Calcolatrice delle potenze

bⁿ = b × b × … × b (n fattori) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

b

La base, il numero che viene moltiplicato per se stesso. È un numero puro, senza unità di misura, e può essere negativo, decimale o zero: ognuno dei tre ha la sua regola più sotto. Una base negativa è valida solo con un esponente intero, perché una radice pari di un numero negativo non è reale

n

L'esponente, il numero di volte che la base compare nel prodotto. Su questa pagina è un numero reale, non solo un intero: una frazione significa una radice (un esponente di 0,5 è la radice quadrata, uno di 0,3333 è vicino alla radice cubica), e un segno meno significa il reciproco della potenza positiva

bⁿ

La potenza stessa, la lettura principale. Viene stampata in notazione scientifica appena esce dall'intervallo che va da 0,001 a un milione, quindi 2 alla 64ª si mostra come una mantissa e un esponente del dieci invece che come un intero di venti cifre. Qui non c'è nessun tetto: l'unico limite è quello che un numero in doppia precisione può contenere

b × b × … × b

La forma espansa, la stessa espressione scritta come moltiplicazione ripetuta. I prodotti più lunghi di sei fattori vengono abbreviati con i puntini di sospensione; sotto quella soglia si scrivono per intero, ed è per questo che 3 alla 4ª mostra quattro fattori e 2 alla 10ª non ne mostra dieci

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

Che cosa fa un esponente negativo: prende il reciproco della potenza positiva, uno diviso il prodotto. 2 alla −3 è 1 ÷ 8, non −8. È la lettura sbagliata più comune di questa notazione, ed è il motivo per cui vale la pena stampare la forma espansa: il reciproco si vede lì e in nessun altro punto della pagina

b⁰ = 1

Qualsiasi base diversa da zero elevata a zero fa 1, e la forma espansa lo dice stampando un semplice 1 invece di un prodotto vuoto. La regola del passo indietro lo impone: ogni divisione per la base deve continuare a funzionare mentre l'esponente scende di uno, e b ÷ b fa 1, quindi il calcolo di 7 alla 0 non è una convenzione che la pagina ha scelto. Zero elevato a zero è l'unico caso che quella regola non riesce a sistemare, e viene rifiutato

0,5 come esponente

Un esponente frazionario è una radice: elevare un numero a 0,5 è la radice quadrata, a un terzo è la radice cubica. È questo che fa rifiutare una base negativa con un esponente frazionario: la radice cubica di un numero negativo è perfettamente reale, ma calcolarla per quella strada non lo è, e la calcolatrice delle radici è la pagina che conosce la differenza

Usala ogni volta che un numero viene moltiplicato per se stesso un numero fisso di volte e quello che ti interessa è il risultato: una crescita composta scritta come un unico fattore invece che come una catena di moltiplicazioni, un raddoppio ripetuto un numero stabilito di volte, un fattore di scala applicato ancora e ancora, la probabilità che lo stesso evento si ripeta di seguito, la dimensione di un'unità di memoria come potenza di due. È anche la pagina per le due notazioni che si confondono, il prodotto scritto per esteso e la potenza scritta in breve, perché le stampa tutte e due insieme: la forma espansa è la definizione e la potenza è il valore, e vederle affiancate è quello che rende leggibile l'esponente negativo. Usa la calcolatrice delle radici quando l'incognita è l'esponente e quello che ti serve è una radice, perché là i casi negativi e frazionari hanno regole proprie. Usa la calcolatrice della crescita esponenziale quando la base è fissa e ricavata da un tasso, che è la forma di ogni domanda su interessi e popolazioni. Usa la calcolatrice dei logaritmi quando la potenza è nota e l'esponente è quello che vuoi: è la stessa relazione letta al contrario.

