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分数を掛ける計算

範囲：-94,906,265〜94,906,265

範囲：1〜100,000

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範囲：1〜100,000

計算結果

1/2

積（最も簡単な形）

約分前の分数
6/12
約分後の1番目の分数
1
約分後の2番目の分数
1/2

分数を掛ける計算ツールは、2つの分数の積を出し、そのうえで掛け算を楽にする近道を見せます。2/3×3/4は1/2で、これを見せる価値があるのは、そのまま掛けると6/12になるからです。間違いではありませんが、答えからは遠い数です。斜め約分はそこへ先に着きます。掛ける前に、それぞれの分子を斜め向かいの分母と見比べ、共通に持っている数で両方を割ります。ここでは線の上の2がもう一方の線の下の4と約分され、3はもう一方の3と約分されます。残るのは1/1×1/2で、最後に約分する手順なしで答えになります。どちらの読みもパネルに載ります。このページが印字する4つの数は、最簡にした答え、何も約分しなかった同じ積、そして斜め約分を済ませたあとの2つの因数です。最後の2つがあるからこそ、この近道は覚えるべき小技ではなく確かめられるものになります。分数の掛け算は共通分母を必要としない唯一の演算で、その理由に気づく価値があります。4分の1と3分の1を足すには先に12分のいくつかに直す必要がありますが、掛けるときは2つの分母をそのまま掛けるだけで、そういう手順は存在しません。人がつまずくのはどの組が約分されるかで、答えは斜めの組、つまり分子と向かいの分母であって、2つの分子どうしでは決してありません。分子どうしは約分するのではなく掛け合わせるからです。

8つの分数の積と、その約分

1番目の分数2番目の分数約分した1番目約分した2番目積
2/33/411/21/2
3/48/912/32/3
5/63/101/21/21/4
7/84/57/21/57/10
-2/33/4-11/2-1/2
-7/93/7-1/31-1/3
1/22111
99/100100/99111

どの行も同じ2つの手順、つまり斜めの組を約分してからそのまま掛けることを、別の組で行ったもので、5つの列は2つの入力、約分後の2つの因数、最簡の答えです。約分後の2つの列を掛けると必ず最後の列の積になります。これが、正しい相手と約分したかどうかの確認です。2つの因数を掛けても積にならないなら、分子が間違った分母と突き合わされています。最初の3行はどちらの斜めの組も約分され、因数が簡単になって返る組です。3つ目の5/6×3/10は両方向に約分され、1/4に着きます。4行目はもう1つの形で、片方の斜めの組が互いに素で手つかずのまま通り過ぎるため、約分後の1番目は分母2を保ち、もう片方は完全に約分されます。5行目は負で、マイナスは約分を生き延びて分子に残ります。6行目は2つの分数が完全に約分され、3と9、7と7なので、2つ目の因数は裸の1で返ります。7行目は2分の1に整数を2/1として書いたものを掛けており、特別扱いは要りません。8行目はある分数とその逆数の積で、すべてが約分され、どちらの因数も1で返り、答えは1です。近道がいちばん多くを省いた行で、そのまま掛ければ9,900の上に9,900を書き留めることになっていました。最初の2列を横に、答えを縦に読むと、同じ4つの数を並べ替えると違う積になるので、欄を間違えて入れたときは約分前の行と見比べる価値があります。

公式

a/b × c/d = (a × c) / (b × d) 斜め約分：掛ける前に、aとdをgcd(a, d)で、cとbをgcd(c, b)で割る そのあと積を約分する

