年金計算

現在価値 = 1期あたりの支払額 × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i将来価値 = 1期あたりの支払額 × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i （支払いが各期のはじめに来る場合はどちらも × (1 + i)） ここでi = 年利 ÷ 1年の支払回数、n = 年数 × 1年の支払回数

1期あたりの支払額

各期で等しい額です。それが自分へ入ってくるお金でも、自分から出ていくお金でも同じです

年利

両方向に同時に使う名目の年利です。1期あたりの率に割って流れを現在へ割り引き、同じ率で先へ複利して運びます。既定の年7%は月0.5833%になります

年数

支払いが続く長さで、1年の支払回数を掛けると期数になります

i

1期あたりの率で、年利を1年の支払回数で割ったものです

n

期数の合計で、年数に1年の支払回数を掛けたものです

現在価値

その流れ全体が今日いくらの価値があるかで、将来の支払いを1期ずつ現在へ割り引いたものです

将来価値

同じ流れが最後にいくらに蓄積するかで、代わりに各支払いを最終日まで先へ複利したものです

等しい額の支払いの流れがあり、その2つの価値を1つずつではなく1つの画面で見たいときに使います。一時金と比べる年金、購入価格と比べるリースや賃料、入れたお金と両端での価値を並べて見たい貯蓄計画などです。複利の隔たりを直接見る最速の方法でもあります。同じ120,000が今日は64,491で、最後には260,463であり、その差は手数料でも誤りでもなく20年の複利です。逆方向に、一時金から支払い額そのものを解きたいときは違うページになります。それは別の問いで、専用のページがあります。支払いが等しくないときも違うページです。インフレで段階的に上がる流れや市場リターンで変動する流れは年金ではなく、どちらの式も当てはまりません。

1. 既定のケースと、片側ずつの2ページとの照合

   1. 1期あたりの率：7% ÷ 12 = 月0.58333%。期数：20 × 12 = 240。
   2. 現在価値の係数：[1 − 1.0058333⁻²⁴⁰] ÷ 0.0058333 = 128.98なので、500 × 128.98 = 64,491.25。
   3. 将来価値の係数：[1.0058333²⁴⁰ − 1] ÷ 0.0058333 = 520.93なので、500 × 520.93 = 260,463.33。
   4. 支払い：500 × 240 = 120,000で、これには率がまったく要りません。
   5. 照合：64,491.25 × 1.0058333²⁴⁰ = 64,491.25 × 4.0387 = 260,463.33。

   最初の2つの手順に出てくる数は、それぞれ現在価値のページと将来価値のページの既定結果です。別々に作られた3つのページが、同じ5つの入力で1セントまで一致しています。最後の手順がこのページの存在理由です。将来価値は現在価値に期数だけ (1 + i) を掛けたもので、240か月では4.0387になります。4.0387が20 × 7% = 1.40でも1.07²⁰ = 3.87でもないことにも注意してください。率を月次に換算した時点で複利の係数は (1 + 0.0058333)²⁴⁰ になり、年率を使った近道では再現できません。

2. 支払いが各期のはじめに来る場合

   1. どちらの係数も既定のケースのものです。
   2. すべての支払いを1期ずつ前へずらすと流れ全体が動きます。両方の結果に1.0058333を掛けます。
   3. 64,491.25 × 1.0058333 = 64,867.45。
   4. 260,463.33 × 1.0058333 = 261,982.70。

   どちらの価値もまったく同じ0.583%（1期分の利息）だけ上がります。このページの2つの数が1つの対象の2つの見方であることが最もきれいに見えるやり方です。もしタイミングの調整が両者を違う比率で動かしたなら、同じ流れではなくなります。期首払いはどちらの向きでも値打ちが高くなります。どの支払いも1期分だけ自分に近づくからです。そして合計の120,000はまったく動きません。タイミングが変えるのは流れの価値であって、そこに含まれる金額ではありません。

3. 率がゼロで、3つの数が一致する場合

   1. 率がなければ割り引くものも複利するものもありません。
   2. この場合どちらの閉じた式も0 ÷ 0になるので、どちらも期数に戻ります：240。
   3. 500 × 240 = 120,000で、3つとも同じです。

   3つの数が同じ値に潰れることは、ほかの2つが何を意味するのかの最も明快な説明です。現在価値と将来価値はどちらも合計を時間で調整したもので、率がなければ調整もありません。このケースは素朴な実装が壊れる場所でもあります。閉じた式で書くと係数が0 ÷ 0になり、ページはNaNを印字してしまうので、共有カーネルは率ゼロを小さな数ではなく独立した分岐として扱っています。

4. 毎月ではなく年1回で、合計は同じ

   1. 1期あたりの率：年7%をそのまま使います。期数：20。
   2. 現在価値の係数：[1 − 1.07⁻²⁰] ÷ 0.07 = 10.59なので、500 × 10.59 = 5,297.01。
   3. 将来価値の係数：[1.07²⁰ − 1] ÷ 0.07 = 40.995なので、500 × 40.995 = 20,497.75。
   4. 支払い：500 × 20 = 10,000。

   ここでの比は3.8697で、毎月の4.0387に対してです。同じ名目7%でも、12回ではなく1回だけ適用すると複利の結果は小さくなります。周波数の約束事が率ではなく答えの側に出ている例で、見た目より重要です。年1回の数は毎月の数と5分の1以上違い、変わったのは利息が計上される頻度だけです。同じ比較を0%でやれば差はまったく出ません。これが手数料ではなく複利の効果だという役に立つ念押しです。

