Calcolatrice del tempo di dimezzamento

N = N₀ × (½)^(t ÷ T) n = t ÷ T frazione rimanente = N ÷ N₀

N₀

La quantità iniziale, tutto quello che c'era prima che qualcosa decadesse. Su questa pagina non ha unità: grammi, becquerel, atomi e concentrazioni sono tutti lo stesso ingresso, perché la legge del decadimento chiede soltanto quale frazione è rimasta. Deve essere maggiore di zero — una quantità iniziale pari a zero trasforma la frazione rimanente in una divisione di zero per zero invece che in un numero piccolo

T

Il tempo di dimezzamento, il tempo che metà di ciò che è presente impiega ad andarsene. È una proprietà della sostanza e non del campione, quindi non cambia quando cambia la quantità iniziale. Va inserito nella stessa unità del tempo trascorso; la pagina non chiede quale unità sia, perché i due tempi si dividono fra loro e il rapporto non cambia convertendoli entrambi

t

Il tempo trascorso, l'intervallo su cui stai chiedendo. Si misura nella stessa unità del tempo di dimezzamento e non può essere negativo — la formula girerebbe volentieri all'indietro, ma quanto c'era prima è una domanda diversa da quella per cui questo pannello è costruito

n = t ÷ T

Il numero di emivite trascorse, la seconda lettura e quella che rende verificabile tutto il resto. Le emivite si contano, non si decadono a passi interi: 2,5 è un valore del tutto normale e significa che il campione si trova fra due e tre dimezzamenti. Viene stampato con quattro decimali, così 2,9999 e 3 restano distinguibili, dato che quei due valori significano quasi tre emivite e esattamente tre

(½)^n

La frazione rimanente, un mezzo moltiplicato per sé stesso una volta per ogni emivita. È tutta la legge del decadimento: nessuna costante, nessuna base diversa da un mezzo e nessuna dipendenza dalla sostanza oltre al tempo di dimezzamento. Dieci emivite lasciano meno di un decimo di punto percentuale, e la frazione non raggiunge mai esattamente lo zero, per quante emivite passino, anche se alla fine va in underflow a zero nella doppia precisione

N = N₀ × (½)^n

La quantità rimanente, la lettura principale. È la quantità iniziale riscalata di quella frazione, quindi è una risposta proporzionale e non assoluta: raddoppiare la quantità iniziale raddoppia ciò che resta in ogni punto della curva, e la percentuale non ne è toccata

N ÷ N₀

La frazione rimanente espressa in percentuale, stampata con il segno di percentuale già attaccato. È la lettura da citare quando la sostanza è ignota — è rimasto circa il 25 per cento dice tutto quello che direbbe 2,5 becquerel una volta nota l'attività di partenza, ed è l'unica delle tre che sopravvive a un cambio della quantità iniziale

Usala quando qualcosa decade a un ritmo espresso come tempo di dimezzamento, che è il modo in cui si scrive il decadimento di tutto ciò che è instabile: un radioisotopo, un farmaco che si smaltisce dal corpo, un inquinante che si degrada, una popolazione che si estingue in proporzione fissa. È anche la pagina per le due domande che circondano la datazione al carbonio — quanto carbonio-14 originale resta dopo un certo numero di anni, e a quante emivite corrisponde una frazione misurata, dove il secondo passaggio è quello che diventa un'età. Rivolgiti alla calcolatrice della crescita esponenziale quando la base non è un mezzo ma è ricavata da un tasso, che è la stessa legge con una costante diversa. Rivolgiti alla calcolatrice del tempo di raddoppio quando la domanda va nel verso opposto e la quantità cresce, dato che raddoppiare è dimezzare letto al contrario. Rivolgiti alla calcolatrice dell'interesse composto quando lo stesso esponente viene applicato al denaro, dove la moltiplicazione avviene secondo un calendario invece che in modo continuo. E tieni presente che il decadimento qui è esponenziale puro: se il fenomeno che stai misurando non segue questa legge, il numero che ottieni è solo un'approssimazione di comodo.

