Calcolatrice della pendenza di una retta

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

I due punti, usati quando il selettore è su due punti. Il primo punto e il secondo sono intercambiabili: scambiarli cambia il segno sia del numeratore sia del denominatore, quindi la pendenza viene fuori identica. Quello che non è intercambiabile è mettere una x in una casella delle y: nessuno lo controlla, e il risultato sarà un numero dall'aspetto del tutto normale

a, b, c

I tre coefficienti dell'equazione della retta ax + by = c, usati quando il selettore è su equazione. Vengono letti solo in quella modalità e nell'altra sono ignorati senza alcuna indicazione sullo schermo. Attenzione: qui b è il coefficiente di y, non l'intercetta y — l'intercetta è un'uscita separata, e confondere i due è l'errore più comune con questa forma

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

La pendenza da due punti, cioè la salita divisa per lo spostamento orizzontale. È lo stesso numero comunque distanti siano i punti, ed è proprio questo a rendere dritta una retta: prendi due punti a un chilometro di distanza o due punti a un millimetro e il rapporto non cambia. L'unico caso che rompe la regola è x₁ uguale a x₂, dove il denominatore è zero e la retta è verticale

m = −a ÷ b

La pendenza dall'equazione della retta, ottenuta riscrivendo ax + by = c come y = (−a ÷ b)x + (c ÷ b). Il segno meno si perde facilmente, e perderlo dà una pendenza della grandezza giusta ma con il segno sbagliato: è esattamente l'errore che fa sembrare in salita una retta che scende. Quando b è zero la riscrittura divide per zero e la retta è verticale, quindi quel caso viene rifiutato invece di essere approssimato

b = y₁ − m·x₁

L'intercetta y, cioè l'ordinata all'origine, dove la retta attraversa l'asse verticale. Si calcola dalla pendenza e da uno dei due punti invece di leggerla su un grafico, e viene stampata per ogni input, compresi quelli in cui vale zero. Una retta che passa per l'origine ha intercetta esattamente 0, ed è un caso che vale la pena vedere scritto: è quello in cui l'equazione non ha affatto il termine costante

angolo = arctan(m)

L'angolo della pendenza, cioè l'arcotangente della pendenza in gradi, compresa fra −90 e 90. Una pendenza di 1 dà 45 gradi, una pendenza di −1 dà −45 e una retta orizzontale dà 0. Non è l'angolo di inclinazione usato in geometria analitica, che va da 0 a 180 e chiamerebbe 135 la stessa retta da −45: qui si usa l'arcotangente perché è l'angolo che discende direttamente dalla pendenza, in modo biunivoco e invertibile

Serve quando la pendenza deve uscire da una retta che ti è stata data in una delle due forme standard, e anche quando l'equazione di una retta va letta per ricavarne pendenza e intercetta senza riscriverla a mano: 2x + 3y = 6 è una pendenza di −2/3 e un'intercetta di 2 in un passaggio solo. Il coefficiente angolare che si legge direttamente dall'equazione, senza riscriverla, è il motivo per cui questa pagina esiste. È la pagina con cui controllare una retta già disegnata: una pendenza che torna con il segno sbagliato, o un'intercetta che non corrisponde al punto in cui la retta taglia l'asse, significa che l'equazione è stata letta male da qualche parte. L'angolo serve quando la pendenza va confrontata con una salita fisica, anche se è l'arcotangente e non l'inclinazione, quindi leggi quella colonna tenendo presente la differenza. Per il caso in cui la domanda riguarda una pendenza stradale invece di una retta, la pagina giusta è quella della pendenza in percentuale: stessa aritmetica, vocabolario diverso. Per un'equazione con un termine x² serve la formula quadratica, perché una curva non ha un'unica pendenza. E quando la pendenza è nota ed è l'equazione che vuoi, la pagina è quella della forma punto-pendenza, che è la domanda di questa pagina letta al contrario.

1. La retta per (1, 2) e (4, 8)

   1. La variazione di y: 8 − 2 = 6
   2. La variazione di x: 4 − 1 = 3
   3. La pendenza: 6 ÷ 3 = 2
   4. L'intercetta: 2 − 2 × 1 = 0, quindi la retta passa per l'origine
   5. L'angolo: arctan(2) = 63,4349 gradi

   Il caso a due punti con tutte le risposte tonde tranne l'angolo, che è la situazione normale: l'arcotangente di una pendenza razionale non è quasi mai un numero intero di gradi. Vale la pena soffermarsi sull'intercetta esattamente 0: dice che l'equazione di questa retta è y = 2x senza niente aggiunto, e chi si aspettava un'intercetta a una certa distanza visibile sull'asse sta guardando una retta che taglia proprio nell'origine.

