Calcolatrice della formula quadratica
Risultato
Radice 1 (maggiore)
- Radice 2 (minore)
- 1
- Discriminante (Δ)
- 1,000000
- Somma delle radici
- 3,000000
- Prodotto delle radici
- 2,000000
La calcolatrice della formula quadratica risolve un'equazione di secondo grado del tipo ax² + bx + c = 0 sostituendo i tre coefficienti nella formula. Restituisce entrambe le radici, il discriminante che decide quante di esse sono reali, e la somma e il prodotto delle radici. Il discriminante è la parte da leggere per prima: quando è positivo le due radici sono reali e distinte, quando è esattamente zero le due radici coincidono, e quando è negativo le soluzioni sono una coppia coniugata di numeri complessi — anche quelle la pagina le stampa, come 1 + 2i e 1 - 2i, invece di fermarsi a dichiarare che non ci sono radici reali. Le radici escono in ordine decrescente, quindi la maggiore delle due è sempre nella prima riga; è una convenzione che questa pagina fissa, non qualcosa che la formula decide, ed è ciò che impedisce alle due righe di scambiarsi di posto quando cambi il segno di b. I risultati esatti vengono stampati come esatti: x² + 3x - 2 = 0 ha la radice 1/2 e non 0,5, perché 0,5 lascerebbe il lettore a chiedersi se sia un valore arrotondato. Le radici irrazionali non hanno una forma di quel tipo e vengono stampate con sei decimali, quindi la sezione aurea arriva come 1,618034. La somma e il prodotto delle radici sono stampati per una ragione che sopravvive al caso in cui sono ovvi: valgono anche quando le radici sono complesse, ed è la prova più chiara che le radici complesse sono soluzioni e non un fallimento nella ricerca. Un'equazione quadratica con a uguale a zero viene rifiutata invece di essere risolta in silenzio come un'equazione lineare, dato che bx + c = 0 ha una sola radice e la somma e il prodotto delle radici smettono di significare qualcosa.
I tre casi che il discriminante separa
| Caso | Discriminante |
|---|---|
| Due radici reali distinte | Δ > 0 |
| Una radice reale doppia | Δ = 0 |
| Una coppia coniugata di radici complesse | Δ < 0 |
Tre righe, una per ciascuna forma che la risposta può prendere, e la seconda colonna è la condizione invece di un intervallo di numeri: il discriminante non è un punteggio da confrontare con una soglia, è un segno, e il segno è tutto il test. La prima colonna nomina ogni caso con le stesse parole che usa il badge sopra il risultato, quindi la tabella e il badge non possono allontanarsi. È l'unica tabella del gruppo le cui celle sono riferimenti ai gradi invece che numeri calcolati, ed è per questo che ogni cella deve esistere nel blocco dei gradi qui sopra.
Formula
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a
- a
- Il coefficiente di x². Non può essere zero: con a uguale a zero l'equazione è una retta travestita, ha una radice sola invece di due, e le formule della somma e del prodotto dividono entrambe per a. La pagina rifiuta quell'ingresso e dice quale dei tre manca, invece di rispondere a una domanda diversa
- b
- Il coefficiente di x. Il suo segno è ciò che legge il più o meno della formula, ed è anche il punto in cui vive il rischio di cancellazione: quando b è grande e le due radici sono lontane, sottrarre una radice quadrata dall'altra butta via cifre. La pagina evita quella sottrazione invece di sperare che non conti
- c
- Il termine noto. È il prodotto delle due radici moltiplicato per a, che è il controllo più rapido disponibile senza calcolatrice: se le radici che ti aspettavi non si moltiplicano a c ÷ a, qualcosa è sbagliato più a monte. Quando c è zero una radice è zero e l'altra è −b ÷ a, cosa che esce dalla formula senza bisogno di un caso a parte
- Δ = b² − 4ac
- Il discriminante, il singolo numero che decide la forma della risposta. Positivo significa due radici reali distinte, zero significa una radice reale doppia, negativo significa che le radici sono complesse e arrivano come coppia coniugata. La pagina lo usa due volte — una per scegliere quali radici calcolare, una per scegliere il badge sopra il risultato — e le due letture vengono dallo stesso valore, quindi non possono contraddirsi
- x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
- La formula quadratica vera e propria. Il più o meno produce le due radici da un'unica espressione, e la radice quadrata è l'unico passo che può fallire nei numeri reali: un Δ negativo non ha radice quadrata reale, ed è esattamente il caso a cui la pagina risponde comunque, nei numeri complessi. La divisione per 2a è il motivo per cui a non può essere zero
- x₁ + x₂ = −b ÷ a
- La somma delle radici, nota come una delle formule di Vieta. Vale la pena stamparla perché sopravvive intatta al caso complesso: le radici di x² − 2x + 5 sono 1 + 2i e 1 - 2i, e sommate danno comunque 2. Chi sospetta che la pagina si stia inventando le risposte quando il discriminante è negativo può controllare quella colonna e trovarla coerente con l'equazione che ha scritto
- x₁ · x₂ = c ÷ a
- Il prodotto delle radici, la seconda formula di Vieta, e il controllo che intercetta un errore di segno nel termine noto. Per un'equazione monica è semplicemente c: x² − 3x + 2 si scompone in (x − 1)(x − 2), quindi le radici si moltiplicano a 2 e si sommano a 3. Come la somma, resta invariato quando le radici sono complesse
