フックの法則計算

ばねの力 = ばね定数 × 変位

k

ばね定数、つまり剛性で、N/mで入れます。1 m伸ばすのに必要な力です。ノック式ペンはおよそ10 N/m、ばね秤は100 N/m、自動車のサスペンションばねは30 N/mm、工業用のダイばねは100 kN/mです。同じ欄にkN/mとN/mmとlbf/inも入り、下の表は1つの剛性をそのうち3通りで同時に書いています。正の値でなければなりません。剛性0はばねではありません

x

変位で、cmで入れます。自然長からどれだけ動かしたかです。同じ欄にmとmmとinも入ります。符号ではなく大きさなので、圧縮と引張は区別されません。10 cm引いたばねと10 cm押したばねは、逆向きに同じ10 Nで押し返します。0は合法な値で、ばねが静止していることを意味します

F

ばねの力で、ニュートン・キロニュートン・重量ポンド・重量キログラムで出ます。ばねが及ぼす力であり、その位置に留めておくためにあなたが加える力でもあります。この欄を空にすれば残り2つから解かれ、どれか1つと一緒に入れれば3つ目が解かれます

エネルギーではなく目盛りが欲しいときに使います。ばね秤が一定の伸びでどれだけ強く引くか、あるばねがドアを開けたまま支えるのに十分な硬さか、弓の弦が引ききったときに弓身にどれだけの力をかけているか、既知のコーナー荷重でサスペンションばねがどれだけ縮むか、決まった行程で決まった力を出すにはばね定数がいくつでなければならないか。最後のものがこのページの得意な向きで、多くの電卓はそうではありません。3つの欄のうち2つを空にでき、どれを埋めるかで何が解かれるかが決まります。身につけておくべき習慣が2つあり、単位と範囲に関するものです。単位については、入力欄は既定でセンチメートルなのに式が要求するのはメートルなので、ページは内部で換算します。ただし剛性は供給元のデータシートからN/mmやlbf/inで来ることがあり、それらはN/mとそれぞれ1,000倍と175倍違います。下の表がまさにそのためにあります。範囲については、フックの法則はばねの弾性限界までしか成り立ちません。実在のばねはどこかで直線から外れ、その点を越えて引いたばねはこのページの予測より小さな力を返し、元の長さにも戻りません。同じばねを伸ばすときに蓄えられるエネルギーは弾性位置エネルギーのページで扱っていて、入力2つもばねも同じです。

1. 既定のばねを10 cm引いた場合

   1. 剛性は100 N/m、変位は10 cmで、式が要求するメートルに直すと0.1 mです
   2. ばねの力：100 × 0.1 = 10 N
   3. 残り2行は入力をそのまま返します。解く必要がなかったからです
   4. 同じばねに1 kgの質量をつるす場合と比べられます。9.81 Nで引かれ、9.81 cm伸びます

   10 Nは水1リットルの重さで、100 N/mがどれくらいかを掴むにはこの比較がいちばん速い方法です。1リットルのペットボトルをつるすと、100 gごとにおよそ1 cm伸びます。この行からもう1つ持ち帰るべきは、通り抜けた単位の罠です。10 cmはかける前に0.1 mにしなければならず、逆にやると1,000 N、つまり100倍の答えになります。このページでいちばん多い計算間違いがこれで、入力欄がセンチメートル表示なのに式がそうでない理由でもあります。

2. 力が分かっていて剛性が分からない場合：10 cmで25 N

   1. 剛性の欄を空にして、残り2つを入れます。変位10 cm、力25 N
   2. F = kxをkについて解きます：k = F ÷ x
   3. 先に単位を直します：10 cm = 0.1 m
   4. 剛性：25 ÷ 0.1 = 250 N/m

   このページが存在する理由がこの向きです。力と距離はどちらもキッチンスケールと定規で測れますが、剛性は直接測れない数です。だからばねを引いて力を読むことが、実際にこの定数を求める方法になります。同じ計算をヤード・ポンド法でやったものが、自動車のカタログに並ぶlbf/inのばねレートです。25 lbfが10インチなら2.5 lbf/inになります。埋めたままにした2つの欄が変位と力で、それでも3つの量すべてが解けていることに注目してください。F = kxの変数は3つで、そのうち2つが決まれば3つ目も決まります。

3. ばねと力が分かっている場合：どれだけ動くか

   1. 剛性は1,000 N/m。自動車のサスペンションばねはこのおよそ30倍、工業用のダイばねはおよそ100倍です
   2. F = kxをxについて解きます：x = F ÷ k
   3. 変位：30 ÷ 1,000 = 0.03 m
   4. 表示用に戻すと3 cm

   答えはメートルで出て、ページはセンチメートルで表示します。最初の例が逆方向にやった換算です。動きの小ささに注目する価値があります。30 N、つまり水3リットルの重さで、このばねは3 cmしか動きません。同じ30 Nでも最初の2例の100 N/mのばねなら30 cm動きます。剛性とはまさにその比で、硬いばねが小さな荷重でもびくともしない感じがし、柔らかいばねが大きな荷重で底をつくのはそのためです。どちらが優れているということはなく、機構がどれだけの行程を持てるかで決まります。

