向心力計算

向心力 = 質量 × 速度² ÷ 半径、向心加速度 = 速度² ÷ 半径、g = 向心加速度 ÷ 9.80665

m

質量で、単位はkg。同じ欄でg、t、lbも選べます。力の大きさは決めますが加速度は決めません。重い車は同じカーブにより多くのグリップを要りますが、曲がり方はまったく同じです

v

速さで、単位はm/s。2乗される項です。同じ欄でkm/h、mph、ft/sも選べます。1割速く走ると2割1分多くの力を要り、カーブでスピードが命取りになる効率がいい理由がここにあります

r

カーブの半径で、単位はm。円の中心から物体までで、道路の幅ではありません。分母にあります。緩いカーブほど必要な力は小さく、反比例です

a

向心加速度で、v²/r、単位はm/s²。速さが一定でも中心を向きます。速度の向きが一瞬ごとに変わっているからです

g

同じ加速度を標準重力の倍数で表したもので、9.80665 m/s²が1 gです。路面ではこの数がタイヤに必要な摩擦係数そのものになり、軌道では引っ張っている重力そのものです

何かをカーブに沿わせなければならず、その代償を知りたいときに使います。カーブを曲がる車や自転車、曲線区間の列車、糸で振り回すボール、軌道上の衛星や宇宙ステーション、ジェットコースターのループに乗っている人、遠心分離機の試料、磁場で曲げられる荷電粒子などです。問いはいつも同じで、内向きの力はどれだけで、供給側にそれがあるかです。習慣を2つ。1つ目は、ニュートンではなくgのほうを読むことです。状況をまたいで持ち運べるのはこちらの数です。路面の0.637 gという数はタイヤが出せる摩擦係数で、ループの4 gという数はシートベルトと強い首を要求し、軌道の0.884 gという数はもともとそこにあった重力そのものです。2つ目は、答えを信じる前に供給側を確かめることです。このページが濡れた路面で摩擦係数1.2を要求したら、正直な読み方は『力が大きい』ではなく『その速度ではこのカーブは曲がれない』です。濡れたタイヤが1.2を出すことはありません。

1. 1,500 kgの車が半径100 mのカーブを90 km/hで曲がる

   1. 90 km/h = 25 m/s、半径100 m（この欄はSI単位で受け取ります）
   2. 加速度：25² ÷ 100 = 625 ÷ 100 = 6.25 m/s²
   3. 力：1,500 × 6.25 = 9,375 N、2,107.6 lbf
   4. 重力換算：6.25 ÷ 9.80665 = 0.637 g

   持ち帰るべきはgのほうの数です。路面ではこれがそのままタイヤが出さなければならない摩擦係数になり、0.637は乾いた良いアスファルトの0.7〜0.9に十分収まります。つまりこのカーブは余裕をもって曲がれます。雨の日は同じタイヤが0.4〜0.5しか出さないので、この数はそれを超えてしまい、答えは『どれだけの力が要るか』から『このカーブをそもそも何km/hで曲がれるか』に変わります。およそ20 m/s、45 mphです。力そのものは別の量で、9,375 Nは小さな車1台の重さくらいが、カーブの数秒のあいだタイヤを横に引っ張り続けることにあたります。

2. 同じ車で半径を半分の50 mに

   1. 変わるのは半径だけ：50 m、前の例の半分
   2. 加速度：625 ÷ 50 = 12.5 m/s²
   3. 力：1,500 × 12.5 = 18,750 N、4,215.2 lbf
   4. 重力換算：12.5 ÷ 9.80665 = 1.275 g

   半径を半分にすると要求は2倍になり、1.275 gという値はどの市販タイヤにも出せません。この算例の狙いはそこにあります。カーブがきつくなるにつれて必要な力は少しずつ足りなくなるのではなく、ある半径で利用可能な摩擦をまたぎ越し、その半径より内側では車はもう曲がりません。高速道路のランプとラウンドアバウトが同じ速度でまるで違って感じられるのも同じ理由です。車の側は何も変わっていないのに、半径が100 mから50 mになっただけです。gの数からは質量が約分で消えるので、軽い車のほうが安全ということはありません。必要な力は比例して小さくなりますが、タイヤが出せるグリップも比例して小さくなるからです。

3. 国際宇宙ステーション、420 tが7,660 m/sで回る

   1. 7,660 m/sは時速17,100マイル。軌道半径は6,771 kmで、地球の中心から測ります（地表から約400 km）
   2. 加速度：7,660² ÷ 6,771,000 = 58,675,600 ÷ 6,771,000 = 8.666 m/s²
   3. 力：420,000 × 8.666 = 3,639,603 N、818,215.3 lbf
   4. 重力換算：8.666 ÷ 9.80665 = 0.884 g

   ステーションは420トンで、かかる内向きの力は3.6メガニュートン、そしてロープもタイヤも関与していないという意味では何も引っ張っていません。供給しているのは重力だけで、0.884 gという数はその高度での重力の強さそのものです。これが軌道の一般則です。必要な向心力は常に利用できる重力と等しく、だから天体は落ち込まず、飛び去りもしないで回り続けます。乗員が浮いている理由も同じです。乗員も周りのステーションも0.884 gで落ち続けているので、床に押し付けられるものがありません。加速度が小さいわけではないことにも注意してください。ステーションは限界でカーブを曲がる車より強い加速度で地球へ向かって加速しています。