2. La retta per (0, 3) e (4, 0)

   1. La variazione di y: 0 − 3 = −3
   2. La variazione di x: 4 − 0 = 4
   3. La pendenza: −3 ÷ 4 = −0,75, negativa perché la retta scende verso destra
   4. L'intercetta: 3 − (−0,75 × 0) = 3, che sul grafico si vede come il punto (0, 3)
   5. L'angolo: arctan(−0,75) = −36,8699 gradi

   La pendenza negativa, e il caso in cui la convenzione sull'angolo conta. Questa retta scende verso destra, quindi l'angolo è negativo: un libro di geometria chiamerebbe 143,13 gradi l'inclinazione della stessa retta, e i due numeri descrivono una retta sola. Qui l'intercetta è la più facile possibile da verificare, dato che il primo punto ha x uguale a 0 e sta esattamente sull'asse verticale.

3. La retta 2x + 3y = 6

   1. Riscrivi in y = mx + b: 3y = 6 − 2x, quindi y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. La pendenza è −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0,666667
   3. L'intercetta è c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
   4. L'angolo: arctan(−0,666667) = −33,6901 gradi
   5. Il controllo: con x = 0 l'equazione diventa 3y = 6, quindi y = 2, che è l'intercetta

   La modalità equazione, e il caso che mostra perché nella formula c'è un segno meno. Togliere quel segno dà 0,666667 invece di −0,666667: la stessa ripidezza, ma in salita invece che in discesa, che è il tipo di errore che un controllo sull'equazione di partenza intercetta e un'occhiata al numero no. L'intercetta si conferma mettendo x a zero nell'equazione invece di fidarsi della formula.

4. La retta x − y = 4

   1. Riscrivi: −y = 4 − x, quindi y = x − 4
   2. La pendenza è −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
   3. L'intercetta è c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
   4. L'angolo: arctan(1) = 45 gradi esatti

   Un b negativo, ed è qui che i due segni meno delle formule si annullano e le risposte escono positive. È anche una delle poche rette il cui angolo è un numero intero di gradi: una pendenza di 1 è 45 gradi e una di −1 è −45, ed è il motivo per cui quelle due righe stanno nella tabella di riferimento. L'intercetta di −4 dice che la retta taglia sotto l'origine, e chi avesse dato per scontato che un coefficiente negativo significasse pendenza negativa la leggerebbe esattamente al contrario.

5. La retta orizzontale per (2, 5) e (6, 5)

   1. La variazione di y: 5 − 5 = 0
   2. La variazione di x: 6 − 2 = 4
   3. La pendenza: 0 ÷ 4 = 0 — una retta orizzontale, e la sua pendenza è zero e non indefinita
   4. L'intercetta: 5 − 0 × 2 = 5, l'altezza a cui la retta sta
   5. L'angolo: arctan(0) = 0 gradi

   La pendenza nulla, che è il caso confuso più spesso con la retta verticale che questa pagina rifiuta. Una retta orizzontale ha pendenza esattamente zero — non sale e non scende — mentre una retta verticale non ha pendenza affatto, e la differenza sta in dove finisce lo zero, al numeratore o al denominatore. Qui ogni uscita è un numero pulito, il che la rende la riga più facile da controllare su uno schizzo.