5. 大きな支払いと長い期間で、複利が支配する場合

   1. 1期あたりの率は月0.58333%で、600期です。
   2. 現在価値：100,000 × 166.20 = 16,619,896.78。
   3. 将来価値：100,000 × 5,448.07 = 544,807,091.51。
   4. 支払い：100,000 × 600 = 60,000,000。
   5. 比：544,807,091.51 ÷ 16,619,896.78 = 32.78で、これは1.0058333⁶⁰⁰です。

   支払った60,000,000が最後には544,807,091.51になり、比は32.78に達します。現在価値の列は話のもう半分を語ります。16,619,896.78というのは、最終的に動くお金の4分の1をわずかに超える程度の価値しかないということです。50年の予定の終わり近くの支払いは、ほとんどゼロまで割り引かれるからです。どちらの数も正しく、両方を1つのページで見せるほうがどちらか単独より有用なのは、その間の隔たりこそが主題そのものだからです。

支払いは等しく、率は全期間を通して固定です。どちらの式も、インフレで段階的に上がる流れ、市場リターンで変動する流れ、途中で止まる流れには当てはまりません。それらには閉じた式ではなく年ごとの予定表が要ります。率は名目で、支払頻度で複利します。率をそのままにして頻度だけを変えると、既定の入力では答えが5分の1以上変わります。年1回のケースは20,497.75で、毎月のケースは260,463.33です。違う複利の流儀で示された率は別の率であり、このページが換算してくれることはありません。手数料も税金もインフレもモデル化していません。支払いの流れそのものは正確で、120,000は120,000です。価値のほうは名目の数なので、今日の64,491が今日のお金で64,491なのは、あとでお金で買えるものがどうなるかを調整していないという意味においてだけです。モード選択器はありません。このページは常に支払い額を入力として取り、2つの価値を結果として報告します。一時金から支払い額を解くのは別の問いで、ここの設定ではなく専用のページにあります。入力欄の1つを黙って無視するモードは、もう1回訪問するより悪いからです。率がマイナス100%以下は受け付けません。範囲はマイナス99.9%までで、そこでは同じ流れの現在価値が天文学的に大きくなります。これはバグではなく負の率で割り引く数学ですが、現実的な入力ではなく、現在価値の列が爆発するときは警告の印として読むのが適切です。2つの価値は、どちらかを評価する意味での比較対象ではありません。同じ流れに対する現在価値64,491と将来価値260,463は、選ぶべき2つの提案ではなく、2つの異なる日付で測った同じ1つの提案です。

この年金計算機は、片側だけのページにない何を見せているのか

両方の答えを一度にです。年金の現在価値と年金の将来価値は、2つの違う日付で測った同じ流れであり、それぞれに片方を報告する専用のページがあります。このページは同じ5つの入力を取り、両方を報告し、あわせて支払総額も報告します。これが率にまったく依存しない数です。120,000、64,491.25、260,463.33を1つの画面で見ることが、両者の関係を、信じて受け入れるものではなく具体的なものにします。

将来価値が現在価値よりずっと大きいのはなぜか

同じお金を2つの違う日付で測ったもので、時間がその差のすべてだからです。20年、年7%の毎月複利では、1単位が4.0387単位に育つので、今日64,491の価値がある額は最後には260,463の価値になります。どちらの数も手数料でも利益でも誤りでもなく、1つの約束に対する2つの正しい値段です。どちらかを日付を伴わずに示すのは無意味です。

一時金が分かっているときに支払い額のほうを解けるのか

このページではできませんし、意図的にそうしています。ここでは支払い額は未知数ではなく入力だからです。どの欄を解くかを切り替えられるページは、すべての入力を同時に見せなければならず、そのとき計算中の欄は、打ち込んだものを無視する箱として座っていることになります。一時金からの支払い額には専用のページがあり、モードの切り替えより踏み込んで、取り崩し率や、合計のうちいくらが運用から来るかも報告します。

支払いが期のはじめに来るか末に来るかは影響するのか

どちらの価値も1期分の利息、既定の入力では0.583%だけ変わり、しかも両方向で同じ比率だけ変わります。これが2つの数が1つの対象の見方であるしるしです。もし調整が両者を違う額だけ動かしたなら、別々の流れを説明していることになります。支払総額の120,000はまったく動きません。タイミングが変えるのは流れの価値であって、含まれる金額ではありません。

支払頻度を変えると答えがそんなに変わるのはなぜか

率が名目で、選んだ頻度で複利するからです。年7%を年に1回適用すると、同じ7%を年に12回適用するより20年での複利が小さくなり、その差は大きなものです。500を毎月で20,497.75に対して260,463.33ですが、この2つは支払総額も違います。示された年率を読む正直なやり方は、それが何で複利するのかを尋ねることです。頻度を伴わない名目金利は、率の半分でしかありません。

率がゼロのときは何が起きるのか

3つの数が同じ値になります。既定の入力では120,000です。割り引くものも複利するものもなければ、現在価値も将来価値も支払いの合計そのものです。このケースが閉じた式の実装が壊れる場所でもあると知っておく価値があります。率がゼロのとき係数は0 ÷ 0になるので、特別扱いしないページはNaNを印字します。このページの背後にあるカーネルはそれを独立した分岐として扱っています。

• 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv)(A) and (B) — 米国の規則で、年金係数を定義しています。期間確定の残存係数を1.000000から引き、金利で割り、支払いが毎月または四半期の期末に来る場合はさらに調整係数を掛けます — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States, current as of 2026)
• Annuities — 一時払いまたは分割払いの保険料で定期的な支払いを買うもので、その支払いのタイミングが契約でどう定められるか — FINRA (Financial Industry Regulatory Authority), United States
• Planning for retirement — 一時金と所得の流れを比べること、そして割り引く率を1つ決めなければその2つを比べられない理由 — Consumer Financial Protection Bureau, United States