楕円計算

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a

長軸の半分、つまり長半径です。このページは長軸の全長を尋ねてそれを半分にします。メジャーが返すのが全長であり、公式は半軸で書くものだと決まっているからです

b

短軸の半分、つまり短半径です。bがaに等しいときこの図形は円になり、面積の式はなじみのあるπr²に畳まれます。rはどちらの半軸でもかまいません

πab

面積です。下の周長と違って厳密な値で、2つの半軸を掛けてπを掛ければ、必要なだけの桁数がそのまま出ます

h

2つの半軸がどれだけ等しくないかの尺度で、差の2乗を和で割ったものです。円なら0、線に近づくほど1に近づき、周長の近似式がこの上に組み立てられています

P

楕円の周長をセンチメートルで表したもの。初等関数で閉じた形に書けないので、これはラマヌジャンの第2近似です。2本の軸が等しいときは厳密で、短軸が0に近づくと少し低く出ます

e = √(1 − b² ÷ a²)

離心率で、0から1までの単位の付かないただの数です。円なら0、平たくなるほど1に近づきます。大きさではなく形だけが問題になるときに天文学者や光学技術者が引用する値です

小数第4位

値の印字幅です。面積は中では厳密、周長は近似、離心率は比なので、円に近い楕円では上のほうの桁が情報のほとんどを担います

測る必要のある楕円形はどれも素直な用途です。丸いつもりが丸くなかったテーブル、楕円の鏡や敷物や洗面器、2本の直線と2つのカーブを軸で記述できる競走路やランニングトラック、楕円の会議テーブル、両端が丸いプール、楕円に切り抜いた額縁やマット。どれも面積は材料の量や塗装の見積もりに要る値で、まわりの長さは額縁や縁飾りや帯金や縁石を買う長さです。造園や建設では、楕円の花壇、曲線の舗装、楕円のパティオ、そして2本のピンの間に糸を張って描く形に使います。地面に楕円を描く標準的な方法がそれです。製造では、楕円の手穴、楕円管、つぶした配管、楕円に抜き型で打ち抜いたものの断面などに使います。離心率が効くのは、同じ面積の2つの楕円がかなり違う形になり得て、片方しか合わない継手があるからです。天文学では離心率が最も重要な数です。惑星の軌道は太陽を1つの焦点とする楕円で、離心率はそれぞれの軌道がどれだけ円に近いかを表し、地球は0.0167、彗星はずっと大きくなります。光学では、望遠鏡の中で光路を折り曲げる楕円平面鏡に使います。鏡の2本の軸は傾ける角度で決まります。医学では血管や腔の断面、放射線治療で使う楕円形の照射野に使います。統計では信頼楕円の形で、2本の軸は2つの標準偏差から来て、面積が被覆率を与えます。教室では、円がより一般的なものの特別な場合であることの実演です。2本の画鋲に輪にした糸をかけ、鉛筆でなぞると、画鋲を離すにつれて形は変わりますが、まわりの長さは輪の長さのまま変わりません。それ自体が注目に値する事実です。日々の計算では、楕円の敷物が床を覆うか、楕円のテーブルクロスにどれだけ布が要るか、楕円の花壇にどれだけの縁石が要るかに答えます。

1. 長軸10・短軸6の楕円

   1. まず両方を半分にする：長半径は5、短半径は3
   2. 面積：π × 5 × 3 = 47.1239平方センチメートル
   3. 離心率：√(1 − 3² ÷ 5²) = √0.64 = 0.8
   4. 周長：h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0.0625となり、π × 8 × 1.0157… = 25.527センチメートル

   このページが開いたときに入っている組で、離心率がちょうど0.8になるように選んであります。手で確かめられる数で、この値が何を意味するかの分かりやすい例です。手順がまず半分にするところから始まるのは、2つの入力欄が隠している一手だからです。10と6を掛けてからπを掛けると面積が4倍になりますが、それがこのページで最も多い間違いです。

2. 同じ楕円を2倍にした20と12

   1. まず両方を半分にする：10と6
   2. 面積：π × 10 × 6 = 188.4956。1つ前の例の4倍
   3. 離心率：√(1 − 36 ÷ 100) = 0.8で、変わらない
   4. 周長：51.054。1つ前の例の2倍

   2本の軸をどちらも2倍にしたもので、3つの値が3通りに反応します。面積は4倍、まわりの長さは2倍にしかならず、離心率はまったく動きません。形は何も変わっておらず、離心率が言っているのはまさにそれです。大きさではなく割合を表す値なので、軌道を比べるときに使われるのです。

3. 見た目は円の10と10

   1. まず両方を半分にする：半軸は5と5
   2. 面積：π × 5 × 5 = 78.5398平方センチメートル
   3. 離心率：√(1 − 25 ÷ 25) = 0
   4. 周長：近似式は π × 10 × 1 = 31.4159センチメートルになる

   2本の軸が等しい楕円は円で、この行は他の2つのページと突き合わせられます。10と10の楕円は半径5の円で、78.5398は円の面積のページがその半径に対して印字する値、31.4159は円周のページと換算のページがどちらも印字する値です。周長の近似式もここでは『近い』のではなく厳密に正しく、それがこの近似が選ばれた2つの理由の1つです。

4. とても平たい楕円の10と2

   1. まず両方を半分にする：5と1
   2. 面積：π × 5 × 1 = 15.708平方センチメートル
   3. 離心率：√(1 − 1 ÷ 25) = 0.9798
   4. 周長：21.01センチメートル。長軸に沿って往復した20より、20分の1ほど長い

