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最小公分母計算

計算結果

60

最小公分母

共通分母に直した分数
45/60, 50/60, 42/60

最小公分母とは、いくつかの分数の分母すべてが割り切れる最小の数のことです。3/4、5/6、7/10なら60です。60は4が15個、6が10個、10が6個で、これより小さい数では3つすべてには合いません。書き直すと3つの分数は45/60、50/60、42/60になります。このように分母をそろえることを通分といい、値は同じままで分母が1つにそろうので、足し算・引き算・大小の比較ができる形になります。略してLCDともいい、このページでも使います。そこへ至る手順は2つで、1つ目は飛ばしやすいものです。まずすべての分数を約分してから分母を読みます。6/8と3/4は同じ数なのに分母が違うので、約分せずに分母を読むと、公分母ではあるものの最小ではない答えが出ます。6/8と10/12を3/4と5/6に約分すれば、答えは24ではなく12になります。次に分母をまとめます。分数の組の最小公分母は、約分後の分母たちの最小公倍数です。計算はこれだけで、このページと最小公倍数のページが別の方向から同じ数に着くのはそのためです。分数が3つ以上あるときは2つずつ畳み込むので、4、6、10ならまず12、次に60になります。表から読み取るのは、行き詰まったときの方法です。約分後の分母それぞれの倍数を並べ、すべてに共通して現れる最初の数を取ります。よく出る特別な場合が2つあります。整数も受け付け、分母1の分数として数えるので答えを大きくしません。ただし共通の分母を付けて返します。すべてを2にそろえれば2は4/2になるからです。もう1つ、ほかの分母の倍数になっている分母、たとえば2と4の中の4は何も足しません。2はすでに4に入っているからです。結果は、分母の違う分数を足すのに必要なその量そのもので、和の分母はこの数になります。

1/2、2/3、3/4を最小公分母にそろえた表

分数分母共通の分母での表記
1/226/12
2/338/12
3/449/12

真ん中の列を上から読むと、2、3、4です。これらの最小公倍数が12で、それが答えであり、3つすべてが割り切れる最初の数でもあります。12は2の6番目の倍数、3の4番目、4の3番目です。右の列はそれぞれを12の上に書き直したもので、置き換える前の分数と見比べる価値があります。6/12は2分の1、8/12は3分の2、9/12は4分の3で、どれも変わっていません。分子と分母に同じ数を掛けたからです。その掛け算の数は「答え÷その分数の分母」です。1行目は12÷2＝6、2行目は12÷3＝4、3行目は12÷4＝3になります。3つ目の分母4は、いちばん大きな数ですが、いちばん多く寄与しているわけではありません。効くのは素数で、12には2が2つ必要ですがそれは2からでも4からでも取れ、3は3だけが持ち込みます。表はこの3つの分数に固定されていて入力には従いません。入力への答えは上のパネルが出し、こちらは目で検算できる短さの行で手順を示します。

公式

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ 最小公分母 = lcm(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10
扱う分数で、2個から10個まで、それぞれ分子/分母の形で書き、どちらの数も1から1,000,000までの整数です。区切りは空白・コンマ・セミコロンのいずれかです。2のような整数も受け付け、2/1として読みます。分母を使う前に各分数を約分するので、答えが必要以上に大きくならずに済みます
4, 6, 10
約分後の分母です。先に約分することが、これらを4、6、10にして、もっと大きな数にしない理由です。6/8は3/4に約分しなければ8を持ち込んでしまいます。ここから先はこれらの数だけで計算し、分子は答えにまったく影響しません
最小公分母 = lcm(4, 6, 10)
計算全体を1行にしたものです。最小公分母は、約分後の分母たちの最小公倍数です。4は2²、6は2×3、10は2×5なので、必要な素数は2²と3と5で、4×3×5＝60になります。分数が3つ以上あるときは2つずつ畳み込みます。4と6で12、次に12と10で60です
60
答えです。約分後の分母はどれもこれを割り切り、これより小さい数はそうではありません。単に共通しているのではなく最小であるというのは、このことです
n × (60 ÷ d)
各分数の書き直し方です。分子に、答えをその分数自身の分母で割った数を掛けます。3/4なら3×15＝45で、3/4は45/60になります。分母と分子に同じ数を掛けるので分数の値は変わりません。それが等しい分数ということです
45/60, 50/60, 42/60
書き直した分数で、すべて共通の分母の上に載っています。入力の整数は約分し直さず、分母を付けたままここに現れます。答えが2のとき2は4/2で戻ります。この列に裸の整数として印字された行は、省かれた行に見えてしまうからです

