Calcolatrice del tempo di raddoppio

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

Il tasso di crescita per un periodo, scritto come numero decimale invece che come percentuale: un tasso del 5 percento per periodo entra nella formula come 0,05. Deve essere positivo, perché una quantità che non cresce non raddoppia mai, e nel campo si inserisce come percentuale. Quello che descrive è la crescita composta — la crescita di ogni periodo si applica al totale, compreso tutto quello cresciuto prima, ed è questo che rende il tempo di raddoppio finito invece che impossibile.

ln 2

Il logaritmo naturale di due, circa 0,693147, e l'unica costante della formula esatta. Compare perché raddoppiare significa che il fattore di crescita ha raggiunto esattamente due, quindi la domanda è quante moltiplicazioni per (1 + r) servano per trasformare uno in due — e il logaritmo è l'operazione che risponde.

t

Il tempo di raddoppio, in periodi, stampato con tre decimali. Non porta unità di misura propria: se il tasso che hai inserito era mensile, t è un numero di mesi; se era annuale, t è un numero di anni. L'ultimo raddoppio è parziale, ed è per questo che t non è un numero intero: dopo 14 periodi al 5 percento la quantità è un po' sotto il doppio, e lo supera a metà del quindicesimo.

R

Lo stesso tasso, ma in percentuale, cioè il numero digitato nel campo. La regola del 72 è l'approssimazione che divide 72 per R, ed è la seconda lettura del pannello. È accurata intorno all'8 percento, sovrastima ai tassi bassi e sottostima a quelli alti, ed esiste perché una divisione per un numero tondo era molto più facile da fare a mente di un logaritmo.

Ricorri a questa pagina quando il tasso di crescita è noto e quello che vuoi è il tempo. La calcolatrice della crescita esponenziale fa girare lo stesso modello nella direzione opposta, partendo da una quantità iniziale e da un numero di periodi; la calcolatrice del tempo di dimezzamento è l'immagine speculare, con un fattore di un mezzo invece che di due; e la calcolatrice della regola del 72 è la stessa aritmetica in un contesto di denaro, dove il titolo è la regola pratica e non la risposta esatta.

1. Cinque percento per periodo

   1. Il tasso come numero decimale è 0,05, quindi ogni periodo moltiplica la quantità per 1,05
   2. La risposta esatta è ln 2 ÷ ln 1,05 = 0,693147 ÷ 0,048790 = 14,207 periodi
   3. La regola del 72 dà 72 ÷ 5 = 14,4 periodi
   4. Le due concordano a poco più di una settimana di periodo, che è il divario abituale fra la regola e la verità

   Il controllo a mano è facile: 1,05 elevato alla quattordicesima potenza fa 1,98, appena sotto il due, e alla quindicesima fa 2,08, appena sopra. Quindi l'attraversamento avviene fra il quattordicesimo e il quindicesimo periodo, esattamente dove dice 14,207. Vale la pena farlo una volta, perché mostra che quel decimale è una posizione su una linea del tempo e non un artefatto di contabilità.

2. Uno percento per periodo

   1. La risposta esatta è ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 periodi
   2. La regola del 72 dà 72 ÷ 1 = 72 periodi
   3. Qui la regola sbaglia di 2,3 periodi, che all'uno percento significa più di due periodi di attesa in più
   4. L'errore è sistematico e non casuale: la regola del 72 è tarata sui tassi intorno all'8 percento e deriva all'estremo basso

   Il divario ai tassi bassi è il motivo per cui le due letture vengono mostrate affiancate invece che una al posto dell'altra. Una regola pratica che sbaglia di due periodi su una vita di capitalizzazione è una differenza reale, e vedere entrambi i numeri è quello che ti dice a quale fidarti per il tasso che hai davvero.

