円の面積計算
計算結果
面積
円の面積計算ツールは、半径・直径・円周のうち測ってあるものを受け取り、その円が囲む平らな広さを平方センチメートルで返します。式は円周率πに半径の2乗を掛けたもので、学校で「πr²（パイアールの2乗）」として習うあれです。入力欄が3つあるのは、その手前の一歩——入れた値を半径に直す部分——を引き受けているからです。直径は半径の2倍、円周は半径の2π倍なので、3つのうちどれか1つが決まれば残り2つも決まります。だから埋めるのは1つだけです。2つ埋めるのは「より正確」ではなく矛盾です。半径5と直径12は同じ円を表していません。このページはどちらかを黙って選ぶのではなく、そう言います。 測っているものの呼び名にも少し注意が要ります。厳密には、面積は円盤（disk）のもので、円（circle）はその縁の曲線です。ふつうはそう言い分けませんし、このページもふつうの言い方に従っていますが、長さに見える式の答えが平方の単位で返ってくるのは、この区別のためです。 このページでいちばん引っかかりやすいのは単位です。半径はセンチメートル・メートル・ミリメートル・インチ・フィートのどれでも入れられますが、答えはどれを選んでも平方センチメートルです。換算が出口ではなく入口で起きるからです。インチで入れた半径に平方インチを期待すると、およそ6.5倍大きい数が出てきます。持ち帰るべき規則は、面積は長さの換算率の2乗で換算されるというものです。2.54ではなく、その2乗で割るのです。 自分の計算と突き合わせる前に、もう1つ知っておく価値があります。面積は丸めていない半径から計算され、丸めは最後に一度だけです。これが効くのは円周から始めたときで、そのときの半径は誰にも書き下せない数です。円周に20を入れて、表に出ている半径を読み取り、それを2乗してπを掛けると、このページが出す答えとは1桁ずれます。ページが正しく、あなたの計算も正しいのです。違うのは、どちらか一方が途中で丸めたというだけです。
半径から求めた円の面積——直径を並べて
| 半径（cm） | 直径（cm） | 面積（cm²） |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3.1416 |
| 2 | 4 | 12.5664 |
| 3 | 6 | 28.2743 |
| 5 | 10 | 78.5398 |
| 10 | 20 | 314.1593 |
| 20 | 40 | 1256.6371 |
| 0.5 | 1 | 0.7854 |
| 0 | 0 | 0 |
8つの円と3つの列があり、3列目が答えで、最初の2列がその説明です。半径と直径が並んでいるのは、このページが入れた値をそのまま返さないからです。直径を入れたのなら、それが何として読まれたかを見られるのはここだけです。1行目は単位円で、その面積は平方センチメートルで表すと数値としてπになります。知っておくと得で、半径が1のときπr²が何をするのかを思い出す近道でもあります。1行目と2行目は、覚えておく価値のある関係を示す組です。半径が1から2へ、面積が3.1416から12.5664へ、4倍になっています。4行目はこのページが開いたときの組で、同じ円について総覧ページも78.5398と出している行です。半径を2乗する前に丸めていないので、2つのページは最後の桁まで一致します。7行目は半径0.5 cmの円で、面積はπの4分の1です。最後は半径0で、円が点まで縮んだ場合にあたり、面積は欠けた答えではなく本当の0です。
公式
A = πr² r = 直径 ÷ 2 = 円周 ÷ 2π
- π
- すべての円に共通の定数で、およそ3.14159です。円周を直径で割った比として決まる数で、そこから来ているために長さの式にも面積の式にも同じように現れます
- r
- 半径（cm）。直径の半分、または円周を2πで割ったもので、どちらの欄を埋めたかによって決まります
- r²
- 半径を2倍するのではなく、半径自身に掛けたものです。半径を2倍にすると面積は4倍になります。この式でいちばん役に立つ事実で、下の表に2つの行が並んでいるのはこれを示すためです
- 面積
- 円盤が囲む平らな広さ（cm²）。入力がどの単位で入れられても、常に平方センチメートルで返ります
- 円周 ÷ 2π
