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CalcMax

EAR計算

範囲：0〜50

計算結果

12.683%

実効年率（APY、%）

名目年率（%）
12.000%
実効年率との差（%）
0.683%

EAR計算機は、明細が置いていったところから始まります。つまり、毎期実際に課されている率からです。月1パーセント、月0.5パーセント、日0.05パーセントのいずれかを入力し、1年にそうした期が何回あるかを選ぶと、3つの数が返ります。その期利率が1年で複利して到達する実効年率、期利率に期数を掛けた名目年率、そしてその2つの差（ギャップ）です。最後のものが、このページを開く理由そのものです。月1パーセントを課すカードは、開示の慣習が使う線形な意味では年12パーセントで、1年分の実際のコストを表す意味では年12.683パーセントです。毎月の利息が、翌月に利息が課される残高に加わるからです。この2つの数の間の0.683パーセントポイントが複利で、それは期が短くなるほどほとんどの人の予想より速く大きくなります。名目の数値を6パーセントに固定すると、月0.5パーセントは6.168パーセントに複利し、日0.05パーセント——線形では同じ年18.25パーセント——は20.016パーセントになります。差は1.766ポイントです。どちらもパネルに出ていて、2つ目が要点を作っています。期が短いほど利息の上に利息が課される回数が増え、小さな期利率では絶対額としては小さくても率に対しては大きく効きます。式は預金の開示が実効年率に使っているものと同じで、名前が違うだけの同じ量です。期利率に1を足し、1年の期数だけ累乗し、1を引きます。入力について2つ、はっきり言っておくべきことがあります。このページは連続複利を用意していません。これは漏れではありません。期利率は期の存在を前提にします。複利が止まらないときには、1期あたりに課される率というものが存在しないのです。連続の極限は、名目年率から出発する兄弟ページの出力として現れます。ここの頻度の一覧が6档ではなく5档で終わっているのも同じ理由です。このページが隣人たちのどこに座るかは、何をすでに知っているかで決まります。明細があるなら期利率があり、それがこのページです。広告があるなら複利の頻度を伴う名目年率があり、使うべきは実効年率（APY）のページです。手元にあるのがドロップダウンでは選べない回数——26や52——なら、実効金利のページが1から365までの任意の整数を受け取ります。

月次複利で、月0.1パーセントから月2パーセントまで

1期あたりの金利名目年率（%）実効年率（%）実効年率との差（%）
0.11.21.2070.007
0.2533.0420.042
0.566.1680.168
11212.6830.683
22426.8242.824

ここにある行はすべて月次複利なので、2列目は1列目に12を掛けただけです。つまりこの表は1つの問いとして読めます。この期利率では、年率化はどれだけを隠しているのか。月0.1パーセントでは答えは0.007パーセントポイントで、月2パーセントでは2.824です。差は率の2乗にほぼ比例して増えるので、最後の行はその前の行の2倍ではなく9倍になっています。1回の計算ではなく表を読むことの値打ちはそこにあります。複利の項は、人が小さいと考える率では見えず、人が大きいと考える率では支配的になります。それが無視できなくなる境目は、この5行のどこか真ん中あたりにあります。1列目が入力で4列目がこのページの問いへの答えなので、2列しか見ない読者はそこを見てください。表の中の数は計算結果をそのまま出しているので、4桁の数にも3桁ごとの区切りは入っていません。