1. 2 alla potenza di 10

   1. La base è 2 e l'esponente è 10, quindi si moltiplicano fra loro dieci fattori di 2
   2. A coppie: 2 × 2 = 4, poi 4 × 4 = 16, poi 16 × 16 = 256, che sono otto fattori
   3. Restano due fattori: 256 × 2 × 2 = 1024
   4. Il prodotto ha più di sei fattori, quindi la forma espansa viene abbreviata in 2 × 2 × … × 2

   La riga su cui finisce la tabella di riferimento, e l'unico numero di questa pagina che vale la pena sapere a memoria: un kilobyte è 1024 byte per via di questa riga. L'abbreviazione nella seconda lettura non è mancanza di spazio: dieci fattori e i puntini portano esattamente la stessa informazione di dieci fattori scritti per esteso, e il conteggio è già nell'esponente che hai digitato.

2. 2 alla potenza di −3

   1. L'esponente è negativo, quindi la risposta è il reciproco della potenza positiva
   2. Prima la potenza positiva: 2 × 2 × 2 = 8
   3. Il reciproco di 8 è 1 ÷ 8 = 0,125
   4. La forma espansa stampa il reciproco stesso, quindi la divisione si vede: 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   Il caso in cui la forma espansa si guadagna il suo posto. Chi legge il segno meno come se indicasse una risposta negativa si aspetta −8 e trova 0,125; la scrittura 1 ÷ (2 × 2 × 2) è quello che rende ovvio il reciproco invece di doverlo ricordare. È anche la scrittura che dice che la risposta doveva per forza venire minore di 1, visto che dividere uno per un numero maggiore di uno non può fare altro.

3. 1,05 alla potenza di 4

   1. Si moltiplicano fra loro quattro fattori di 1,05, che sono quattro anni di crescita al 5%
   2. Due fattori: 1,05 × 1,05 = 1,1025
   3. Quattro fattori: 1,1025 × 1,1025 = 1,21550625
   4. La potenza è stampata con sei decimali, quindi si legge 1,215506

   La forma in cui questa pagina viene usata più spesso fuori da un'aula: una base decimale appena sopra 1, un esponente che conta i periodi. Quattro fattori danno 1,2155, che equivale a dire che la quantità è cresciuta del 21,55% nei quattro periodi — il tasso di crescita è quello da cui la calcolatrice della crescita esponenziale ricava la base, e là la percentuale viene riportata direttamente invece di lasciarti fare la sottrazione.

4. 7 alla potenza di 0

   1. Un esponente zero significa che il prodotto è vuoto: non si moltiplica nessun fattore di 7
   2. Un prodotto vuoto fa 1, che è l'elemento neutro della moltiplicazione: moltiplicare per lui non cambia niente
   3. La regola del passo indietro è d'accordo: 7¹ ÷ 7 = 1, e 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, quindi 7⁰ deve fare 1 perché il disegno regga
   4. La forma espansa stampa il semplice 1 invece di una moltiplicazione vuota

   La voce che ci si aspetta più spesso valga 0, e che più spesso viene indovinata così. Non si sta moltiplicando niente, quindi non può uscirne niente: ma 1 è il valore che lascia corrette tutte le potenze vicine, ed è per questo che la definizione è un prodotto vuoto e non un appello all'intuito. La tabella di riferimento si apre su 2⁰ = 1 per lo stesso motivo.

5. −2 alla potenza di 3

   1. La base è negativa e l'esponente è un numero intero, che è la combinazione ammessa
   2. −2 × −2 = 4, perché moltiplicare due numeri negativi dà un positivo
   3. 4 × −2 = −8
   4. Il numero di fattori negativi è dispari, quindi il segno della risposta è negativo

   Una base negativa non viene rifiutata: viene rifiutata solo una base negativa con un esponente frazionario, perché è lì che la risposta smette di essere un numero reale. Il segno del risultato segue la parità dell'esponente, e la forma espansa lo rende contabile: tre fattori di −2 si accoppiano una volta e lasciano un fattore negativo in avanzo. Cambia l'esponente in 4 e la risposta è +16.

