加速度の大きさ計算

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

aₓ

加速度のx成分です。単位はm/s²で、同じ欄にft/s²と標準重力も入ります。符号は大きさではなく向きなので、負の値はごくふつうの入力で、その軸の反対向きを意味します。空にしてよいのはzの行だけで、xとyはこのページが必要とする成分です

a_y

y成分です。単位も符号の扱いも同じです。ほかの2つとまったく同じように2乗のかたちで式に入るので、軸の順序は何も変えません。図全体をz軸のまわりに回すと3つの成分は変わりますが、大きさは変わりません。ベクトルの大きさが、3つの数を並べただけのものとは違うのは、この性質があるからです

a_z

z成分です。これは省略できます。空にすると平面の問題として扱われ、0を入れたのと同じになります。現実の加速度がいつも平らとは限らないからこの欄があります。バンクしたカーブを走る車、手から離れたボール、3軸の加速度センサーが測るものは、どれも3つの成分がそろっています。既定値の0は、最初の画面を平面の問題に保つためのものです

|a|

大きさです。m/s²と標準重力の2通りで出ます。加速度ベクトルの長さで、負になることはありません。足し算が始まる前に2乗がすべての符号を消すからです。2行目は同じ数を9.80665で割ったもので、9.80665 m/s²は標準重力です。2つ目の結果ではなく1つの結果のもう1つの書き方で、30 m/s²より3 gのほうが多くの読者に通じるから並べています

加速度が成分に分かれていて、その大きさを知りたいときに使います。3軸の加速度センサーの出力、横と上下の両方に加速度がかかるバンクしたカーブの車、頂点でも底でもない瞬間の放物体、シミュレーションが出した成分の一覧を実測値1つと突き合わせたいときなどです。合成加速度が大きいかどうかを眺めたいときにも向いています。2行目がgに直してくれるので、30 m/s²が立ち止まっているときの1 gと比べられる数になります。2点だけ気をつけてください。1つ目は、3つの成分が互いに直角で、同じ単位で表されている必要があることです。これはベクトルの大きさであって、たまたま並んでいた3つの加速度をまとめる手順ではありません。2つ目は、このページが加速度の向きを教えないことです。向きが要るなら、平面なら成分2つで足り、角はその2つのatan2で出せます。3次元の向きには角が2つ要るので、印字できる数が1つもありません。同じ操作を速度ベクトルに施すページは別にあります。やっていることは同じで、量が違うだけです。

1. 既定値の3・4・5の直角三角形

   1. 2乗する：3² = 9、4² = 16、0² = 0
   2. 足す：9 + 16 + 0 = 25
   3. 平方根をとる：√25 = 5
   4. 大きさはちょうど5 m/s²。zは0なので何も寄与しない
   5. 標準重力で：5 ÷ 9.80665 = 0.510 → 0.51 g

   ここはすべて暗算でできる手順で、既定値をこの数にした理由もそこにあります。9足す16は25、25の平方根は5で、電卓も丸めも要りません。起きなかったほうにも目を向けてください。3つの成分が足されて7になることはありませんでした。これはこのページでいちばん多い間違いですが、単に別の流儀というわけではなく、次のように説明できます。y方向を向いた成分はx方向の長さに何も足さないので、2つは直角のまま合成しなければならず、2乗してから平方根をとるという操作がそれをやっています。

2. 3次元の例：1と2と2

   1. 2乗する：1² = 1、2² = 4、2² = 4
   2. 足す：1 + 4 + 4 = 9
   3. 平方根をとる：√9 = 3
   4. 3つの成分すべてが寄与して、大きさは3 m/s²
   5. 標準重力で：3 ÷ 9.80665 = 0.306 g

   z成分があることで、この行は1行目とは別の例になります。そしてこの行は、zを黙って無視する実装を捕まえます。zを外すと√5 = 2.236となり、25%低いのに、画面上ではいかにも正しそうに見えます。3軸すべてを要する整数の組ではこれが最小で、1-2-2は9になって3に開き、同じ仲間に2-3-6（7）と3-4-12（13）が続きます。ただしこの仲間は短い名簿ではありません。1-4-8は9に、6-10-15は19になり、どちらも同じ範囲に収まります。持ち帰る価値があるのは個々の組ではなく形のほうで、どれでも整数倍すればまた仲間になります。1-2-2を2倍すれば2-4-4で、大きさも2倍になります。答えを確かめる癖として、いちばん大きい成分と比べる手があります。大きさがその成分より小さくなることはありません。ここでは最大が2で大きさが3なので、余裕をもって成り立っています。

3. 符号が混ざった例：3と−4と12

   1. 2乗する：3² = 9、(−4)² = 16、12² = 144。ここでマイナスが消える
   2. 足す：9 + 16 = 25、続いて25 + 144 = 169
   3. 平方根をとる：√169 = 13
   4. 大きさは13 m/s²で、3と4と12の場合と同じ
   5. 標準重力で：13 ÷ 9.80665 = 1.326 g

   負の成分がこの行の主題で、足し算の順序も同じくらい大事です。9足す16は25、25足す144は169で、169は13の2乗です。2段に分けて足すのは、式が意味していることそのものです。まず最初の2つの成分を三平方の定理でまとめ、その結果と3つ目の成分を、両方に直角なまままとめます。符号が消えるのは、コードのどこかで特別扱いしているからではありません。2乗が自動的に消しているからで、このページが負の入力を受け付ける理由も、負の答えを返せない理由もそこにあります。