1. 100 unità con emivita 5, dopo 15

   1. Emivite trascorse: 15 ÷ 5 = 3
   2. Frazione rimanente: (½)³ = 1 ÷ 8 = 0,125
   3. Quantità rimanente: 100 × 0,125 = 12,5
   4. In percentuale: 12,5%

   La riga che porta anche la tabella di riferimento, e la più facile da controllare senza la pagina: tre dimezzamenti di 100 fanno 50, poi 25, poi 12,5. Quella lettura a dimezzamenti successivi è esattamente il motivo per cui esiste il conteggio delle emivite, ed è perché la pagina lo stampa accanto alla quantità — la sola quantità non dice nulla su quanto avanti sei lungo la curva.

2. Carbonio-14 con emivita di 5730 anni, dopo 11.460

   1. Emivite trascorse: 11.460 ÷ 5730 = 2
   2. Frazione rimanente: (½)² = 0,25
   3. Quantità rimanente: 1 × 0,25 = 0,25
   4. In percentuale: 25%

   Il caso attorno a cui la pagina è stata progettata, e la ragione per cui i due campi di tempo non hanno un selettore di unità: qui le unità sono anni, e il tempo di dimezzamento è ben oltre qualunque cosa un elenco di ore e settimane potrebbe contenere. La quantità iniziale è 1 invece di una misura reale, così la risposta si legge direttamente come frazione — dopo due emivite resta un quarto del carbonio-14 di partenza, che è la prima metà del ragionamento in ogni datazione al radiocarbonio.

3. 200 unità con emivita 4, dopo 10

   1. Emivite trascorse: 10 ÷ 4 = 2,5
   2. Frazione rimanente: (½)^2,5 = 1 ÷ √32 = 0,176776695…
   3. Quantità rimanente: 200 × 0,176776695… = 35,355339…
   4. In percentuale: 17,67767%

   Il caso ordinario, e quello che mostra come le emivite non si contino a passi interi: ne sono passate due e mezza, quindi il campione si trova fra un quarto e un ottavo di ciò con cui era partito. Qui la frazione è un numero irrazionale, ed è per questo che la risposta porta decimali — sarebbe esatta solo se il tempo trascorso fosse un numero intero di emivite. Leggere 2,5 come conteggio fa un lavoro vero: moltiplica il 12,5 per cento per la radice quadrata di un mezzo e ottieni lo stesso 17,68 per cento.

4. 80 unità con emivita 12, dopo esattamente 12

   1. Emivite trascorse: 12 ÷ 12 = 1
   2. Frazione rimanente: (½)¹ = 0,5
   3. Quantità rimanente: 80 × 0,5 = 40
   4. In percentuale: 50%

   Una sola emivita, che è la definizione della grandezza presa in esame e non un caso particolare. È la riga da usare quando ti è stato citato un tempo di dimezzamento e vuoi confermare che significhi quello che pensi: qualunque cosa tu abbia in partenza, dopo quel tempo ne è sparita la metà, e niente della quantità iniziale cambia la risposta.

Questa pagina risponde in una direzione sola: data una quantità iniziale, un tempo di dimezzamento e un intervallo, quanto è rimasto. Le domande inverse — quanto tempo serve per arrivare a una certa quantità, e quale sia il tempo di dimezzamento date una quantità iniziale e una finale — non sono campi di questo pannello, anche se entrambe discendono dalla stessa equazione e entrambe vengono svolte nel blocco della formula e nelle domande qui sotto. Non esiste una pagina calcolatrice per nessuna delle due, quindi chi ne ha bisogno deve riordinare l'esponente invece di aspettarsi un secondo insieme di campi. I due campi di tempo condividono un'unità e la pagina non chiede mai quale: inserire un tempo di dimezzamento in giorni e un tempo trascorso in ore dà una risposta sbagliata di un fattore ventiquattro, e quella risposta torna indietro con un aspetto del tutto normale, ed è l'unico errore di questa pagina che non si possa scoprire dall'interno. La quantità iniziale non è etichettata, quindi la pagina non può convertire fra unità di massa o di attività: grammi dentro, grammi fuori. Non ci sono classificazioni: quanto è rimasto è una lettura continua e la pagina la stampa invece di giudicarla. La frazione non raggiunge mai lo zero, ma va in underflow: oltre un migliaio di emivite il risultato in virgola mobile è esattamente zero, e quello è un limite dell'aritmetica e non un'affermazione sulla sostanza. Infine questo è un modello di decadimento a dimezzamenti interi e presuppone che il ritmo sia costante, che è ciò che significa tempo di dimezzamento e non è vero per tutto ciò che svanisce.

