IRR計算

−初期投資 + 第1期のキャッシュフロー ÷ (1 + r) + 第2期のキャッシュフロー ÷ (1 + r)^2 + … + 第n期のキャッシュフロー ÷ (1 + r)^n = 0となるrを求める。期間が3つ以上あるとrについて代数的に解けないので、正味現在価値が小数第2位までゼロになるまで区間を狭めて求める。このrが内部収益率であり、割引率はそれとは別に、その案件が基準を満たすかどうかを決める。

初期投資

その案件が今日いくらかかるか、始める時点の額です。正の数として入力し、式の中では引かれます。マイナスのキャッシュフローとして書かないのは、符号の約束を一覧に埋めずに見えるようにしておくためです。

キャッシュフロー

戻ってくる額を期ごとに、空白で区切って並べたものです。最初の項目は今ではなく1期先です。0日目に受け取るお金は初期投資からの控除に入ります。期は月でも年でもかまいませんが、割引率も同じ単位で表してください。

割引率

このページでは基準率です。お金が自分にいくらかかるか、あるいは同じリスクで他からいくら取れるかです。内部収益率はこれによってまったく変わりません。この案件が基準を超えるかどうかを決めるので、率を答えに変える数です。

正味現在価値

将来の受け取りをすべて自分の率で割り引き、費用を引いたあとで、その案件が今日いくらの値打ちかです。正なら基準を上回っており、内部収益率はこの数がゼロを横切る率です。

内部収益率

正味現在価値をゼロにする割引率を割合で表したものです。キャッシュフローだけの性質であり、同じ案件はどの基準率を使っていても同じ内部収益率を持ちます。2つの出力が何も食い違っていないのに違う助言をしているように見えるのは、まさにそのためです。

案件をほかの案件ではなく資本コストと比べたいときに使います。資本予算の議論はたいていそこから始まります。率は話しやすく、この案件は22パーセントを返し、自分の資金は8パーセントで調達できる、という形になります。いくら投資するかを知らなくても済むので、長い候補リストの最初のふるいとしても働きます。できないことが3つあります。規模について何も言いません。1,000の投資に200パーセントを返す案件と、100万に25パーセントを返す案件が同じ内部収益率を持つことがあり、どちらを選ぶべきかを教えるのは正味現在価値だけです。受け取りはすべて最後まで同じ率で再投資されると仮定しており、非常に高い率では強い仮定になります。算術は正しくても、そこに付く物語は楽観的です。そしてキャッシュフローの符号の変化が1回だけであることを必要とします。支出があって、そのあと受け取りが続く形です。途中の期に費用が入ると方程式は複数の解を持ちうるので、このページは黙って片方の根を返さず、その入力を拒否します。

1. 100,000を投資し、6年で205,000が戻る、資金コスト8パーセント

   1. 受け取りの合計は205,000で費用100,000に対してですが、この比較はお金がいつ入るかを無視している
   2. 各年を8パーセントで割り引くと現在価値は153,968.13となり、費用100,000に対して正味現在価値は53,968.13
   3. 正味現在価値をゼロにする率を解くと22.49パーセント
   4. 22.49は8パーセントの基準を上回るので、判定は採用

   2つの答えは並べて読んでください。内部収益率はこの案件が22.49パーセントまでの資本コストに耐えられると言い、正味現在価値は8パーセントなら費用より53,968.13だけ値打ちがあると言っています。同じ判断を、片方は率で、片方は金額で表したものです。3つ目の205,000は、割引を省きたい人が投資額から引けるように置いてあります。費用より105,000多く、基準率がゼロなら正味現在価値はちょうどその額になります。

2. 受け取りが1回：10,000を入れて1期後に12,000

   1. 1期だけなら閉じた式がある：12,000 ÷ 10,000 − 1 = 20パーセント
   2. 12,000を20パーセントで割り引くと10,000になり、費用とちょうど同じ
   3. 正味現在価値：10,000 − 10,000 = 0
   4. 判定は損益分岐

   この例は、このページが自分の求解器を突き合わせる相手です。手で答えを出せるからです。また、判定が妙に見える唯一の場所でもあります。正味現在価値は0.00と表示され、バッジは不採用ではなく損益分岐と言います。小数第2位でゼロに丸まるものはすべて損益分岐として報告します。0.00の正味現在価値の隣に不採用と印字されると計算違いに見えるからであり、読者がバッジを突き合わせる相手は表示だからです。

3. 同じ案件を25パーセントの基準率で判定すると

   1. 内部収益率は20パーセントで変わらない。基準率には依存しない
   2. 12,000を25パーセントで割り引くと9,600
   3. 正味現在価値：9,600 − 10,000 = −400
   4. 20パーセントは25パーセントの基準を下回るので、判定は不採用に反転

   同じ案件を2回動かして1つ目の出力が同じで判定が反対になる、というのが、それぞれの数が何のためのものかを見るいちばん明快な方法です。内部収益率は案件を描写し、基準率はあなたを描写します。片方を変えれば、案件について何も変わっていないのに判定が反転しえます。

4. 価値を壊す案件：10,000を入れて5,000が戻る

   1. これも1期なので閉じた式が使える：5,000 ÷ 10,000 − 1 = −50パーセント
   2. まったく割り引かなくても、受け取りは費用に5,000届かない
   3. 基準率ゼロでの正味現在価値：5,000 − 10,000 = −5,000
   4. 判定は不採用で、マイナスの率が正直な記述

   マイナスの内部収益率は誤りではなく実際の答えです。マイナスの資本コストで資金調達できて初めて損益分岐になる、つまりできない、と言っています。この例が求解器の下限を決めます。債券利回りの求解器からゼロから100パーセントの範囲を借りてきた版なら、ここで−50を返さずエラーを出すでしょう。