- 縁に沿って測った値から半径を戻す道です。割り切れない数になるので、2乗し終わるまで丸めずに持ち回ります
- 直径 ÷ 2
- もう1つの入り口で、簡単なほうです。直径が自分で測った数なら、半径はちょうどその半分です
- 小数第4位
- 表示の幅です。円の面積はほとんど終わりのある数にならないので、小数第4位は表示の桁数であって、その値が正確だという主張ではありません
表面を覆う・塗る・切り出す・値段を付ける、丸いものすべてに使えます。いちばん分かりやすいのは塗装とコーティングです。丸いテーブルの天板、タンクのふた、丸い看板、塗装する円盤——どれも面積あたりの単価で見積もられ、その面積がこの式です。次は板から切り出す場合です。鋼板から打ち抜く丸いブランク、円形のガラス板、ガスケットの円盤、丸いテーブルクロス。ここでは面積が「1枚あたりどれだけ板を食うか」を表し、値段はその数で決まります。造園と建築では、丸い花壇、円形のテラス、丸い芝生、柱の断面、円形の池の水面に使います。工学では配管・シャフト・ケーブルの断面積で、流量や許容電流はこれを基準に決まります。直径が2倍の管は断面積が4倍で、この4倍という係数が両方向の人を引っかけます。物理や日常の計算では、圧力を力に、強度を総量に、降水量を水の体積に変えるのがこの面積です。そして教室での使い方——方眼紙に円を描いて中の正方形を数え、πr²と比べる——が、この式をいちばん体に染み込ませます。数えた数は少し小さくなります。縁の正方形が一部だけ円の内側だからで、その差こそ、式の中の無理数定数が何を意味するのかを多くの人が初めて正直に知る瞬間です。
計算例
半径5の円
- 半径を2乗する：5 × 5 = 25
- πを掛ける：25 × 3.14159 = 78.5398
このページが開いたときの組で、総覧ページとこのページをつなぐ行です。半径5の円の面積は、あちらでも78.5398です。途中で何も丸めていないので最後の桁まで一致します。すでに丸めた半径から出した面積なら、そうはなりません。
直径12の円
- 直径を半分にして半径にする：12 ÷ 2 = 6
- 半径を2乗する：6 × 6 = 36
- πを掛ける：36 × 3.14159 = 113.0973
いちばん多い入り方です。丸い物は、中心から縁まで測るより、向こう側まで一直線に測るほうがずっと簡単だからです。このページは半径をそのまま返さないので、12が6として読まれたことを確かめたいときは表の半径の列を見てください。6そのものは載っていませんが、半径3の行の直径が6、半径10の行の直径が20なので、このページが使っている関係はそれで十分に見えます。
円周20の円
- 半径を戻す：20 ÷ (2 × π) = 3.1830988…
- 半径を2乗する：3.1830988 × 3.1830988 = 10.1318311…
- πを掛ける：10.1318311 × 3.14159 = 31.8310
このページが途中で丸めない理由を説明する行です。ここの半径は書き下せません（10 ÷ πです）。だから2乗の間も丸めずに持ち回り、丸めるのは答えだけです。逆にやってみてください。表から半径を3.1831として読み取り、それを2乗してπを掛けると31.8309になります。1桁違いで、どちらの計算も間違ってはいません。片方は最後の手前で丸めた、それだけです。
半径10の円
- 半径を2乗する：10 × 10 = 100
- πを掛ける：100 × 3.14159 = 314.1593
半径5の円の面積ちょうど4倍で、半径を2倍にすると面積が4倍になることがいちばんきれいに見える場所です。半径は2倍になっただけなのに答えは4倍になりました。半径が2乗されているからです。直径が2倍の管が4倍の流量を運ぶのと同じ関係です。
半径0の円
- 半径を2乗する：0 × 0 = 0
- πを掛ける：0 × 3.14159 = 0
大きさのない円は何も囲みません。0という答えは、欠けているのではなく正しい答えです。0は3つの欄のどこに入れても正しい値です。測った値が0なのか、そもそも測っていないのかは別のことで、このページは後者——空の欄——を、手がかりが何もない状態として扱います。
適用限界