この式が表すのは一定の速さでの円運動で、加速度が中心を向くと言えるのは速さが一定だからです。カーブの途中で減速したり加速したりしている車には接線方向の加速度もあり、全体はその2つのベクトル和で、このページが出す値より大きくなります。カーブは円だと仮定していますが、実際の道路の曲線はクロソイドや螺旋で、半径は途中で変わり、要求の山は全体ではなく1点に来ます。力がどこから来るかについては何も言いません。それが実際にいちばん外れやすい仮定です。タイヤは摩擦が許す分しか出せず、ロープには破断荷重があり、バンクの付いたカーブは力の一部を摩擦ではなく垂直抗力で供給しますが、このページはそれを扱いません。物体を質点として扱うので、実際の車がロールすること、タイヤが荷重を均等に分担しないこと、重心が路面より上にあることは入っていません。背の高い車は滑る前に横転します。物体が一定の半径にとどまることを仮定しているので、螺旋を描いて落ちていく衛星、アンダーステアで外へ膨らむ車、内側に体重をかけるライダーはいずれも範囲外です。相対論的な補正は一切入っていません。軌道速度では補正は小数第8位ですが、入力欄はそうでない速度も受け付けますし、磁場の中の荷電粒子は式そのものが別の問題です。

向心力の公式は何か

F = mv²/rで、加速度だけならa = v²/rです。1,500 kgの車が25 m/sで半径100 mを走ると1,500 × 625 ÷ 100 = 9,375 N、加速度にすると6.25 m/s²、0.637 gです。半径の位置に注目してください。分母です。カーブを100 mから50 mに締めると力は2倍になり、だから高速道路のランプとラウンドアバウトが同じ速度でまるで違って感じられるのです。

向心力と遠心力の違いは何か

向心力は地面に固定した系での本物の内向きの力で、必ず供給者がいます。タイヤの摩擦、糸の張力、衛星にかかる重力です。遠心力は回転系で計算したときに現れる外向きの見かけの力で、外へ押しているものは実際にはありません。大きさは同じなので2つのページは同じ数を出します。違いはどちらの問いを立てているかです。車の側に立てばタイヤが出せるかが知りたいことになり、機械の側に立てば軸受が受け持つ荷重が知りたいことになります。

車がカーブを曲がるとき、向心力を供給しているのは何か

タイヤと路面の間の摩擦で、バンクの付いたカーブではその一部を垂直抗力が受け持ちます。だからこのページのgの数は路面では二役を演じます。質量が一切入らずに、タイヤが出さなければならない摩擦係数と数値が等しくなるのです。乾いた良いアスファルトで0.7〜0.9、雨で0.4〜0.5、氷では0.1未満です。このページが路面に出せる値より大きい値を要求したら、正直な答えは『もっと大きな力』ではなく『もっと低い速度』です。

カーブが緩いほど必要な力が小さくなるのはなぜか

半径が分母にあるからです。半径100 mから200 mにすると同じ速度で必要な力は半分になり、100 mから50 mにすると2倍になります。この反比例が、高速道路のジャンクションが長く緩いカーブで作られている理由であり、ラウンドアバウトを開けたカーブと同じ速度で曲がると荒く感じる理由です。要求を下げるいちばん安い方法でもあります。速度を落とすほうは2乗と戦わなければなりませんが、半径を広げるほうはそのまま効きます。

重い車ほどカーブでグリップが要るのか

質量に比例して多くの力が要りますし、同時に使える力も増えます。タイヤが出せる摩擦はかかっている荷重に比例するからで、だから一次近似ではカーブを曲がれる速度は同じです。このページのgの数に質量がまったく入っていないのはそのためです。車が1,500 kgでも3,000 kgでも、タイヤへの要求は0.637 gです。質量が効くのはそれ以外のすべて、ニュートンの力、タイヤの熱、サスペンションの荷重です。この綺麗な約分はタイヤが限界に近づくと崩れるので、実際には重い車ほどカーブが遅くなります。

引っ張っているものがないのに、なぜ宇宙ステーションに力が要るのか

引っ張っているものはあります。重力です。高度400 kmでも地球の重力は約0.884 gあり、420トンのステーションが7,660 m/sで軌道を回るには3.6メガニュートンの内向きの力が要ります。重力はちょうどそれを供給しています。それが軌道に乗っているという意味で、ステーションは地球へ向かって落ち続け、同時に横へ十分速く動いているので地面が同じ割合で逃げていきます。支えているものは何もなく、乗員が浮いているのも同じ理由です。乗員とステーションが一緒に落ちているからです。

• Centripetal Acceleration（College Physics 2e, §6.2）— a = v²/r、速さが一定でも加速度が中心を向く理由、そして車と軌道の計算例 — OpenStax
• Centripetal force — 必ず供給者がいる力、バンクの付いたカーブと軌道衛星の場合、そしてカーブが要求する摩擦係数 — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — 標準重力9.80665 m/s²、そして上の算例で使った正確なマイル・フィート・ポンドの係数 — National Institute of Standards and Technology