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最小公倍数計算

計算結果

180

最小公倍数

最初の4つの公倍数
180, 360, 540, 720

最小公倍数とは、いくつかの数のどれでも割り切れる最小の整数のことです。12、18、30なら180です。180は12が15個、18が10個、30が6個で、これより小さい数では3つすべてには合いません。このページは最初の4つの公倍数も印字します。最小のものだけでは確かめようがないからです。180がどの数の倍数でもありながら最小でない可能性はあり、180、360、540、720と順に並んでいるのを見て初めて、180より下が抜けていないと分かります。そこへ至る道は3つあります。それぞれの数の倍数を並べ、共通して現れる最初の数を取るのが下の表の方法で、いちばん分かりやすく、いちばん遅いやり方です。素因数分解のほうが速く、各数を素数の積で書いて、どれかに現れる素数をすべていちばん高い冪で残します。12は2²×3、18は2×3²、30は2×3×5なので、必要な素数は2²、3²、5で、4×9×5が180です。最大公約数との違いに注意してください。あちらは共有する素数のいちばん低い冪を残しますが、このページは現れた素数のすべてをいちばん高い冪で残します。3つ目の道は、先に最大公約数をくくり出して掛けるやり方です。2つの数なら、最小公倍数と最大公約数の積はもとの2数の積に等しいので、4×6は24、4と6の最大公約数は2で、24÷2＝12になります。この近道は2つの数では正確ですが、3つ以上では成り立たず、よくある間違いの元です。このページは代わりに2つずつ畳み込むので、10個でも正しい答えを出します。互いに素な数は簡単な場合です。7、11、13は素数を1つも共有しないので何も約せず、答えは積の1,001です。公倍数は分数を足したり比べたりするのに必要です。1/12と1/18はどちらも36の上に載せて初めて足せます。36がこの2つの最小公倍数で、分数の組に対して同じ数を計算するのが共通の分母のページです。

4、6、8の倍数を並べた表——3つの列すべてに現れる最初の数が答えです

n4 × n6 × n8 × n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

各列を上から順に追い、3つの列すべてに同じ数が現れる最初の場所を探します。4の列では6番目、6の列では4番目、8の列では3番目に24が現れるので、4、6、8の最小公倍数は24です。この読み方自体がこの方法であり、表が結果ではなく梯子になっている理由でもあります。3つの列が同じ行番号でそろうわけではないことに注意してください。だから表は決まった行数ではなく、どの列にも現れる数が出るまで作らなければなりません。その前のどの行でも3つがそろわないことも見て取れます。12は4と6の列に、16は4と8の列に現れますが、どちらも行き止まりです。持ち帰る価値があるのはここです。公倍数を作るのは簡単で、問われているのは最小のもののほうだからです。表は4、6、8に固定されていて入力には従わず、24がそれより前に来るので8行で止まります。

公式

12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²、30 = 2 × 3 × 5 ⇒ lcm(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180、公倍数：180, 360, 540, 720

12, 18, 30
扱う数で、2個から10個まで、それぞれ1から1,000,000までの整数です。空白・コンマ・セミコロンのどれでも区切れ、12 18 30と12, 18, 30は同じ入力です。0、負の数、小数は拒否します。倍数は数え上げの主張であり、並んだ数はどれもそれを持たなければならないからです
2² × 3² × 5
必要な素数で、それぞれ並び全体でいちばん高い冪を取ります。2²は12から、3²は18から、5は30からです。いちばん低い冪ではなく高い冪を取ることが最大公約数との分かれ目で、だからこの数は常にいちばん大きい入力以上になります
180
答えであり、最初の公倍数です。並んだ数のどれにとっても倍数で、これより小さい数はそうではありません。「最小」という言葉の中身はそれだけです
180, 360, 540, 720
最初の4つの公倍数で、答えを確かめられるように印字されます。答えの1倍、2倍、3倍、4倍で、間隔は答えそのものです。これより小さい公倍数があるなら180より下に来なければならず、並びはそこから始まっていることを示しています
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
3つ以上の数をどう扱うかです。2つずつ、途中の答えを次の数へ畳み込んでいきます。最大公約数のページと同じ畳み込みで、上の「掛けて割る」近道をここで使わない理由でもあります。あの近道は2つの数でしか正確ではありません
1000000000000
入力ではなく答えに掛かる上限です。6桁の数を10個並べると、機械が正確に保持できる範囲をはるかに越える答えに届きます。そして不正確な答えはここではまったく普通に見えてしまいます。これを越えるとページは、ほぼ正しい何かを印字せずに拒否します