1番目の分子
1番目の分数の上の数で、2/3なら2です。約分する相手はもう一方の分数の分母であって、自分の分母でも、もう一方の分子でもありません。負でもよく、符号は約分を通って答えまで付いてきます。
1番目の分母
1番目の分数の下の数で、2/3なら3です。正でなければなりません。分数は分子に符号を担わせるという約束が、斜め約分を曖昧でなくしています。約分する相手は2番目の分数の分子です。
2番目の分子
2番目の分数の上の数で、3/4なら3です。約分する相手は1番目の分母で、既定の例ではそれが同じ3なので2つは一緒に消え、約分後の因数がどちらも簡単になります。
2番目の分母
2番目の分数の下の数で、3/4なら4です。約分する相手は1番目の分子、既定の例では2と4の組で、1番目の分母と同じ理由で正でなければなりません。
斜め約分
一方の分子ともう一方の分母を、掛ける前に最大公約数で割ることです。斜めの2組をどちらも約分し、先にやっておくのは、積がすでに最簡の形で届くようにするためで、最後に長い割り算が要りません。片方の因数を割り、同じ数を掛けることが打ち消し合うので成り立ちます。
約分後の因数
斜めの組を約分したあとの2つの分数で、既定の例では1/1と1/2です。これらを掛けると答えの値になるので、近道を確かめられます。もし掛けても積にならないなら、間違った相手と約分しています。そのまま印字するので、完全に約分された因数は裸の1として出ます。
約分前の積
斜め約分をせずにそのまま掛けたもので、既定の例では6/12です。答えと同じ数で、はるかに大きい整数の組です。2つの道の違いを主張ではなく目に見える形にするために印字しています。

1つ目は練習そのものです。分数の掛け算は割り算より先に教わり、斜め約分が導入される演算でもあるので、パネルは答えだけでなく約分後の因数も両方印字します。2つ目は手でやった計算の確認です。2つの分数を入れ、自分の計算と約分後の因数を見比べ、違っていれば積も違います。3つ目は大きく約分される積で、99/100×100/99のように、そのまま掛けると9,900/9,900になり、斜め約分なら計算らしい計算をせずに1になります。4つ目は負の分数で、符号が約分を生き延びなければなりません。-2/3×3/4は-1/2で、符号はそれを持つ分子のものです。5つ目は分数と整数の掛け算で、これは2番目の分数を分母1で書いただけです。1/2×2は1/2×2/1で、このページは特別扱いなしに受け取ります。

計算例

  1. 2/3 × 3/4

    1. 斜めの組を約分する：2と4は因数2を共有するので1と2、3と3は3を共有するので1と1
    2. 2つの因数は1/1と1/2になる
    3. そのまま掛ける：(1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
    4. 約分しなければ (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12で、同じ数

    既定の入力例で、斜め約分が何をもたらすかがいちばんよく分かります。2つの道は1/2と6/12を出し、値は同じで、すでに最簡なのは片方だけです。1つ目の約分後の因数が1/1ではなく裸の1として印字されることに注意してください。その数のすべてが約分され、分母1は書かないからです。確かめは最後の2つの読みにあります。掛けると1 × 1/2 = 1/2で答えになります。

  2. 7/8 × 4/5

    1. 斜めの組を約分する：7と5は何も共有しないのでどちらもそのまま、4と8は4を共有するので1と2
    2. 2つの因数は7/2と1/5になる
    3. そのまま掛ける：(7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
    4. 約分しなければ (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40で、同じ数だが整数が大きい

    2つの斜めの組のうち片方しか約分されない場合です。7と5は互いに素なのでその組は手つかずで通り過ぎ、1つ目の因数は分母2を保ち、もう片方の組は完全に約分されて2つ目の因数は1/5まで下がります。斜め約分の仕事の半分は、やることが無いと見分けることで、読みが変わらずに返ってくるのは失敗ではなく情報です。答え7/10はすでに最簡で、約分前の28/40は遠回りが渡してくるはずだった数を示しています。

  3. 99/100 × 100/99

    1. 斜めの組を約分する：99と99は99を共有するので1と1、100と100は100を共有するので1と1
    2. どちらの因数も1/1になる
    3. そのまま掛ける：1 × 1 = 1
    4. 約分しなければ (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9,900/9,900で、これも1

    ある分数とその逆数の積で、近道がどれだけ省くかが出る例です。遠回りは9,900の上に9,900を作ってから1に戻さなければなりませんが、斜め約分はどちらの数も書き留めません。2つの読みが裸の1で返るのは、どちらの因数も完全に約分されたからで、この表記での逆数の形です。約分が成り立つ理由のいちばん明快な実例でもあります。99と100はそれぞれ同じ量だけ掛けられ、同じ量で割られています。

  4. -2/3 × 3/4

    1. 斜めの組を約分する：-2と4は因数2を共有するので-1と2、3と3は3を共有するので1と1
    2. 2つの因数は-1/1と1/2になる
    3. そのまま掛ける：(-1 × 1) ÷ (1 × 2) = -1/2
    4. 負号は最後まで分子のもの