大きさはベクトルの一部でしかなく、向きを落とすと本物の情報が落ちます。上向きに1 gで加速する物体と、横向きに1 gで加速する物体は、ここでは同じ数になり、振る舞いはまるで違います。1 gでカーブしている車と1 gで制動している車も別の状況です。どちらなのかは、このページのどこにも書いてありません。式は3つの成分が直角で、同じ単位で、同じ瞬間に測られていることも要求します。別々の座標系の成分や、時刻のずれた2つの測定をまとめると、見た目はきれいで意味のない数が出てきます。このページは加速度に固有でもありません。速度の成分3つを入れても同じように計算し、その答えも正しくなります。裏を返せば、計算が合っていることは、入れた量が正しいことの確認にはならないということです。gの行は換算であってしきい値ではないので、その値が耐えられるかどうかの判断は含んでいません。限界は数ではなく、その場面と持続時間のほうにあります。そしてz欄が省略可能なことは、平面の問題と、本当に平らな3次元の問題を画面上で区別できないことも意味します。ここでは無害ですが、入力を報告書に写すときは覚えておいてください。

加速度の大きさはどう求めますか

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)です。各成分を2乗し、その和の平方根をとります。成分が3と4の2次元の場合なら、√(9 + 16) = √25 = 5 m/s²です。3つの軸が互いに直角なので、これは三平方の定理を2回使ったことになり、大きさは成分が張る直方体の対角線の長さになります。答えが負になることはありません。足し算の前に2乗がすべての成分の符号を消すからです。

成分をそのまま足してはいけないのはなぜですか

成分はそれぞれ別の向きを向いているからです。y方向の成分は、x方向に加速度がどれだけ届くかに何も寄与しません。足し算は、直角な2つの量を一直線の量として扱ってしまいます。成分が3と4のとき、和は7ですが本当の大きさは5です。この誤りは小さくなく、ここでは40%で、成分の大きさが偏るほど大きくなります。足し算が正しいのは、1つを残して全部が0の場合だけです。それは加速度がすでに1本の軸に沿っているということで、ほとんど場合分けになっていません。

加速度の向きを出さないのはなぜですか

3次元の向きには角が2つ要るのに、このページが出せる数は1つだからです。平面で通用する角はy成分とx成分のarctanですが、それは射影として測られた角で、加速度がz軸にまっすぐ沿っていると定義されなくなります。xy平面に報告すべき向きが存在しないということで、北極点に経度がないのと同じです。その場合に0を返す近道をとると、向きは0度、つまりx軸に沿っているという表示になり、まったくの誤りになります。答えを拒むという手もありますが、それでは「鉛直方向の加速度はいくらか」というごくまともな問いがエラー表示になってしまいます。そこでこのページは大きさだけを出します。平面の問題で向きが要るなら、成分2つのarctanを計算してください。

成分は負でもよいのですか

はい。むしろこのページでは負の成分がよく出ます。負の成分は、その軸の反対向きを意味するのであって、小さいという意味ではありません。2乗が符号を消すので、3、−4、12は3、4、12と同じ13 m/s²になります。ベクトルの大きさは、どちらを向いているかを気にしません。答えが負にならないのも、結果がちょうど0になるのがエラーではなく本当の答えであるのも、同じ理由です。0は物体がまったく加速していないということで、等速直線運動の完全な記述になっています。

z成分は必ず入れなければいけませんか

いいえ。空のままにすると0として扱われ、問題は2次元になります。平面の中で起きていることにはそれが正しく、平らな道の車、机の上のパック、ふつうの理想化をした放物体がこれにあたります。本当に3つ目の成分があるときに埋めてください。バンクしたカーブの車、斜めに投げたボール、3軸の加速度センサーの生の出力などです。加速度センサーは、3つ目が重要かどうかに関わらず、いつも3つの数を出します。既定値が0なので、ページは平面の問題として開き、必要になったら3本目の軸を足せます。

gの行は何のためですか

同じ大きさを、標準重力の定義値である9.80665 m/s²で割ったものです。加速度をgの倍数で言い表せるようにするための行です。gは実感のある単位だから置いてあります。30 m/s²と言われてもぴんときませんが、3 gならジェットコースターだとすぐ分かりますし、0.1 gは動き出したエレベーターです。力に化けるのもこの行です。加速度がn gなら、体を支えているものは体重のn倍で押し返しています。10 gが人にとっての限界になるのはそのためです。とはいえこれは2つ目の結果ではなく、1つの結果のもう1つの書き方で、値が大きいかどうかの判断は含んでいません。0.1 gも30 gも、それぞれの場面ではふつうです。許容できるかどうかを決めるのは、大きさと同じくらい、それがどれだけ続くかです。

• ベクトルの合成と分解（College Physics 2e, §3.3 Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods）— 直角な成分に分けて三平方の定理でまとめ直す手順 — OpenStax
• Euclidean vector — ベクトルのノルムとしての大きさ、成分の符号が大きさではなく向きであること、3次元の向きに角が2つ要る理由 — Wikipedia
• NIST Guide to the SI, Appendix B.9: Factors for Units Listed by Kind of Quantity — ACCELERATIONの節、および定義値としての標準重力9.80665 m/s² — National Institute of Standards and Technology