I due gruppi di caselle sono entrambi sullo schermo ed è il selettore a decidere quale viene letto. Il gruppo che non si sta leggendo non è oscurato — la pagina non è in grado di farlo — quindi i numeri digitati nel gruppo sbagliato vengono ignorati in silenzio e il risultato non si muove quando li cambi. È l'unico comportamento di questa pagina che non si può scoprire guardando lo schermo, e l'unico rimedio è controllare il selettore: le caselle dei due punti vengono lette quando dice due punti, quelle di a, b e c quando dice equazione della retta. Le rette verticali vengono rifiutate in entrambe le modalità invece di essere riportate come pendenza infinita, perché l'infinito non è un numero utilizzabile e una retta verticale non ha davvero pendenza; una retta orizzontale è un caso del tutto diverso e torna con pendenza esattamente zero. L'angolo è l'arcotangente della pendenza e va da −90 a 90 gradi, non l'inclinazione da 0 a 180 della geometria analitica: la stessa retta che scende vale −45 qui e 135 là, e confondere le due convenzioni mette un errore di segno in tutto ciò che viene calcolato a partire dall'angolo. La pendenza è un numero puro senza unità, e ha senso solo quando i due assi sono misurati nella stessa cosa: una pendenza di 5 fra una distanza in metri e un tempo in secondi è 5 metri al secondo, e la pagina non lo dirà. Le coordinate sono limitate a un milione in valore assoluto, che è un limite di visualizzazione. Non ci sono fasce di giudizio: quanto sia ripida una retta non ha una soglia autorevole, e il segno della pendenza dice già se sale o scende. Infine la pagina tratta solo rette: una curva ha una pendenza diversa in ogni punto, e qui non si calcola nessuna derivata.

Perché a volte cambiare una casella non cambia il risultato?

Perché il selettore è posizionato sull'altro gruppo. Entrambi i gruppi di caselle sono sempre sullo schermo e solo uno viene letto per volta: con il selettore su due punti le caselle di a, b e c vengono ignorate del tutto, e con il selettore su equazione vengono ignorate le quattro coordinate. Il gruppo inutilizzato non è oscurato, quindi il selettore è l'unica indicazione di quali numeri contano: controllalo per primo ogni volta che un risultato sembra bloccato.

Qual è la pendenza di una retta verticale?

Non ne ha, e questa pagina rifiuta quell'input invece di stampare infinito. La pendenza è la variazione di y divisa per la variazione di x, e su una retta verticale la variazione di x è zero, quindi l'aritmetica chiede di dividere per zero. L'infinito non è un numero che si possa portare al passaggio successivo, e dire che la pendenza è infinita suggerirebbe un numero molto grande invece di nessun numero. Una retta orizzontale è il caso opposto: la sua pendenza è esattamente zero.

Come si ricava la pendenza da un'equazione?

Riscrivi ax + by = c nella forma y = mx + b. Così facendo ottieni una pendenza di −a ÷ b e un'intercetta di c ÷ b, che è quello che la pagina calcola con il selettore su equazione. Il segno conta più di quanto sembri: per 2x + 3y = 6 la pendenza è −2/3, e togliere il meno dà una retta della stessa ripidezza che va nel verso opposto.

Che differenza c'è fra l'angolo della pendenza e l'angolo di inclinazione?

L'angolo della pendenza è l'arcotangente della pendenza e sta fra −90 e 90 gradi; l'angolo di inclinazione della geometria analitica sta fra 0 e 180. Per una retta che scende verso destra i due differiscono di 180 gradi: questa pagina riporta −45 per una pendenza di −1, mentre l'inclinazione della stessa retta è 135. Qui si usa l'arcotangente perché discende dalla pendenza in modo diretto e biunivoco, senza una regola in più che aggiunga 180 alle pendenze negative.

La pendenza ha un'unità di misura?

Da sola no. Una pendenza è il rapporto fra due variazioni, quindi è un numero puro, e diventa «tanto per unità» solo quando entrambi gli assi sono misurati nella stessa cosa: metri su entrambi gli assi danno un numero adimensionale, mentre metri contro secondi danno metri al secondo. La pagina non lo chiede, quindi non può convertire né etichettare; se gli assi sono in unità diverse la pendenza è un tasso, e l'unità è l'unica cosa che la pagina non può fornire.

Posso usarla per trovare l'equazione di una retta?

No, questa pagina va nel verso opposto. Prende una retta già descritta, da due punti oppure da un'equazione, e ne riporta pendenza e intercetta. Passare da una pendenza e un punto all'equazione è un compito diverso, e la pagina giusta è quella della forma punto-pendenza. Quello che questa pagina ti dà lungo la strada è l'intercetta, e pendenza più intercetta sono già la forma esplicita dell'equazione, se vuoi scrivertela da solo.

• Slope — the definition of the slope of a line as rise over run, with the two-point and equation forms this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the general equation ax + by = c and its rearrangement into slope-intercept form, including the vertical case where b is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — the arctangent used for the angle column, and the range from −90 to 90 degrees that distinguishes it from the inclination angle — Wolfram MathWorld (United States)