公式

実効年率 = (1 + 期利率)^(1年の期数) − 1。名目年率 = 期利率 × 1年の期数

期利率
1期のあいだに課され、あるいは付与される率です。明細が示しているものであり、複利の1段が使う数でもあります。月1パーセント、月0.5パーセント、日0.05パーセント。この入力がこのページを隣人たちと分けます。隣人たちは年ベースの数から出発して割り、こちらは期から出発して掛けます。
複利の計算頻度
そうした期が1年に何回あるかです。年1回なら1、年2回なら2、四半期ごとなら4、毎月なら12、毎日なら365になります。複利では指数であり、名目の数では掛ける数でもあります。
実効年率
各期の利息にそれ自身の利息が付いたうえで、その期利率の1年が実際にいくらかかるか、あるいは稼ぐかです。必ず名目の数以上になり、期が短くなるほど差が開きます。
名目年率
期利率に期数を掛けたもので、信用の開示が使う年率であり、その口座がいくらかと聞かれたらほとんどの人が答える数でもあります。複利をまったく無視しているので、実効年率の代わりではなく隣に印字されています。
実効年率との差
実効年率から名目年率を引いたもので、複利そのものをパーセントポイントで表した数です。年率で表示するという慣習がどれだけを隠しているかを示します。

手元にある率が年あたりではなく期あたりのとき、つまり実際には広告ではなく明細を読んでいるときに使います。月利1パーセントというクレジットカード、月利1.5パーセントという店舗カード、四半期に0.25パーセントを付与する口座——どれも期利率で、12や4を掛けた名目年率は1年分のコストを過小に示します。差の列はその過小評価の大きさであり、2つの理由で知っておく価値があります。1つ目は、突き返すときに何を言えばよいかが分かることです。カードが月利1パーセントを課すなら、年12パーセントと言うのが慣習で、年12.683パーセントと言うのが事実です。年率で表示されたローンと比べるときに使うべきなのは2つ目の数です。2つ目は、複利が丸め誤差の話でなくなる境目が分かることです。名目6パーセントでは差は0.168ポイント、名目18.25パーセントを日次で課すと1.766ポイント、名目182.5パーセントを日次で——1日0.5パーセントで、これは給与日型商品の形です——課すと実効年率は517.465パーセントになり、334.965ポイントの差はもはや細部ではなくコストそのものです。このページは逆方向の最初の一歩でもあります。期利率のページは名目年率を分割し、こちらはその分割を組み立て直します。同じ数で両方を走らせると、分割と再複利が互いの逆演算ではないことをすぐ確かめられます。6パーセントを月0.5パーセントに分割して再複利すると6.168パーセントであって、6には戻りません。

計算例

  1. 月利1パーセントというカードの場合

    1. 1年の期数：12
    2. 名目年率：1% × 12 = 12%
    3. 実効年率：1.01¹² − 1 = 12.6825%、表示は12.683
    4. 差：12.683% − 12% = 0.683パーセントポイント

    既定のケースで、誰もが見たことのあるものです。月利を掲げるカードがそれです。年12パーセントは開示の慣習が作り出す数で、12.683パーセントは未返済の残高を1年放置したときに実際にかかる額です。0.683は手数料でも罰則でもなく、利息の上に付いた利息です。毎月返し切らずに残高を複利に委ねている口座には必ず現れます。

  2. 日0.05パーセント——同じ名目年率、別の生き物

    1. 1年の期数：365
    2. 名目年率：0.05% × 365 = 18.25%
    3. 実効年率：1.0005³⁶⁵ − 1 = 20.0156%、表示は20.016
    4. 差：20.016% − 18.25% = 1.766パーセントポイント

    1日0.05パーセントは年18.25パーセントより小さく聞こえますが、同じ数です。0.05 × 365は18.25です。ところが毎日複利にすると20.016パーセントになり、名目の数を1.766ポイント上回ります。同程度の率だった月利カードの差の3倍近くです。教訓は、毎日複利それ自体が危険だということではありません。差は率と期の両方に依存し、ここではその両方が大きくなったということです。

  3. 年2パーセントを半年ごとに課す場合

    1. 1年の期数：2
    2. 名目年率：2% × 2 = 4%
    3. 実効年率：1.02² − 1 = 4.04%
    4. 差：4.04% − 4% = 0.04パーセントポイント

    この入力が生まれるのはたいてい債券です。4パーセントのクーポンを半年ごとに払う債券は年に2回2パーセントを払い、クーポンが再投資されればその年は4パーセントではなく4.04パーセントを返します。0.04ポイントは小さく、同じクーポンの半年払い債と年払い債が同じ投資ではない理由でもあります。年払いのほうは4パーセントを払い、複利は1回です。