Questa pagina eleva un numero a potenza e non fa altro. Non somma le potenze, non le moltiplica fra loro e non ne combina due: le leggi degli esponenti sono enunciate nel blocco della formula e si applicano a mano, ed è una scelta voluta, dato che la pagina non ha una seconda base su cui applicarle. Non calcola logaritmi: dati una potenza e una base, ricavare l'esponente è la domanda inversa e appartiene alla calcolatrice dei logaritmi. Una base negativa è accettata solo con un esponente intero, e il rifiuto non è un'incapacità di calcolare — la radice cubica di −8 è davvero −2 — ma una decisione di instradamento, perché l'aritmetica che la produrrebbe è una radice e non una potenza, e la calcolatrice delle radici è la pagina che contiene quella regola. Il risultato è calcolato in doppia precisione ed è esatto solo dove la doppia precisione lo è: i numeri interi sono memorizzati esattamente fino a 2 alla 53ª, e oltre quella soglia un intero torna con gli interi vicini indistinguibili da lui. L'esponente è limitato a ±64 e la base a un milione, che sono intervalli di visualizzazione e non limiti matematici: il tetto vero è il punto in cui il risultato smette di essere un numero rappresentabile, e raggiungerlo solleva un errore invece di stampare un infinito. La forma espansa è abbreviata oltre i sei fattori, quindi è una lettura della moltiplicazione e non una sua trascrizione completa.

Che cosa significa un esponente negativo?

Significa il reciproco della potenza positiva, non un numero negativo. 2 con esponente −3 è 1 ÷ (2 × 2 × 2), cioè 0,125 — la risposta è minore di 1, non sotto zero. La forma espansa su questa pagina stampa la divisione invece del solo risultato, perché il segno meno è l'unico pezzo di questa notazione che viene letto regolarmente al contrario.

Perché qualsiasi numero elevato a zero fa 1?

Perché un esponente zero significa un prodotto vuoto, e un prodotto vuoto è l'elemento neutro della moltiplicazione, cioè 1. La regola del passo indietro dice la stessa cosa: ogni volta che l'esponente scende di uno il valore viene diviso per la base, e portare 7¹ = 7 giù di un gradino dà 7 ÷ 7 = 1. Non è mai 0: non si è moltiplicato niente, quindi non può uscirne niente.

Quanto fa 0 elevato a 0?

Non ha un valore definito, e questa pagina lo dice invece di stamparne uno. Su questo caso si scontrano due regole: qualsiasi base diversa da zero elevata a zero fa 1, e zero elevato a qualsiasi esponente positivo fa 0. JavaScript restituisce 1 per questa espressione, ma è una decisione presa dal linguaggio per coerenza fra le sue operazioni, non un risultato matematico, ed è per questo che la pagina la rifiuta invece di dargli ragione in silenzio.

Posso usare un esponente frazionario come 0,5?

Sì, con una base positiva: un esponente di 0,5 è la radice quadrata, quindi 2 alla 0,5 fa 1,414214. Una base negativa con un esponente frazionario viene rifiutata, perché quella risposta non è un numero reale: l'aritmetica che sta dietro a una potenza frazionaria passa da un logaritmo, e il logaritmo di un numero negativo non esiste nei reali. Le radici con indice dispari dei numeri negativi sono reali, e la calcolatrice delle radici è la pagina che conosce la differenza.

Perché la forma espansa si ferma a sei fattori?

Perché oltre quella soglia i puntini portano esattamente la stessa informazione del prodotto completo. 2 alla 64ª scritto per esteso è più di cento caratteri dello stesso fattore ripetuto, e il conteggio è già nell'esponente che hai digitato, quindi abbreviare in 2 × 2 × … × 2 non toglie niente. Sotto i sei fattori la moltiplicazione si scrive per intero, ed è per questo che 3 alla 4ª li mostra tutti e quattro.

Quando la risposta passa alla notazione scientifica?

Quando esce dall'intervallo che va da 0,001 a un milione. Dentro quella finestra il numero viene stampato come decimale ordinario, perché 9375 si coglie a colpo d'occhio mentre 9,375 × 10³ andrebbe prima tradotto. Fuori da lì si mostrano sia la mantissa sia l'esponente del dieci, quindi 2 alla 64ª si legge come 1.844674 × 10¹⁹ invece che come un intero di venti cifre senza grandezza visibile.

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the arithmetic of powers across number systems, and the reason a negative base with a non-integer exponent has no real value — Wikipedia