フックの法則は線形近似で、実在のばねはいつかそれに従わなくなります。弾性限界を超えると、力はkxよりゆっくりしか増えず、ばねは元の長さに戻りません。だからデータシートの剛性から出した答えは、定格の行程の中でだけ有効です。ダイばねなら数ミリ、弓の弦なら全長のかなりの割合になります。コイルばねも範囲内で完全に線形ではありません。圧縮するにつれて端の巻きが密着していくので、圧縮しきるに近づくほど実効的な剛性が上がりますし、伸ばしすぎれば完全にまっすぐになってしまいます。このページはばねを質量ゼロ・摩擦ゼロとして扱っており、ばね自体が重い場合やガイドロッドの上を滑る場合には当てはまりません。圧縮と引張、また向きの違いも区別していません。モデルが本当に区別しないからです。その違いが効く用途なら、この式の出番ではありません。入力欄の使い方にも実務的な罠があります。最初の2つの欄は埋まった状態で始まるので、剛性を解きたい人はどちらかを先に消す必要があります。既定値の上から力を打ち込むと、ページは黙って新しい値を使わず、数が食い違っていると報告します。これは意図した動作ですが、実際に驚かれます。そして答えにエネルギーは入っていません。ここまで伸ばすのにした仕事は½kx²で、力が最後まで最終値だったわけではないので、F × xより大きくなります。

フックの法則の公式は何ですか

F = kx、つまりばねの力はばね定数かける変位です。100 N/mのばねを10 cm（0.1 m）引くと、100 × 0.1 = 10 Nで引き戻します。関係は線形なので、変位が2倍なら力も2倍で、引く向きでも押す向きでも成り立ちます。だからばねは秤に使えます。ばねの計算で有名な2乗は、力ではなく蓄えられるエネルギー½kx²のほうについています。

ばね定数が直接測れないときはどう求めますか

分かっているおもりをつるし、伸びを測って割ります。2 kgのおもりなら力は19.62 Nです。ばねが4 cm伸びたなら、k = 19.62 ÷ 0.04 = 490.5 N/mです。注意が2つあります。自然長と荷重をかけた長さの間で測ること（ばねの上端からではありません）。そして揺れている最中ではなく、落ち着いてから読むことです。持っているおもりでは目視できるほど伸びない硬いばねなら、おもりを増やすかてこを使います。計算は同じで、4 cmの伸びに対する1 mmの測定誤差が答えの限界になります。

どの2つの欄を埋めればよいですか

3つのうちどれでも2つで、ページが3つ目を解きます。剛性と変位なら力が出て、これがふつうの向きです。変位と力なら剛性が出て、ばねレートはこうして測ります。剛性と力なら行程が出て、機構の寸法を決めるときに要るのはこれです。3つとも埋めるのは、互いに整合するか確かめたいときだけにしてください。食い違えばページはどちらかを選ばず、そう告げます。同じ画面で結果パネルの力と入力欄の力が矛盾するより、エラーを出すほうがましだからです。

N/mとN/mmとlbf/inの違いは何ですか

同じ剛性を3通りに書いたもので、間の倍率は大きな数になります。1 N/mmは1,000 N/mです。力も長さも1,000倍になるからです。1 lbf/inはおよそ175.13 N/mで、きりのよい数にならないのはポンド力もインチもメートル法で定義されていないからです。実務上の帰結として、30 N/mmと書かれたばねは30,000 N/m、つまり3番目の例の1,000 N/mより30倍硬いのであって、30倍柔らかいのではありません。ヤード・ポンド法のカタログから換算せずに写したレートは175倍ずれます。

ばねが圧縮されているか伸びているかは影響しますか

この式には影響しません。F = kxは変位の大きさを使うので、10 cm押し込んだばねも10 cm引いたばねも、同じ大きさで押し返します。向きが逆になるだけです。実在のばねは完全に対称ではありません。コイルばねは巻き方によって圧縮でわずかに違う挙動をすることがありますし、圧縮しすぎると巻き同士が当たって、実質的に剛体になりこの式は当てはまらなくなります。定格の行程の中では、2つの向きを同じものとして扱うのがこのモデルのやり方で、ふつうの用途には十分な精度です。

エネルギーが½kx²で、kx²でないのはなぜですか

ばねを伸ばしている間、力が最終値のままでいるわけではないからです。0から一様に増えるので、行程全体での平均の力は最後の力の半分で、仕事は平均の力かける距離です。それを掛け出すと½kx²になります。三角形の面積が底辺かける高さの半分なのと同じ理由です。このページがその数をあえて出していないのは、ばねに蓄えられるエネルギーは独自の計算と独自の算例を持つ別のページで、1次式の隣に2乗の項を並べると、2つが1つの式から出た2つの結果だと読者に思わせてしまうからです。

• フックの法則：応力とひずみ再訪（College Physics 2e, §16.1）— 線形領域、ばね定数、そして実在のばねが直線から外れる場所 — OpenStax
• フックの法則 — 力と変位の関係、弾性限界、そして定数が物質ではなくばねの性質である理由 — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — ニュートン、重量ポンドとキログラム重の係数、そして固さの入力欄と参考表が使う単位接頭語 — National Institute of Standards and Technology