- b² − 4ac = 0
- Il caso di confine, dove le due radici collassano in una e la pagina stampa lo stesso valore in entrambe le righe. Non è un caso raro: è la condizione perché il trinomio sia un quadrato perfetto, quindi salta fuori in ogni esercizio di scomposizione. Il badge sopra il risultato cambia per dirlo, ed è l'unico punto della pagina in cui il numero di radici è dichiarato a parole
Serve per qualsiasi equazione con un termine x² di cui vuoi le radici, il che in pratica significa tre situazioni: un esercizio in cui la scomposizione non è evidente, un modello fisico i cui coefficienti vengono da misure e quindi non offrono alcuna scomposizione, e un caso in cui si sa già che la risposta è complessa e il trattamento delle sole radici reali non lascerebbe niente in mano. È anche lo strumento per verificare una scomposizione già fatta: la somma e il prodotto delle radici vengono stampati, quindi (x − 1)(x − 2) si conferma senza riespanderlo. Passa alla calcolatrice della pendenza quando a risulta zero: quella è una retta, e la pagina che gestisce ax + by = c è quella che risponde. Passa alla calcolatrice delle radici quando l'operazione che ti serve davvero è una radice quadrata, dato che il discriminante sotto il segno di radice è una radice quadrata come tutte le altre e le regole per gli indici superiori stanno là. Passa alla calcolatrice delle potenze quando x² va calcolato invece che risolto, che è la differenza fra valutare una quadratica e trovare dove si annulla.
Esempi svolti
x² − 3x + 2 = 0
- Il discriminante: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
- Δ è positivo, quindi le due radici sono reali e distinte
- √Δ = 1, quindi le radici sono (3 + 1) ÷ 2 = 2 e (3 − 1) ÷ 2 = 1
- L'ordine decrescente mette 2 nella prima riga, e i controlli tornano: 2 + 1 = 3 e 2 × 1 = 2
L'equazione con cui arriva la maggior parte dei lettori, e quella che si scompone pulita in (x − 1)(x − 2): ogni numero del pannello si conferma riespandendo i fattori. È anche il caso in cui la risposta sembra troppo facile per meritare una calcolatrice, ed è proprio il punto: il pannello mostra il procedimento su un problema di cui conosci già la soluzione, e le stesse cinque righe tornano per uno di cui non la conosci.
x² − x − 1 = 0
- Il discriminante: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
- Δ è positivo ma non è un quadrato perfetto, quindi le radici sono irrazionali
- √5 = 2,2360679…, quindi le radici sono (1 + 2,2360679…) ÷ 2 e (1 − 2,2360679…) ÷ 2
- Stampate con sei decimali: 1,618034 e −0,618034
La sezione aurea, e il caso che mostra perché la pagina stampa le frazioni solo quando sono esatte. Non esiste una frazione uguale a (1 + √5) ÷ 2, quindi la risposta è un decimale — e chi legge 1,618034 sa che è arrotondato, mentre lo stesso numero scritto come frazione sembrerebbe esatto. Le due radici si moltiplicano inoltre esattamente a −1, che è il tipo di coincidenza che conferma l'aritmetica invece dell'ingresso.
2x² + 3x − 2 = 0
- Il discriminante: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
- √Δ = 5, quindi le radici sono (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 e (−3 − 5) ÷ 4 = −2
- La prima radice è esatta come frazione, quindi si stampa 1/2 e non 0,5
- I controlli: 1/2 + (−2) = −1,5 e 1/2 × (−2) = −1
Il caso che decide come la pagina stampa le radici. Entrambe le radici sono esattamente rappresentabili, e la minore è un numero intero mentre la maggiore è una frazione: chi avesse dato per scontato che le radici si stampino come decimali sbaglierebbe sulla prima riga e avrebbe ragione sulla seconda. La somma e il prodotto sono ciò che rende leggibile la frazione: −1,5 non è evidentemente la somma di 1/2 e −2 finché non la fai, e farla richiede una riga.
x² − 2x + 5 = 0
- Il discriminante: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
- Δ è negativo, quindi le radici sono complesse e arrivano come coppia coniugata
- La parte reale è −b ÷ 2a = 1 e la parte immaginaria è √16 ÷ 2 = 2
- Entrambe le radici vengono stampate, e le formule di Vieta valgono ancora: sommate danno 2 e moltiplicate danno 5
Qui la pagina si separa da quelle che stampano che non ci sono radici reali e si fermano. Le due radici sono numeri perfettamente determinati, e le due colonne di controllo lo dimostrano: 2 e 5 sono la somma e il prodotto che l'equazione pretende, e gli stessi valori tornerebbero se le radici fossero reali. Chi ti ha detto che non c'è soluzione dovrebbe leggere le ultime due righe di questo esempio prima di crederci.
x² − 4x + 4 = 0
- Il discriminante: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
- Δ è esattamente zero, quindi le due radici coincidono
- La radice doppia è −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
- La pagina stampa 2 in entrambe le righe, e la somma è 4 perché la radice viene contata due volte
Il confine per cui il badge esiste. L'equazione è (x − 2)², quindi entrambe le righe dicono 2 e niente della coppia sembra un errore — ma chi conta le righe concluderebbe che le radici sono due quando è una. Il badge sopra il risultato dichiara una radice reale doppia, e il fatto che la somma sia 4 invece di 2 è l'aritmetica che dà ragione al verdetto.