3. Venti percento per periodo

   1. La risposta esatta è ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 periodi
   2. La regola del 72 dà 72 ÷ 20 = 3,6 periodi
   3. Questa volta la regola sta sotto invece che sopra, che è quello che succede oltre l'8 percento
   4. Il controllo: 1,2 al cubo fa 1,728 e 1,2 alla quarta fa 2,074, quindi l'attraversamento sta fra il terzo e il quarto periodo

   Fra questo esempio e quello all'uno percento l'errore della regola cambia segno — sovrastima ai tassi bassi, sottostima a quelli alti — e quella è la forma dell'approssimazione, non un difetto. Il tasso in cui le due letture si avvicinano di più è intorno all'8 percento, dove la regola dà 9 e la risposta esatta è 9,006.

Il tempo di raddoppio non ha unità di misura propria. Si misura nel periodo in cui è stato misurato il tasso, quindi 14,207 è in anni se il tasso era annuale, in mesi se era mensile e in minuti se stavi osservando dei batteri. La pagina non può saperlo e non tira a indovinare. Il tasso deve essere positivo e sta fra 0,1 e 1000 percento per periodo; lo zero viene rifiutato perché nessuna delle due formule ha una risposta per lui, e un tasso negativo descrive una quantità che si riduce, che non raddoppia mai e appartiene alla calcolatrice del tempo di dimezzamento. La costante 2 è fissa: questa pagina trova il tempo per raddoppiare e non le si può chiedere il tempo per triplicare o per crescere di qualsiasi altro multiplo. La crescita è assunta liscia e costante, applicata in modo continuo invece che a scatti annuali, che è il modello abituale ma non quello che fa davvero una banca. La lettura della regola del 72 è un'approssimazione per costruzione e viene mostrata per confronto e non come risposta, e qui non viene dato nessun calcolo dell'errore fra le due letture.

Come si calcola il tempo di raddoppio?

Si divide il logaritmo naturale di 2 per il logaritmo naturale di uno più il tasso. Al 5 percento per periodo è 0,693147 ÷ 0,048790, che fa 14,207 periodi. Il logaritmo fa il lavoro perché raddoppiare è una moltiplicazione ripetuta un numero di volte incognito, e il logaritmo è ciò che la trasforma in una divisione.

Che cos'è la regola del 72 ed è accurata?

È la scorciatoia che divide 72 per il tasso in percentuale, quindi al 5 percento si raddoppia in circa 14,4 periodi. È accurata entro qualche punto percentuale intorno all'8 percento, sovrastima il tempo ai tassi bassi — all'1 percento dice 72 contro un valore vero di 69,661 — e lo sottostima a quelli alti, dove il 20 percento dà 3,6 contro un valore vero di 3,802. Questa pagina mostra entrambi i numeri proprio perché il divario sia visibile al tasso che hai davvero.

Il tempo di raddoppio è misurato in anni?

Solo se il tasso di crescita che hai inserito era annuale. Il tasso è per periodo e il periodo è quello che decidi tu: un tasso mensile dà una risposta in mesi, uno giornaliero in giorni, e una coltura batterica che raddoppia ogni venti minuti dà una risposta in unità da venti minuti. La pagina non etichetta l'output di proposito, perché non può sapere quale intendevi.

Perché un tasso di crescita nullo o negativo viene rifiutato?

Perché non raddoppia niente. A zero la quantità resta dov'è per sempre e la regola del 72 divide per zero; a un tasso negativo la quantità si riduce e la domanda onesta diventa il tempo di dimezzamento invece di quello di raddoppio. I tassi sotto lo 0,1 percento per periodo vengono rifiutati per lo stesso motivo pratico, e il caso in diminuzione lo prende la calcolatrice del tempo di dimezzamento.

Qual è la differenza fra questa e la crescita esponenziale?

La direzione. Questa pagina parte da un tasso di crescita e restituisce un tempo; la calcolatrice della crescita esponenziale parte da un tasso e da un numero di periodi e restituisce la quantità che ne risulta. Il modello sotto è lo stesso, quindi un tempo di raddoppio di 14,207 periodi al 5 percento è esattamente l'affermazione che il fattore di crescita raggiunge 2 in quel punto della curva esponenziale.

• Exponential Growth — growth at a rate proportional to the current quantity, and the doubling time that follows from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — the base e, the natural logarithm that undoes it, and why ln 2 appears in every doubling formula — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same growth factor applied period after period, which is where the doubling time is usually met first — Wolfram MathWorld (United States)