万有引力計算

万有引力 = G × m₁ × m₂ / r²

G

万有引力定数で、6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²です。物理学で最も精度よく測れていない定数で、推奨値の相対不確かさは2.2 × 10⁻⁵あります。次に精度の悪い定数より4桁以上大きく、このページの答えは末尾の桁が意味を持ちません。どれだけ正確な質量を入力しても、そこは変わりません

m₁

1つ目の物体の質量です。kgで入れ、同じ欄にgとtとlbも入ります。ここで必要なのは質量であって重さではありません。70 kgの人2人は、ただの物質の量が2つあるというだけです。正の値でなければなりません。質量のないものは万有引力を及ぼさないからです

m₂

2つ目の物体の質量です。単位も決まりも同じです。2つの質量は式の中でかけ合わされるので入れ替えがききます。どちらを1つ目と呼んでも答えは変わらず、このページに「どちらがどちらか」を指定する欄がないのはそのためです

r

2つの物体の重心同士の距離で、mで入れます。表面のすき間ではありません。地上400 kmの衛星なら、地球の中心から6,771 kmで、式が欲しいのは後者の数です。km・cm・ft・miも使え、正の値でなければなりません

F

2つの物体が互いに及ぼし合う万有引力です。ニュートンと重量ポンドの両方を科学表記で出します。力は1つであって2つではありません。地球があなたを引く力も、あなたが地球を引く力も687 Nで同じです。2行目は同じ数を単位換算しただけで、2つ目の結果ではありません

2つの質量とその間の距離が分かっていて、引力を知りたいときに使います。月を軌道につなぎとめている力、衛星とそれが回る惑星の間にたらく引力、実験室の2つの分銅の間の万有引力がそもそも測れる大きさなのか（測れません。10⁻⁷ N程度で、だからキャベンディッシュの実験は1798年までかかりました）、そして天体自身の質量と半径をこの式に入れたら表面重力がいくつになるか。最後のものが下の表です。8つの天体の表面重力を同じ式で出してあり、そこに立ったときの体重を決めるのはこの数です。答えを信じる前に確かめるべき点が2つあります。1つ目、rは重心間の距離です。高度を半径のところに入れると力は大きく過大になり、400 kmではおよそ290倍になります。逆に高度を無視して天体の半径だけを使うと12パーセントほど小さく出て、その差は高度とともに広がります。2つ目、この式はそれぞれの物体を点として扱います。球には厳密で、rに比べて小さいものにはよい近似ですが、ほぼ接している2つの物体はこの式の範囲外です。

1. 70 kgの人2人が1 m離れた場合

   1. 質量：70 kgと70 kg、中心間の距離は1 m
   2. 質量の積：70 × 70 = 4,900 kg²
   3. 距離の2乗：1² = 1 m²
   4. 万有引力：6.6743 × 10⁻¹¹ × 4,900 ÷ 1 = 3.2704 × 10⁻⁷ N
   5. 重量ポンド：3.2704 × 10⁻⁷ ÷ 4.4482 = 7.352 × 10⁻⁸ lbf

   1マイクロニュートンの3分の1で、この答えがこの分野全体を実感させます。隣り合って立つ2人は、数十マイクログラムの物質の重さに相当する力で引き合っていて、日常生活ではそれと気づくことがありません。計算が指数から離れないことに注目してください。4,900は4桁しかなく、答えを小さくしているのは10⁻¹¹のほうです。重力が弱いとはそういう意味です。定数が他の数に比べて小さいのではなく、人間が質量として用意できるものに比べて小さいのです。

2. 地球と月

   1. 質量：地球が5.972 × 10²⁴ kg、月が7.342 × 10²² kg
   2. 中心間の距離：384,400 km = 3.844 × 10⁸ m
   3. 質量の積：5.972 × 10²⁴ × 7.342 × 10²² = 4.3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. 距離の2乗：(3.844 × 10⁸)² = 1.4776 × 10¹⁷ m²
   5. 万有引力：6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.3846 × 10⁴⁷ ÷ 1.4776 × 10¹⁷ = 1.980 × 10²⁰ N
   6. 重量ポンド：1.980 × 10²⁰ ÷ 4.4482 = 4.452 × 10¹⁹ lbf

   1.98 × 10²⁰ Nはおよそ200エクサニュートンで、重力は強いと思わせる数です。月ほどの天体を384,400 kmのかなたで毎月曲がらせ続ける力です。前の例と並べると、教訓はすべて指数の中にあります。質量はおよそ10⁴⁴倍、距離はおよそ3.8 × 10⁸倍（2乗すれば1.5 × 10¹⁷倍）、そして力は10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷倍になりました。2つの計算の間で法則は何ひとつ変わっていません。変わったのは、その両側にどれだけの物質があったかだけです。

3. 地球と、その上に立つ70 kgの人

   1. 式が欲しい距離は地球の平均半径で、6,371 km = 6.371 × 10⁶ mです。足元までの距離ではありません
   2. 質量の積：5.972 × 10²⁴ × 70 = 4.1804 × 10²⁶ kg²
   3. 距離の2乗：(6.371 × 10⁶)² = 4.05896 × 10¹³ m²
   4. 万有引力：6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.1804 × 10²⁶ ÷ 4.05896 × 10¹³ = 687.398 N
   5. 重量ポンド：687.398 ÷ 4.4482 = 154.533 lbf