Come si calcola quanto resta dopo un tempo dato?

Dividi il tempo trascorso per il tempo di dimezzamento e ottieni il numero di emivite, poi dimezza la quantità iniziale quel numero di volte. Con un tempo di dimezzamento di 5 e un tempo trascorso di 15 sono passate tre emivite, quindi la frazione rimanente è 1 ÷ 8 e una quantità iniziale di 100 ne lascia 12,5. La pagina fa la stessa cosa in un'unica espressione: la quantità iniziale per un mezzo elevato al tempo trascorso diviso il tempo di dimezzamento.

Quanto tempo passa prima che ne resti solo una certa quantità?

Gira l'equazione dall'altra parte. Dividi la quantità che vuoi raggiungere per quella iniziale e ottieni la frazione, prendi il logaritmo di quella frazione in base un mezzo e moltiplicalo per il tempo di dimezzamento. Volere che resti un ottavo dell'originale significa tre emivite, qualunque sia la sostanza; volerne un quarto significa due, quindi un tempo di dimezzamento di 5730 anni porta quella risposta a 11.460 anni. Il conteggio delle emivite è la parte che conviene fare per prima, perché il resto è una moltiplicazione.

In che unità devono stare il tempo di dimezzamento e il tempo trascorso?

In una qualunque, purché sia la stessa per entrambi. I due tempi si dividono fra loro, quindi un tempo di dimezzamento di 5 giorni con un tempo trascorso di 15 giorni dà esattamente la stessa risposta di 120 ore con 360 ore. La pagina di proposito non ha un selettore di unità, perché le unità che si usano davvero vanno dai secondi ai miliardi di anni e nessun elenco le conterrebbe tutte. Il prezzo è che mescolare le unità non viene rilevato: giorni contro ore dà una risposta ventiquattro volte troppo grande, e sembra del tutto normale.

La risposta arriva mai a zero?

Non per ragioni matematiche: ogni emivita toglie metà di ciò che c'è, e la metà di un numero positivo è sempre positiva, quindi la frazione rimanente si avvicina a zero senza arrivarci. In pratica però ci arriva: un computer memorizza i numeri con precisione finita, e oltre un migliaio di emivite il risultato va in underflow e torna esattamente zero. È l'aritmetica che si esaurisce, non la sostanza che sparisce, e succede molto al di là di qualsiasi intervallo in cui il modello venga usato sul serio.

Che differenza c'è fra tempo di dimezzamento e costante di decadimento?

Descrivono lo stesso decadimento in due modi. La costante di decadimento è il ritmo per unità di tempo che sta nell'esponente, mentre il tempo di dimezzamento è il tempo perché metà della sostanza se ne vada; i due sono legati da un fattore pari al logaritmo naturale di due, con il tempo di dimezzamento uguale a quel logaritmo diviso la costante di decadimento. Questa pagina usa il tempo di dimezzamento perché è così che i numeri vengono pubblicati — 5730 anni per il carbonio-14, qualche ora per un farmaco — mentre la costante di decadimento è ciò che compare se scrivi la stessa legge usando il numero e come base.

La quantità iniziale cambia quanto dura il decadimento?

No. È tutto il senso di un tempo di dimezzamento: è una proprietà della sostanza, non del campione. Partire da 200 unità invece che da 100 significa che resta 200 volte due alla meno n invece di 100 volte due alla meno n, quindi ogni quantità lungo la curva è raddoppiata e le percentuali sono identiche. Il numero di emivite e la frazione rimanente non si spostano affatto quando cambi la quantità iniziale.

• Half-Life — the definition of the half-life and the exponential decay law that this page evaluates, including the relation between the number of half-lives and the fraction remaining — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the general law of which this page is the half-life case, with the decay constant and the half-life related by a factor of the natural logarithm of two — Wolfram MathWorld (United States)
• Radiocarbon dating — how the remaining fraction of carbon-14 in a sample is turned into an age, which is the step that follows the number this page prints — Wikipedia