適用限界

期利率が1年じゅう変わらないことを前提にしています。変動金利、見直しのある販促用の月利、ベンチマークに連動するカード——どれも実効年率を「その年の」ではなく「今日の率についての」陳述にします。率が変わり得るカードでは、差の列は起こらない1年を描写していることになります。期の長さが等しいことも前提にしています。365日の年に月次複利をすると割り切れませんし、12の等しい月ではなく実日数で複利する口座はわずかに違う値になります。一部の国の銀行のように360日を基準に計算する口座も同じです。残高がどうやってそこに至ったかは何も言いません。複利は持ち越された残高にしか掛かりません。カードを使い毎月全額を払っているなら、実効年率も差もあなたには決して適用されません。利息が複利する先が何も無いからです。これは実質年率ではありません。実質年率は期利率を複利なしで年率化し、手数料を織り込みます。このページは同じ期利率を2回年率化するだけで、1回は線形に、1回は複利で、どちらの数にも手数料を足しません。開示でもありません。実効年率と実効年率（APY）は期間が365日なら同じ量なので、預金の開示の利回りは同じ率と頻度でこのページの1つ目の出力と一致するはずです。しかし信用の開示の実質年率は一致しません。それはここで2つ目の出力として印字している線形な年率化の上に成り立っているからです。最後に、連続複利の選択肢が無いのは入力の性質です。期利率が存在するためには期が要り、期が無いところに1期あたりの率は定義できません。

よくある質問

実効年率とは何か
各期に課される率が、各期の利息にそれ自身の利息が付いたうえで1年でいくらになるかです。月利1パーセントは年12パーセントではなく12.683パーセントです。2か月目は、残高に1か月目の利息を足したものに対して課されるからです。それを織り込んだ数が実効年率で、期利率に12を掛けただけの数が名目年率です。開示の慣習が作り出すのは後者で、複利を無視しています。
期利率から実効年率を計算するには
期利率に1を足し、1年の期数だけ累乗し、1を引きます。月利1パーセントなら1.01の12乗から1を引いて0.126825、つまり12.683パーセントです。これは預金口座の実効年率（APY）を出すのと同じ式です。期間が1年なら両者は同じ量で、このページの入力は、広告ではなく明細を読んでいるときに手元にあるものです。
連続複利の選択肢が無いのはなぜか
期利率には期が要るからです。連続複利は期を限りなくゼロに近づけたときの極限なので、出発点になる1期あたりの率が存在しません。実効年率そのものは存在し、名目年率から出発するページに連続の極限として出ています。このページの頻度の一覧が5つで終わっているのは、機能の欠落ではなく入力の性質です。
名目年率は実質年率と同じものか
計算の仕方は同じで、期利率に1年の期数を掛けます。ただし実質年率は手数料も含み、このページは手数料を足しません。手数料の無いローンでは両者は一致し、だからこそここでの名目年率は信用の開示を検算するのに使えます。組上手数料のあるローンでは実質年率のほうがここに印字される名目年率より高くなり、その差が手数料です。
2つの率の差は率が大きいほど広がるのか
広がりますし、急です。名目6パーセントの月次では差は0.168パーセントポイント、月利12パーセントでは0.683、日次で18.25パーセントでは1.766、1日0.5パーセント——名目182.5パーセント——では実効年率が517.465パーセントで差は334.965ポイントです。この水準では複利は率の2乗にほぼ比例するので、率が2倍になると差は2倍ではなくおよそ4倍になります。
2つのローンのどちらの率で比べるべきか
どちらにも手数料が無いなら実効年率です。2つのうち利息がいつ複利されるかを織り込んでいるのはそちらだけで、預金の実効年率（APY）と同じ量でもあります。どちらかに手数料があるなら実質年率のほうが適しています。それはここに名目として印字している線形な年率化の上に成り立っていて、手数料も含むからです。月利で表示されたローンと年率で表示されたローンを名目年率で比べることが、このページが防ぐためにある誤りです。

参考文献

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