   これは体重計が70 kgと表示するのと同じ687 Nです。体重計は力を測って9.8で割り、質量として表示しているのだと押さえておく価値があります。また、このページで唯一ふつうの表記に落ちる行でもあります。答えが10⁻³と10⁶の間にあるので、6.874 × 10²と書き直さず687.398のままにしています。そしてこの値が少し低いのは意図的です。平均半径を使っているため、赤道に立つ人は極に立つ人より中心から21 km遠く、この1つの数はその2つの平均です。

いちばん大きな制約はモデルではなく定数のほうにあります。Gは有効数字4桁ほどしか分かっていません。CODATAの推奨値は6.67430で、下2桁に15の不確かさ、相対不確かさで2.2 × 10⁻⁵です。物理学で最も精度よく測れていない定数で、次に精度の悪い定数より4桁以上劣ります。したがってこのページの答えは4桁目が飾りです。1.980 × 10²⁰ Nは実際には1.98 × 10²⁰ Nで、質量をより精密に入力しても改善しません。さらにこの式は両方の物体を点として扱うので、球に対してのみ厳密です。他の力は一切考えていないため、2つの天体が実際に軌道にあるのか互いに落ち込んでいるのかは何も言いません。一般相対性理論も無視しており、それは水星の近日点やブラックホールの近くでは重要になります。質量が一定であることも前提にしていて、ロケットや蒸発する彗星では成り立ちません。小さい側でも想定範囲を外れます。1 mm離れた2つの物体は点としてよく表せませんし、2つの原子の間の引力はこの式ではなく化学です。距離の欄が1 mmで止まるのはそのためです。最後に、表の表面重力は平均半径を使い、天体が自転しない完全な球であると仮定しています。だから地球の行は定義値の9.80665 m/s²ではなく9.82 m/s²になります。

万有引力の公式は何ですか

F = G × m₁ × m₂ / r²です。Gは万有引力定数で6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²、2つのmはkg単位の質量、rはm単位の中心間距離です。70 kgの人2人が1 m離れていると、6.6743 × 10⁻¹¹ × 4,900 ÷ 1 = 3.270 × 10⁻⁷ Nになります。分母のr²が逆2乗の法則のもとです。2つの物体を2倍遠ざけると、力は半分ではなく4分の1に落ちます。

2人の間の万有引力がそんなに小さいのはなぜですか

Gそのものが小さいからです。6.6743 × 10⁻¹¹は1より11桁小さい値です。逆向きに働くのは質量だけで、70 kgずつでは質量が足りません。同じ式の片側を惑星にすると指数が反転します。地球と月は1.98 × 10²⁰ Nで引き合っています。この2つの場合で法則は何も違っていません。重力は弱く、そう見せるには惑星1つ分の物質が要るのです。太陽系をまとめている力が、2人の人を引き寄せられないのと同じ力だというのは、そういう意味です。

rは表面の間の距離ですか、中心の間の距離ですか

いつでも中心の間です。地球に立つ人ならrは地球の半径6,371 kmで、0ではありません。高度400 kmの衛星ならrは6,771 kmで、400 kmではありません。高度は表面からの距離なので、半径を足す必要があります。答えを間違えるいちばん多い原因がこれで、誤差の大きさも見ておく価値があります。高度400 kmを半径のところに入れると力はおよそ290倍になり、高度を無視して6,371 kmを使っても12パーセントほど大きく出ます。

表面重力とは何で、ここではどう求めていますか

表面重力とは、その天体が上に立つものに与える加速度で、g = GM/R²で表されます。万有引力の式の2つ目の質量を1に、rをその天体自身の半径にしたものです。このページの表がそれを8つの天体について行っています。月は1.62 m/s²、地球は9.82 m/s²、太陽は274 m/s²です。この数が、そこでの体重を決めます。70 kgの人は地球で687 N、月で113 N、太陽ではおよそ19 kNを必要とします。太陽に着陸できるかという問いが、温度の話より先に片づくのはそのためです。

この計算はどのくらい正確ですか

有効数字4桁ほどで、限界は計算ではなく定数のほうです。Gは物理学で最も精度よく測れていない定数です。推奨値は6.67430で下2桁に15の不確かさ、相対不確かさは2.2 × 10⁻⁵で、次に精度の悪い定数より4桁以上劣ります。したがって1.980 × 10²⁰ Nは1.98 × 10²⁰ Nと読むべきで、質量を10桁まで入れても5桁目の意味のある数字は増えません。むしろ入力のほうが粗いことが多く、地球の質量は10⁵分の1ほどの精度でしか分かっていませんし、ここで使っている値も緯度による半径ではなく平均半径です。

重いほうが強く引くのですか、それとも同じですか

同じです。2つの質量は式の中でかけ合わされるので、あなたが地球を引く力も地球があなたを引く力も、逆向きで同じ687 Nです。地球のほうが強く引くという意味はありません。違うのはその力が何をするかです。687 Nはあなたを9.82 m/s²で加速し、地球を1.15 × 10⁻²² m/s²で加速します。あなたは落ち、惑星は目に見えて動かないのはそのためです。このページに距離が1つ、答えが1つしかなく、力が2つないのも同じ理屈です。

• 万有引力の法則（College Physics 2e, §6.5）— 逆2乗の法則、Gの値、そして最初にそれを測ったキャベンディッシュの実験 — OpenStax
• 万有引力の法則 — 重心間の距離、球対称な天体に対する球殻定理、そして質点近似が成り立つ範囲 — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — 推奨値6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²と、その相対標準不確かさ2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology