Calcolatrice dei logaritmi

log_b(x) = ln x / ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

L'argomento, il numero di cui si prende il logaritmo. Deve essere positivo: il logaritmo di 0 corre verso meno infinito, e il logaritmo di un numero negativo non è affatto un numero reale, quindi la pagina rifiuta entrambi invece di stampare un valore che sembra una risposta.

b

La base, il numero che viene elevato a potenza. Deve essere positiva e non può valere 1, perché 1 elevato a qualsiasi potenza fa ancora 1 — l'unico argomento che abbia un logaritmo in base 1 è 1 stesso, che è un'affermazione su 1 e non sull'argomento, quindi l'equazione smette di portare informazione e la pagina lo dice.

log_b(x)

Il logaritmo nella base che hai inserito, la lettura principale. È l'esponente che trasforma la base nell'argomento: il logaritmo in base 10 di 1000 è 3 perché 10 al cubo fa 1000. Letta al contrario, questa è anche il numero di volte che la base deve essere moltiplicata per se stessa, ed è quello che rende il logaritmo lo strumento naturale per tutto ciò che si moltiplica ripetutamente.

ln x

Il logaritmo naturale, il logaritmo in base e, dove e vale circa 2,718281828. Viene calcolato con la base fissa su e qualunque base ci sia nel campo, ed è il logaritmo in cui si scrive l'analisi matematica e quello per cui una calcolatrice scientifica ha un tasto dedicato. Il tempo di dimezzamento e la crescita continua si leggono direttamente da lui.

lg x

Il logaritmo decimale, il logaritmo in base 10, anch'esso calcolato a prescindere dalla base nel campo. È il logaritmo degli ordini di grandezza, ed è per questo che sta dietro al pH, ai decibel e alla scala Richter. Quando la base che inserisci è 10, questa colonna e quella principale stampano lo stesso numero, e quello è il punto e non una duplicazione.

1. Il logaritmo di 1000 in base 10

   1. Base 10, argomento 1000: è un logaritmo decimale
   2. 10 × 10 × 10 = 1000, quindi la base va moltiplicata per se stessa tre volte
   3. Il logaritmo è 3, ed è esatto e non arrotondato
   4. Anche la colonna del logaritmo decimale stampa 3, perché la base inserita è già 10

   Il caso con cui la pagina viene aperta più spesso, e la dimostrazione più pulita che un logaritmo è un esponente e non un tasto. Il logaritmo naturale dello stesso argomento è 6,907755, e i due numeri non sono rivali: contano lo stesso fatto in due basi diverse, e ciascuno dei due si trasforma nell'altro dividendolo per il logaritmo della nuova base.

2. Il logaritmo di 1024 in base 2

   1. Base 2, argomento 1024: la base con cui si contano i computer
   2. Raddoppiando dieci volte: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
   3. Quindi il logaritmo è 10, e 2 alla decima potenza fa 1024 esattamente
   4. Il cambio di base dà la stessa cosa: ln 1024 ÷ ln 2 = 6,931472 ÷ 0,693147

   Il caso in base 2 è quello in cui il logaritmo smette di essere un oggetto da aula e diventa una cosa che si conta: la risposta è quanti raddoppi servono, ed è per questo che compare dappertutto, dai prefissi binari alla profondità di un albero bilanciato. Vale la pena notare che la colonna del logaritmo decimale stampa 3,0103 e non 3: 1024 è poco più di mille, e quel poco è esattamente quello che la parte frazionaria registra.

3. Il logaritmo di 0,5 in base 2

   1. L'argomento è minore di 1, quindi il logaritmo è negativo
   2. 2 elevato a −1 fa 1 ÷ 2 = 0,5
   3. Il logaritmo è −1 esatto
   4. Qui ogni colonna è negativa, compresi i due logaritmi con un nome

   La metà della pagina che si sbaglia più facilmente a mano: un argomento sotto 1 dà un logaritmo negativo, e il logaritmo passa per lo zero esattamente in corrispondenza dell'argomento 1. Non esiste nessun altro argomento con logaritmo zero, in nessuna base, ed è il controllo più rapido su una risposta sospetta.

L'argomento deve essere un numero reale positivo. Zero e gli argomenti negativi vengono rifiutati invece che calcolati: il primo corre verso meno infinito e il secondo è un numero complesso, e nessuno dei due è qualcosa che questa pagina possa stampare. La base deve essere positiva e non può valere 1, per il motivo detto sopra e non come rifinitura del dominio. La pagina riporta sei decimali, che è un limite di visualizzazione e non di precisione: l'aritmetica sotto gira in doppia precisione piena, e il cambio di base viene calcolato in virgola mobile, quindi un logaritmo che dovrebbe essere un numero intero può uscirne a un soffio da esso e viene riarrotondato per la visualizzazione. Questo è uno strumento sui numeri reali: i logaritmi complessi, quelli di argomenti complessi e i tagli di ramo che si portano dietro restano fuori. La pagina non disegna grafici, non deriva e non integra niente, e la tabella di riferimento elenca solo logaritmi che vengono fuori interi: una tabella di logaritmi decimali andrebbe localizzata, dato che 0,301030 in alcune lingue si scrive 0.301030, mentre i numeri interi si scrivono allo stesso modo dappertutto.

Che cos'è un logaritmo?

È l'esponente che trasforma la base nell'argomento. Chiedere il logaritmo di 1000 in base 10 significa chiedere a quale potenza vada elevato 10 per ottenere 1000, e la risposta è 3. La definizione è tutta qui: b elevato al logaritmo in base b di x fa x. Ogni altra proprietà dei logaritmi — le regole per prodotti, quozienti e potenze — discende da quella frase, ed è per questo che la pagina stampa la forma esponenziale sotto la formula.

Perché la base non può essere 1?

Perché 1 elevato a qualsiasi potenza fa ancora 1. In base 1 l'equazione 1 elevato a y uguale a x ha soluzione solo quando x vale 1, e in quel caso va bene qualsiasi y, quindi il logaritmo non sarebbe un numero solo. L'aritmetica dice la stessa cosa dall'altro lato: calcolare con il cambio di base significa dividere per il logaritmo della base, e il logaritmo di 1 è 0 in ogni base, quindi si divide per zero. La pagina rifiuta la base 1 invece di restituire quello che la divisione in virgola mobile produce per caso.

Posso calcolare il logaritmo di un numero negativo?

Non come numero reale, e non su questa pagina. Il logaritmo di un argomento negativo è complesso, e questo è uno strumento sui numeri reali. Lo zero viene rifiutato per un motivo diverso: il logaritmo di 0 non è indefinito ma illimitato, corre verso meno infinito man mano che l'argomento si avvicina a 0 da sopra, e meno infinito non è un numero che questa pagina possa stampare. Entrambi i rifiuti nominano l'argomento che li ha causati.

Qual è la differenza fra ln e lg?

Sono la stessa operazione in due basi che hanno un nome. ln è il logaritmo naturale, in base e, dove e vale circa 2,718281828; lg è il logaritmo decimale, in base 10. La pagina li stampa entrambi qualunque base tu inserisca, perché nessuno dei due è un caso particolare dell'altro e tutti e due vengono richiesti per nome. ln è quello che compare nell'analisi e nella crescita continua, lg è quello che sta dietro al pH, ai decibel e a ogni scala misurata in ordini di grandezza.

Perché la pagina stampa due volte lo stesso numero?

Perché hai inserito una base che coincide con uno dei logaritmi con un nome. Con la base 10 la colonna principale e quella del logaritmo decimale contengono lo stesso numero, e con la base e succede lo stesso fra la principale e quella naturale. Non è un calcolo duplicato ma una conferma: è il modo in cui chi legge vede che la base digitata è quella del logaritmo a cui stava pensando. Con qualsiasi altra base le tre colonne danno tre numeri diversi.

Come si verifica a mano un logaritmo?

Eleva la base alla risposta e guarda se ti torna l'argomento. Per il logaritmo di 1024 in base 2 la risposta è 10, e 2 alla decima potenza fa 1024, quindi il controllo passa. Con una risposta frazionaria il controllo funziona ancora ma è più difficile a mente, ed è lì che la formula del cambio di base nella sezione della formula si guadagna il suo posto: dividere due logaritmi che hai già è più facile che andare a cercare l'esponente.

• Logarithm — the definition, the change of base formula this page computes with, and the domain restrictions on the base and the argument — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — the base-e logarithm, including the series and the derivative that make it the logarithm of calculus — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — the base-10 logarithm and its history as the logarithm of tables and orders of magnitude — Wolfram MathWorld (United States)