位置エネルギー（College Physics 2e, §7.3 Gravitational Potential Energy）— U = mgh、基準面の取り方、蓄えられたエネルギーと落下速度の換算 — OpenStax
• Gravitational energy — mghという形とその限界、落下速度から質量が消える理由 — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: フィート重量ポンドの行（1 ft·lbf = 1.355 818 J）。このページの3行目の換算に使っている — NIST