Limiti
Questa pagina risolve le quadratiche e si ferma lì. Le cubiche, le quartiche e le equazioni con un termine x⁴ hanno metodi propri e pagine proprie altrove; qui non si estende nulla a quelle. Un coefficiente principale uguale a zero viene rifiutato invece di essere trattato in silenzio come un'equazione lineare, quindi bx + c = 0 deve passare alla calcolatrice della pendenza, che è la pagina che gestisce quella forma. Quando il discriminante è negativo le radici vengono stampate come numeri complessi nella forma a ± bi, che basta per leggerle e verificarle ma non è uno strumento completo di aritmetica complessa: moltiplicare due di quei numeri a mano tocca a te. Le radici si stampano con sei decimali quando sono irrazionali, ed è un limite di visualizzazione e non di precisione: il calcolo dietro è in doppia precisione piena e l'arrotondamento avviene solo all'uscita. L'ordine delle due radici è fissato da una convenzione e non dalla formula, quindi una pagina o un manuale che le elenca al contrario non contraddice questa pagina, le ordina soltanto in modo diverso. I coefficienti sono limitati a un milione in valore assoluto, che è un intervallo di visualizzazione e non un limite matematico. Infine la somma e il prodotto delle radici vengono stampati con gli stessi sei decimali di tutto il resto, quindi una somma esatta di un terzo tornerebbe come 0,333333 invece che come frazione: le colonne delle radici ricevono il trattamento della frazione e queste due no.
Domande frequenti
- Che cosa faccio quando il discriminante è negativo?
- Leggi le due radici che la pagina stampa comunque. Un discriminante negativo significa che le soluzioni sono una coppia coniugata di numeri complessi e non due soluzioni reali, e sono perfettamente determinate: x² − 2x + 5 ha le radici 1 + 2i e 1 - 2i. Molti manuali si fermano a dire che non ci sono radici reali, il che è vero ma incompleto: l'equazione ha comunque due soluzioni, e le colonne della somma e del prodotto qui sopra le confermano.
- Quale delle due radici è la prima?
- La maggiore. Il più o meno della formula non ordina le radici, quindi la pagina deve scegliere, e sceglie l'ordine decrescente: la radice 1 non è mai minore della radice 2. La cosa conta più di quanto sembri: senza un ordine fisso, cambiare il segno di b scambierebbe le due righe e chi confronta due calcoli penserebbe che le risposte sono cambiate.
- Perché una radice a volte è stampata come frazione e a volte come decimale?
- Le frazioni si stampano quando sono esatte e il denominatore è piccolo, i decimali altrimenti. 2x² + 3x − 2 ha le radici 1/2 e −2, e 1/2 è sia esatta sia corta, quindi si scrive come frazione: stampare 0,5 suggerirebbe un valore arrotondato. La sezione aurea è (1 + √5) ÷ 2, che non è una frazione e basta, quindi si scrive 1,618034 e il separatore decimale ti dice che è approssimata.
- Che succede se a è zero?
- La pagina rifiuta l'ingresso invece di risolverlo. Con a uguale a zero l'equazione è bx + c = 0, che è una retta con una sola radice pari a −c ÷ b, e le formule della somma e del prodotto delle radici dividono entrambe per a e smettono di significare qualcosa. La calcolatrice della pendenza gestisce le equazioni di quella forma, quindi il rifiuto la indica come il posto dove andare.
- A che cosa serve il discriminante?
- È il singolo numero che ti dice in quale dei tre casi ti trovi prima di calcolare qualunque altra cosa: Δ = b² − 4ac. Positivo significa due radici reali distinte, zero significa una radice reale doppia, negativo significa una coppia coniugata di radici complesse. Sta sotto la radice quadrata nella formula, quindi il suo segno è esattamente la domanda se ci sia una radice quadrata reale da estrarre.
- Posso usarla per controllare una scomposizione?
- Sì, e le colonne della somma e del prodotto sono lì apposta. Se pensi che x² − 3x + 2 si scomponga in (x − 1)(x − 2), le radici devono essere 1 e 2, la loro somma 3 e il loro prodotto 2, che è quello che il pannello stampa. Un errore di segno nel termine noto si vede subito come un prodotto con il segno sbagliato, il che è più rapido che riespandere le parentesi.
Riferimenti
- Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
- Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
- Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)