5. 10,000を入れて、5年後に1だけ戻る

   1. 最初の4期がゼロでも合法。現金は入らないが、出てもいかない
   2. 式は1 ÷ (1+r)^5 = 10,000 ÷ 10,000となり、(1+r)^5 = 0.0001
   3. 解くとr = −84.15パーセント。受け取りが小さいだけでゼロではないので−100にはならない
   4. 基準率ゼロでの正味現在価値：1 − 10,000 = −9,999

   正当な入力でも答えはゼロのはるか下へ押し出されることがあり、このページはそこまで届かなければ、完全に定義された数の組に対して失敗を報告することになります。区別しておく価値があります。この案件の内部収益率はマイナス84パーセントですが、まったく何も返さない案件には内部収益率がありません。何もないものの価値を費用と等しくする率は存在しないからです。

内部収益率は率であり、率は規模を隠します。2つの案件が同じ率を持ちながら、賭けられている金額が千倍違うことがあるので、この数は決定ではなくふるいです。候補が基準を超えたら、順位を付けるのは正味現在価値です。また、受け取りは案件の終わりまで内部収益率そのままで再投資されると仮定しており、率が控えめなら妥当な記述ですが、200パーセントなら無理があります。算術は成り立ちますが、その間の1つ1つでその率が稼げるという解釈は成り立ちません。キャッシュフローの符号はちょうど1回だけ変化しなければなりません。支出のあとに受け取りが続く形です。最終年に撤去費用がある案件は数学的に妥当な率を2つ持ちえ、このページはどちらかを選ぶのではなくその入力を拒否します。率はリスク、税、インフレについて調整されておらず、自分で与える割引率がそれらの仮定をすべて1人で背負っています。

内部収益率とは何か

その案件の将来のキャッシュフローがちょうど案件の費用と同じ価値になる割引率、つまり正味現在価値がゼロになる率です。その率より上なら案件は価値を生み、下なら価値を壊します。既定の数では、100,000を投資して6年で205,000を受け取ると内部収益率は22.49パーセントになり、その案件は22.49パーセントまでの資本コストに耐えられると言えます。

正味現在価値とはどう違うのか

同じ方程式の未知数が違うだけです。正味現在価値は割引率を与えられて案件がいくらの値打ちかを教え、内部収益率は値をゼロとして、それを実現する割引率を教えます。1つの方程式なので両者が食い違うことはありえません。基準率を上回る率と正の正味現在価値は同じ文です。違うのは動かす前に何を知っていなければならないかで、正味現在価値は資本コストを必要とし、率はそれなしで引用できます。率が案件をまたいで比べられ、正味現在価値が順位付けに使われるのはそのためです。

基準率には何を使えばよいのか

この案件のために資金が実際にいくらかかるか、それです。負債で調達するなら借入金利、そうでなければ同じ金額を同じくらいのリスクで回したときに期待できる利回り、規則が要求する場面では公表された率です。このページが選んでくれることはなく、最も恣意的になりやすい入力です。役割は同じ案件を2回動かせば分かります。20パーセントの基準率なら20パーセントを返す案件は損益分岐し、25パーセントならまったく同じ案件が不採用になります。動いたのは基準だけです。

内部収益率が公式で解かれないのはなぜか

公式がないからです。受け取りが1回なら閉じた式がありますが、2期目以降はその次数の多項式になり、どのように移項しても率を単独で取り出せません。代わりに計算機は区間を狭めます。正味現在価値が正になる率と負になる率を見つけ、その間隔を繰り返し半分にして、値が小数第2位までゼロになるまで詰めます。マイナス84パーセントを返す案件が範囲に入っていなければならないので、探索範囲に気を使っているのも同じ理由です。

キャッシュフローにマイナスの数を入れてはいけないのはなぜか

答えが一意でなくなるからです。支出のあとに受け取りが続く形なら、率が上がるにつれて正味現在価値は単調に下がるので、ゼロを横切る率はちょうど1つに定まり、探せば必ず見つかります。途中の期に費用を入れると、たとえば5年目の解体費用があると、曲線が折り返してゼロを2度横切り、数学的に妥当な内部収益率が2つできます。このページはマイナスのキャッシュフローを拒否してそう表示します。もう片方の根が存在することを画面上に何も示さないまま、どちらかを返すことはしません。

内部収益率はマイナスになりうるか

なりますし、その案件が使うお金を返していないという意味です。10,000を投資して5,000しか戻らなければマイナス50パーセントで、資金コストがマイナスでなければ損益分岐しない、ということです。このページがゼロより下も探すのはそのためです。債券利回りの求解器が妥当に行うようにゼロから始まる範囲を借りてきた実装なら、このごくふつうの数の組でエラーを報告してしまいます。

内部収益率が間違った道具になるのはいつか

案件の規模や期間が違うとき、そしてその間の資金をどうするかで答えが変わるときです。率は規模が見えないので、派手な率の小さな案件が、金額ではるかに多くの価値を生む大きな案件を上回って見えることがあります。資本予算が率と正味現在価値を組にして使い、率を単独で使わないのはそのためです。また受け取りが最後まで同じ率で再投資されると黙って仮定しており、8パーセントなら妥当な記述ですが200パーセントでは願望です。どちらかが問題になるなら、正味現在価値で順位を付けて率はふるいとして使ってください。

• Circular A-94, Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs (revised November 9, 2023) — このページの判定が従っている決定規則を述べた第5a節。割り引いた純便益が正の案件は一般に厚生を最も高め優先され、負の案件は一般に避けるべきとしている — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)
• Compound Interest — 割り引きが逆向きに回している成長の用語集の定義。現在価値の背後にある算術のすべて — Investor.gov, U.S. Securities and Exchange Commission (United States)