    負の分数で、符号は分子と一緒に約分をくぐり抜けます。-2と4は因数2を共有し、残るのは-1と2なので、約分してもマイナスは消されずに残ります。どの行でも分母は正のままです。分数は上に符号を担わせるという約束が、この曖昧さを防いでいます。負の因数が1つなら積は負、2つなら正になります。

  5. 1/2 × 2

    1. 整数を分数として書く：2は2/1
    2. 斜めの組を約分する：1と1は何も共有しない、2と2は2を共有するので1と1
    3. そのまま掛ける：1 × 1 = 1
    4. つまり2の2分の1は1

    整数で、特別扱いは要りません。2は2/1なので、このページはほかの分数と同じように扱い、斜め約分が2と2の組を見つけます。この手順が無ければ積は2/2になり、それでも約分が要ります。これだけ小さい例でも近道がもたらす違いがそれです。答えが1/1ではなく裸の1で出るのは、ページのほかの場所と同じ約束です。分母が1なら書きません。

適用限界

どちらの分母も正でなければなりません。分数は分子に符号を担わせるからで、この約束はここで実際に仕事をしています。斜め約分は数を斜めに突き合わせるので、どちらかの分母が負になり得ると曖昧になるからです。分子は負でもよく、符号は答えまで運ばれます。4つの数にはどれも大きさの制限があります。分子と分母はそれぞれ約9,400万が上限で、これは2つの分子を掛けた値が厳密に表せる整数に収まる最大の数です。それを超える積は静かに不正確になるので、このページは正しく見える数を印字するのではなく入力を拒否します。分子の0は受け付けます。積は0になり、約分後の因数はどちらも何かの上の0として返ります。分母の0は受け付けません。その分数が存在しないからです。このページが掛けるのは2つの分数だけで、足し算も引き算も割り算もしません。また整数が横に並んだ帯分数も扱わず、先に仮分数に直す必要があります。最後に、答えは最簡ですが約分後の因数はそうとは限りません。約分後の因数自身の数が共通の因数を持つと2/2のような形で印字されることがあり、それは答えが間違っているのではなく、約分が何をしたかについて読みが正直だということです。

よくある質問

分数を掛けるにはどうしますか
分子どうし、分母どうしを掛けます。2/3×3/4は(2 × 3)を(3 × 4)の上に置いて6/12で、6/12は1/2に約分されます。足し算と違って共通分母は要りません。掛け算が足し算より楽だと言えるのはそこです。
斜め約分とは何ですか
ある分子と、斜め向かいの分母を、掛ける前に最大公約数で割ることです。2/3×3/4では2が4と、3がもう一方の3と約分され、1/1×1/2が残ります。これはすでに答えです。片方の因数を割り、同じ数を掛けることが打ち消し合うので成り立ちます。
どの数が約分されるのですか。横ですか、縦ですか
いつも斜めです。それぞれの分子と、もう一方の分数の分母の組です。2つの分子どうしは掛け合わされるのであって約分はされず、2つの分母どうしも同じです。間違った組を約分すると答えが違ってくるので、パネルは約分後の因数を2つとも印字します。
斜め約分は必ずやらなければいけませんか
いいえ、このページは両方の道を示します。6/12と1/2は同じ数です。斜め約分がもたらすのは、積が最簡の形で届くこと、つまり最後に約分する手順が要らないことで、99/100×100/99では近道が1を出し、遠回りは先に9,900の上に9,900を書き留めます。
分数に整数を掛けられますか
掛けられます。整数を1の上に書けば、2は2/1になり、あとは普通の掛け算です。1/2×2は1/2×2/1で、2どうしが斜めに約分され、答えは1です。整数のための特別な規則はありません。
負の分数はどうなりますか
符号は分子のもので、それと一緒に運ばれます。-2/3×3/4は-1/2です。-2が4と約分されて-1と2が残るので、マイナスは約分を生き延びます。分母はどの行でも正のままで、それによって斜めの突き合わせが曖昧でなくなります。
約分後の因数が裸の1で印字されるのはなぜですか
中の数がすべて約分されたからです。ある分子と向かいの分母が因数をすべて共有していると、残るのは1の上の1で、分母1は書かないというページ共通の約束に従います。裸の1は、読みが欠けているのではなく約分しきった因数です。

参考文献

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