分数を足したり比べたりするときが、公倍数の出番です。1/12と1/18はそのままでは足せず、どちらも36の上に書き直します。36がこの2つの最小公倍数です。公倍数ならどれでも構いませんが、最小のものは数を小さく保つので、最初に教わるのはそれです。和の分母はまさにこの量で、共通の分母のページは同じ計算を分数の組に当てたものです。算数の外での日常的な姿は予定の重なりです。12日ごとと18日ごとに繰り返す出来事は36日後にまた重なり、3つの点滅がそろうのは3つの最小公倍数の後です。「次はいつ重なるのか」という問いの答えは、いつでもこの倍数です。歯車の歯も同じで、かみ合いの模様は両方の歯車が整数回転した後に繰り返します。授業では倍数が直接問われ、下の表が期待される途中式です。それぞれの倍数を、どの列にも現れる数が出るまで並べます。素数を共有しない2つの数は簡単な場合で、倍数はそのまま積になります。それに気づけば計算そのものが要りません

計算例

  1. 12、18、30の最小公倍数

    1. 12の倍数：12、24、36、48、60、72、84、96、108、120、…、180
    2. 18の倍数：18、36、54、72、90、108、126、144、162、180
    3. 30の倍数：30、60、90、120、150、180
    4. 3つの並びすべてに現れる最初の数は180です
    5. 素因数分解では、2²が12から、3²が18から、5が30から出るので、4×9×5＝180

    既定の入力です。36は12と18の両方の倍数ですが30の倍数ではなく、60は12と30の倍数ですが18の倍数ではありません。答えは並んだ数のすべてを満たさなければならず、大半では足りません。どちらの道でも一致し、並びが長くなりそうなときは素因数分解の道を使います

  2. 2つの数：4と6

    1. 4の倍数：4、8、12、16、20、24
    2. 6の倍数：6、12、18、24
    3. 共通して現れる最初の数は12です
    4. 積の規則で検算します。4×6＝24で、4と6の最大公約数は2なので、24÷2＝12

    積の規則が成り立つのは2つの数の場合だけで、上の検算を一度手でやっておく価値があります。3つ以上でなぜ通用しなくなるかが見えるからです。4、6、9では積が216なのに対答えは36で、4と6だけの公約数で割っても3つ目の数ぶんを直せません。このページは2つずつ畳み込むので、これに引っかかりません

  3. 互いに素な数：7、11、13

    1. 7、11、13はどれも素数なので、どの2つも約数を共有しません
    2. 積の中で何も約せないので、最小公倍数は7×11×13です
    3. 7×11＝77で、77×13＝1,001
    4. 最初の4つの公倍数は1,001ずつ進みます

    素数を1つも共有しないときは答えがそのまま積になり、答えがそこまで大きくなるのはこの場合だけです。1,001は別の理由でなじみのある数です。7×11×13と分解でき、3桁の繰り返しを見抜く技が成り立つのはまさにそのためです。ページはほかと同じように扱います

  4. ある数がほかを割り切る並び：6、8、12

    1. 12は6の倍数なので、6は12がすでに要求している以上のものを何も足しません
    2. 8の倍数：8、16、24
    3. 12の倍数：12、24
    4. 共通して現れる最初の数は24で、答えはいちばん大きい入力の倍数ではありません