   離心率0.9798は上限に近く、この行は離心率が何かの割合ではないことを示します。いちばん長い部分が10しかない形のまわりが21.01あるということは、とても平たい楕円が、潰れていく相手の直線にどれだけわずかしか距離を足さないかを示しています。半分ではなく5パーセントです。

5. 完全に潰した10と0

   1. まず両方を半分にする：5と0
   2. 面積：π × 5 × 0 = 0。図形は線分に潰れており、何も覆わない
   3. 離心率：√(1 − 0 ÷ 25) = 1で、上限
   4. 周長：19.992センチメートル。ここで近似式が唯一の欠点を見せる

   このページが正直に書いている極端な場合です。短軸が0だと楕円は長さ10の線分になり、真のまわりの長さは半軸を往復した20です。近似式は19.992を印字し、0.008だけ足りません。楕円積分の代わりに近似式を使う代償のすべてで、このページのどこよりも大きい誤差です。

このページは2本の軸から楕円を計算するだけで、それ以外はしません。面積や周長から軸を逆に求めることはせず、焦点や焦点距離も出さず、ある点における接線や法線も出さず、図も描きません。2本の軸はどちらも必須で、短いほうは短軸の欄に入れる必要があります。長いほうをそこに入れると、黙って入れ替えるのではなく、長いほうは長軸の欄に属すると伝えます。2つが等しいのは許され、それは円です。どちらも0なのも許され、それは点です。負の値は許されません。周長は近似であって厳密な値ではありません。ラマヌジャンの第2近似で、2本の軸が等しいときは厳密、短軸が0に近づくと少し低く出ます。長軸10・短軸0では真の20に対して19.992です。実際に測れる楕円なら誤差が小数第4位に届くことはなく、またこのページでこれ以上正確な値を出す方法はありません。厳密な周長が楕円積分だからです。離心率に単位はありません。2つの長さの比で、何で測っても同じ値になるからです。横に単位を印字するものがあれば、それは誤りです。2本の軸はセンチメートル、メートル、ミリメートル、インチ、フィートを受け付け、センチメートルで返る2つの出力は、何を入れてもそうなります。換算が入り口で行われるからです。インチで測った面積は長さの倍率の2乗で換算されるので、2.54ではなく6.4516倍になります。小数第4位は表示の幅であって精度の主張ではなく、円に近い楕円では離心率が小さく、上のほうの桁が情報のほとんどを担うことを覚えておく価値があります。回転した楕円は扱えず、真の楕円でない卵形も扱えません。卵の形もスタジアムの形も楕円に見えますが、どちらも楕円ではありません。

2つの入力欄は軸の全長ですか、半分ですか

全長です。メジャーで楕円の端から端まで測ったときに出る数のことです。公式はそれぞれの半分を使うので、このページが代わりに半分にします。入力欄の側で半分にさせるということは、自分の測定値を2で割ってから打ち込んでくださいと言うことになります。計算の中で隠れている手順はこれだけで、だからこそどの算例も最初にそれを名指ししています。

周長が正確でないのはなぜですか

楕円のまわりの長さは、普通の演算で書き下せる公式を持っていないからです。楕円積分というものになっていて、それを避ける方法はありません。このページが使っているのはラマヌジャンの第2近似で、2本の軸が等しいときは厳密、平たくなるほど少し低く出ます。極端な場合、長軸10・短軸0では真の答えが20のところに19.992を印字します。定規で測れるような楕円なら、その差が印字する小数第4位に届くことはありません。

離心率は結局何を教えてくれますか

楕円が円からどれだけ離れているかを、0から1までの1つの数で表したものです。0が完全な円で、平たくなるほど数が大きくなります。2つの長さの比なので単位が付かず、センチメートルで測ってもマイルで測っても同じ値になります。だからこそ、大きさがまるで違って形は違わない惑星の軌道を比べるときに使われる数なのです。

軸を2倍にしたのに面積は変わって離心率が変わらないのはなぜですか

離心率は形を表し、面積は大きさを表していて、2本の軸をどちらも2倍にすると片方しか変わらないからです。どちらも2倍にすると面積は4倍、まわりの長さは2倍にしかならず、離心率はまったく動きません。拡大した楕円は同じ形で、どんな形かを言う数が動く理由はありません。

短いほうの欄に長いほうの測定値を入れてしまいました。入れ替えずにエラーになるのはなぜですか

入れ替えると、画面に出る値が、その値が入っていた欄の上のラベルと食い違うからです。そしてそうなったことをあなたが知る手立てがありません。このページは長いほうの測定値がどちらの欄に属するかを伝え、判断はあなたに残します。1回直せば正しくなり、あなたの測定値のままです。

円の面積のページと同じものですか

2本の軸が等しい楕円ならぴったり一致し、表の1行目がその場合です。10と10の楕円は半径5の円で、面積はどちらのページも78.5398、まわりの長さはどちらも31.4159と印字します。それ以外の楕円では円のページはまったく当てはまりません。円は測る場所が1つしかなく、楕円には2つあるからです。

• Ellipse — 曲線そのものと長半径・短半径、面積πab、そして完全楕円積分としての周長とラマヌジャンの近似式 — Wolfram MathWorld (United States)
• Eccentricity — この数の意味と、円の0から完全に潰れた楕円の1へ向かってどう動くか — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 2本の軸が等しいときに楕円が帰着する場合。このページの表の1行目が、サイト内の他の2つのページと一致する理由でもある — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。円と楕円の認識は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部