分母の違う分数を足すときはここから始めます。3/4と5/6はどちらも12の上に載せるまで足せず、共通の分母は計算の1行目になります。分数の大小を比べるのも同じ手順です。5/6が7/10より大きいかは見ただけでは分かりませんが、50/60と42/60を並べればすぐ決まり、分母がそろっていれば分子だけを読めば済みます。引き算にも同じ準備が要ります。教室の外でも、量が違う分数の単位で記録されているとき、まとめて足せるようにするのが共通の分母です。下の表は手計算の方法で、約分後の分母それぞれの倍数を並べ、どの列にも現れる最初の数を取ります。手間を大きく減らす近道が2つあり、どちらもよく出ます。ほかの分母の倍数になっている分母は無視でき、素数をまったく共有しない分母どうし、たとえば6と5は掛けたものがそのまま答えになります。分数がすでに最簡でないときの約分は省けません。最後ではなく最初にやる価値があります。これを省いたときだけ、まったく筋の通った顔をした答えが出るからです

計算例

  1. 分数3つ：3/4、5/6、7/10

    1. 3つともすでに最簡なので、まとめる分母は4、6、10です
    2. 4の倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60
    3. 6の倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60
    4. 10の倍数：10、20、30、40、50、60
    5. 3つの並びすべてに現れる最初の数は60なので、最小公分母は60です
    6. 3/4は45/60になります。60÷4＝15で、3×15＝45だからです
    7. 5/6は50/60になります。60÷6＝10で、5×10＝50だからです
    8. 7/10は42/60になります。60÷10＝6で、7×6＝42だからです

    既定の入力です。倍数を並べるより畳み込むほうが短く、4と6で12、12と10で60になります。役に立つ検算は書き直した列のほうで、3つの新しい分数がそれぞれ元の分数と等しくなければなりません。45/60は3/4、50/60は5/6、42/60は7/10です。どれかが等しくないなら、掛け算を分数の片方にしか当てていません

  2. なぜ先に約分するのか：6/8と10/12

    1. 6/8と10/12は最簡ではありません
    2. 6/8の両方を2で割ると3/4になり、分母は4です
    3. 10/12の両方を2で割ると5/6になり、分母は6です
    4. 4と6の最小公倍数は12なので、最小公分母は12です
    5. 3/4は9/12に、5/6は10/12になります
    6. 約分せずに分母を読むと8と12になり、その最小公倍数は24でした

    このページが正しく出るために存在する答えです。24は間違った公分母ではありません。6/8と10/12は本当にどちらも24の上に書けます。ただ最小ではないだけで、24と表示されたパネルはまったく普通に見えます。先に約分することが両者を分け、欄が分母を読む前にすべての分数を約分するのはそのためです

  3. 分数に混ざった整数：1/2、2、3

    1. 2と3は2/1と3/1として読まれ、分母は1です
    2. まとめる分母は2、1、1です
    3. 整数はどれも1の倍数なので、1は答えに何も寄与しません
    4. 2と1と1の最小公倍数は2です
    5. 1/2は1/2のまま、2は4/2に、3は6/2になります

    4/2と6/2は意図したもので、約分の失敗ではありません。このページは「共通の分母にそろえた分数」のページで、その行はどれも分母をまとっていなければなりません。裸の2として印字された行は、何もされずに残った行に見えてしまうからです。値はどちらでも変わりません。4/2は2です。このページで、出力が意図的に約分されていないように見える唯一の場所です

  4. 上限近く：「1/1000」と「2/999983」

    1. 1,000は2³×5³、999,983は素数なので、2つの分母は何も共有しません
    2. 共有するものが無いときの最小公倍数は積です。1,000×999,983＝999,983,000
    3. 1/1,000は999,983/999,983,000になります。999,983,000÷1,000＝999,983だからです
    4. 2/999,983は2,000/999,983,000になります。999,983,000÷999,983＝1,000で、2×1,000＝2,000だからです

    素数を共有しない2つの分母は、その組に対して答えが最も大きくなる場合で、この例はページが止まる上限のすぐ下にあります。ここでは分子が正確なままです。999,983は6桁の値で、機械が正確に保持できる範囲に収まっています。しかし分子がもっと大きい分数だと積がその範囲を越えるので、ページは丸めた書き直しを印字せず、ある分母より先を拒否します

適用限界

各分数は分子/分母の形で書き、どちらの数も1から1,000,000までの整数です。個数は2個から10個までです。小数は変換せずに拒否します。0.75は分数として書かれた分数ではなく、3/4に直すのは書いた人の意図を推測することになるからです。負号は分子の前にだけ付けられます。3/-4は拒否します。分数の符号は1か所に属するもので、ページが代わりに選ぶことはしません。分母が0のものは拒否します。何も0個には分けられないからです。上限は1つだけで、それは入力ではなく答えに掛かります。最小公分母は1,000,000,000以下でなければならず、それを越えるとページは書き直した分数を印字せずに拒否します。書き直した分子はそれぞれ、元の分子に「答え÷その分母」を掛けたものなので、大きな共通の分母と大きな分子が掛かると正確でなくなるからです。不正確な書き直しは、ほかの行と見分けが付きません。分数は2個が最小です。1個では分母を共有する相手がいません。同じ分数を並べても何も変わらず、ほかの分母の倍数になっている分母は単に冗長です。下の参考表は1/2、2/3、3/4に固定されていて入力には従いません。入力への答えは上のパネルが出し、表は手順と3行の書き直しを示します。答えは正確で、丸めません。

よくある質問

公分母と最小公分母は何が違うのですか
分母すべてが割り切れる数はどれも公分母で、そのうち最小のものが最小公分母です。4、6、10なら60も120も公分母で、最小は60です。手で計算する価値があるのは最小のものだけです。大きいほうを取ると書き直した分数の数がすべて大きくなり、数の大きいところで計算間違いが起きるからです。このページは常に最小のものを返します
分母を読む前に約分するのはなぜですか
同じ数である2つの分数が、違う分母を持てるからです。6/8と3/4は等しいのに、8から共通の分母を組み立てると正しい12ではなく24になります。その間違いは明らかに間違いには見えません。24はそれらの分数のれっきとした公分母だからです。だからこのページはどの分数も先に最簡にし、上の例がその場合を押さえています
最小公分母と最小公倍数はどう関係していますか
同じ計算を違う入力に当てたものです。約分した分数の分母を取ってその最小公倍数を求めれば、それが最小公分母です。このページの2つが一致するのはそのためで、4、6、10の最小公倍数は60であり、それらを分母に持つ分数の組の最小公分母も60です。分子は答えに一切入りません
整数が分母を付けて返ってくるのはなぜですか
入力の整数は分母1の分数として読まれ、このページの出力列は「共通の分母にそろえた分数」だからです。その行はどれもその分母をまとわなければなりません。答えが2のとき2は4/2になりますが、それは共有の分母の上に書いた同じ値であって、約分の間違いではありません。このページで、出力が意図的に約分されていないように見える唯一の場合です
答えは最小でいくつになりますか
ほかの分母がすべてそれを割り切るときの、いちばん大きい約分後の分母です。1/2、1/4、3/4なら答えは4です。2は4を割り切り、4はそれ自身だからです。いちばん大きい分母より小さくなることはありません。答えはどの分母の倍数でもなければならず、ある数の倍数がその数より小さいことはないからです
分子は答えを変えられますか
いいえ。最小公分母は分母だけから計算され、1/4と3/4は同じものになります。分子が現れるのは書き直した分数のほうで、そこでそれぞれに「答え÷その分母」が掛かります。ですから行の内容は変わりますが、1つの全体を何個に切るかは変わりません

参考文献

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