    答えは入力した数のどれかである必要はありません。最大公約数とは逆で、あちらは常にいちばん小さい入力の約数になります。ここでは答えの24が並んだどの数よりも大きくなります。公倍数は、それらすべてが割り込める数でなければならないからです。6を落としても何も変わりません。12が6の要求する素数をすでにすべて持っているので、畳み込みは答えを動かしません

適用限界

各数は1から1,000,000までの整数で、個数は2個から10個までです。入力の上限はそこですが、実際に効く上限は答えの側にあります。最小公倍数は1,000,000,000,000以下でなければならず、大きな数を10個並べると入力の範囲を使い切るよりずっと早くそれを越えます。上限を越えるとページは答えを印字せずに拒否します。それほど大きな数は正確に保持できず、普通の結果の顔をして戻ってくるからです。0と負の数は拒否します。どんな整数も0の倍数であるというのは役に立つ主張ではなく、最小公倍数は正の数について定義されるからです。小数と分数は丸めずに拒否します。理由は約数のページと同じです。区切りは空白・コンマ・セミコロンで、混ぜても構いません。同じ数を繰り返しても何も変わらず、同じ並びの中でほかの数を割り切る数は単に冗長です。下の参考表は4、6、8に固定されていて入力には従いません。入力への答えは上のパネルが出し、表は答えの読み取り方を示します。答えそのものは常に正確で、丸めません。

よくある質問

最小公倍数は手でどう求めますか
それぞれの数の倍数を、どの並びにも同じ値が現れるまで書き出します。12、18、30なら180で、12の15番目、18の10番目、30の6番目の倍数です。速いのは素因数分解で、並びのどこかに現れる素数をすべて最高の冪で残します。この3つなら2²、3²、5で、180になります。どちらの道も上の算例に示してあります
最小公倍数と最大公約数は何が違うのですか
最大公約数は入力すべてを割り切るいちばん大きい数で、最小公倍数は入力すべてが割り切るいちばん小さい数です。公約数はいちばん小さい入力より大きくなることはなく、公倍数はいちばん大きい入力より小さくなることはありません。素因数分解で言えば違いは一言で、公約数は共有する素数のいちばん低い冪を残し、公倍数は現れる素数のすべてをいちばん高い冪で残します
代わりに数を掛け合わせてもよいのですか
公倍数にはなりますが、最小になることはめったにありません。2つの数なら、積は最小公倍数と最大公約数の積に等しいという正確な規則があります。4と6なら積は24、公約数は2なので答えは12です。3つ以上ではこの規則は成り立たず、だからこのページは全部を掛け合わせず2つずつ畳み込みます
大きな答えを拒否するのはなぜですか
ある大きさを越えると機械が整数を正確に保持できなくなり、それほど大きな答えはまったく普通の顔をして丸められて戻ってくるからです。入力はそれぞれ1,000,000までですが、答えはそこからはるかに大きくなり得ます。6桁の数を10個並べれば莫大な積になります。だからページは答えにも上限を当てて確かめ、ほぼ正しい何かを印字せずに拒否します
互いに素な2つの数の最小公倍数はいくつですか
積になります。何も約せないからです。7と11は互いに素なので、最小公倍数は77です。互いに素とは2つの数が素数を1つも共有しないことで、並びの中の各素数の最高冪がその素数そのものになります。連続する整数は常に互いに素で、素数とその倍数でない数との組も同じです
最小公倍数はどこで使われますか
分数を足したり比べたりするには共通の分母が要り、その最小のものがこの量です。1/12と1/18はどちらも36の上に書き直します。算数の外では、2つの周期で繰り返すものは最小公倍数の後にまたそろいます。12日ごとと18日ごとの出来事は36日後に重なり、歯車の歯は歯数の最小公倍数の後に同じかみ合い方へ戻ります

参考文献

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