このページが返すのは面積だけで、円周も直径も半径も返しません。面積がすでにあって他のどれかが欲しいときは、別のページの話です。出力はどの入力欄がどの単位に設定されていても常に平方センチメートルです。換算は入口で起きるので、インチで入れた半径は平方センチメートルの数値で返り、平方インチで読むには6.4516で割る必要があります。面積を、長さの換算率2.54で割ってしまう——その2乗で割らない——のが気をつけるべき間違いです。答えは丸めていない半径から計算されるので、円周から始めて、丸めた半径を使って手計算で確かめると最後の桁が食い違います。間違っているのはページのほうではありません。小数第4位は表示の幅であって、面積が正確だという主張ではありません。円の面積はほとんど終わりのある数にならず、78.5398は78.53981633…を丸めたものです。半径0の円は受け付けられ、面積0を返します。これは正しい答えです。このページが取るのは3つの測定値のうちちょうど1つです。2つ渡すと拒否します。矛盾する2つの数は円を表さないからです。ここで扱うのは楕円でも弓形でも扇形でも球の表面でもありません。それぞれ別の形で別の式を持ち、とくに楕円は「引き伸ばした円」ではなく、面積も簡単には出せません。
よくある質問
- 3つの欄のうち1つしか埋められないのはなぜですか
- 3つが同じ円を別々に言い表したものだからです。ですから2つは、どちらも余分であるか、どちらかが矛盾しています。半径5と直径12は、1つの円について同時には成り立ちません。このページが2つを拒否するのは、黙って片方を選ぶのがいやだからです。欄が3つあるのは、実際に測ってあるものを入れてほしいからで、その数を選び直してほしいからではありません。
- インチで入れたのに、答えが平方センチメートルなのはなぜですか
- 単位の換算が出口ではなく入口で起きるからです。入れたインチはセンチメートルに直され、面積が計算され、答えは平方センチメートルで返ります。平方インチの数値ではありません。平方インチで読みたいときは6.4516で割ってください。これは2.54の2乗です。面積は長さの換算率の2乗で換算されるので、2.54で割ってしまうのが避けたい間違いです。
- 手計算で確かめると少し違う答えになるのはなぜですか
- 丸める場所が違うからです。このページは半径を最後まで丸めずに持ち回りますし、円周から始めたのなら、その半径は正確には書き下せない数です。表から読み取って2乗して掛けると、途中で丸めたことになります。円周20のときにその差は0.0001で、自分自身とつじつまが合っているのはこのページのほうです。
- 半径を2倍にしたら面積が4倍になったのはなぜですか
- 半径が2倍されるのではなく2乗されるからです。半径が2倍になると、面積のもとになっている2つの向きのそれぞれで2倍になりますから、面積は2×2倍になります。これは覚えておく価値があります。直径が2倍の管が4倍の流量を運ぶのと同じ関係で、両方向の人を引っかけます。
- 入れた直径がどう読まれたかは分かりますか
- 直接には分かりません。結果パネルは面積だけを表示し、入れた値をそのまま返しません。下の表はまさにそのためにあります。どの行にも半径が直径と面積の隣に並んでいるので、自分の数に近い行を探せば、このページが掛けている2倍の関係が見えます。直径12は半径6で、それは半径3の行の直径を2倍にしたものです。
- 面積から半径を求めることはできますか
- このページではできません。逆方向はわざと受け持っていません。このページは長さを受け取って面積を返す向きで、逆に戻るには平方根が要ります。4つの量のうちどれか1つから残りをすべて返すページがあり、面積から始めたいときはそちらを使います。
参考文献
- Circle — 曲線としての円とその半径・直径・円周、そして囲まれた領域の面積を与える πr² — Wolfram MathWorld (United States)
- Disk — このページが面積を求める平らな領域。それを囲む円とは別のもので、答えが平方の単位で返るのはこの区別のため — Wolfram MathWorld (United States)
- Area — 面積とは何か、どう定義されるか。平方どうしの換算が長さの換算の2乗になる理由を含む — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、円の面積は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部