Come funziona la regola del 72?

Dividi 72 per il tasso annuo e il risultato è all'incirca quanti anni impiega il denaro a raddoppiare. All'otto per cento sono 9,00 anni e la risposta esatta è 9,006 anni, quindi la scorciatoia è quasi perfetta; all'uno per cento dice 72 anni quando la risposta esatta è 69,661, e al venti per cento dice 3,60 quando la risposta esatta è 3,802. La scorciatoia è uno strumento di calcolo mentale e questa pagina le affianca il tempo di raddoppio esatto.

Perché la regola del 72 è solo approssimativa?

Perché sostituisce un logaritmo con una divisione. Il tempo di raddoppio esatto si ottiene risolvendo l'equazione dell'interesse composto rispetto al numero di periodi, che dà il logaritmo naturale di due diviso il logaritmo di uno più il tasso. La scorciatoia usa invece un numeratore fisso, e il numeratore fisso è un buon sostituto solo su un intervallo di tassi: le due risposte si incrociano da qualche parte fra il sette e l'otto per cento e si allontanano in direzioni opposte ai due lati di quell'incrocio.

Da che parte sbaglia la regola del 72?

Da tutte e due, a seconda del tasso, e questa è la parte che quasi nessuno si aspetta. Sotto il punto di incrocio la scorciatoia dà una risposta troppo lunga: all'uno per cento dice 72 anni contro un valore esatto di 69,661, esagerando l'attesa di più di due anni. Sopra quel punto dà una risposta troppo corta: al venti per cento dice 3,60 contro 3,802 esatti. Il segno dell'errore cambia fra il sette per cento, dove è ancora positivo, e l'otto per cento, dove è già diventato negativo.

Che cosa significa il moltiplicatore agli anni della regola?

È quello in cui il tuo denaro si trasforma davvero se aspetti esattamente quanto la scorciatoia ti ha detto di aspettare. Far crescere un saldo all'otto per cento per 9 anni dà 1,9990 volte il tuo denaro invece delle 2 volte che la regola lascia intendere, e al venti per cento, aspettando i 3,60 anni della regola, se ne ottengono solo 1,9278. Converte l'errore da anni in denaro, che è la forma in cui l'errore ti costa effettivamente qualcosa.

Posso usare la regola del 72 con un tasso basso?

Puoi, ma l'errore cresce in fretta man mano che il tasso scende, e cresce nella direzione di esagerare l'attesa. All'uno per cento la scorciatoia dice 72 anni mentre il tempo di raddoppio esatto è 69,661, uno scarto di più di due anni, e un saldo fatto crescere all'uno per cento per 72 anni finisce a 2,0471 volte il valore di partenza. Il campo non accetta affatto un tasso pari o inferiore a zero, perché sia la divisione sia il logaritmo lì si rompono.

La regola del 72 tiene conto dell'inflazione o delle imposte?

No, e nemmeno il valore esatto di questa pagina. Entrambi lavorano sul tasso che digiti, quindi se quel tasso è un rendimento nominale il tempo di raddoppio è in denaro nominale, e un saldo che raddoppia in termini nominali in ventiquattro anni con un'inflazione al tre per cento non è raddoppiato in potere d'acquisto. Lo stesso vale per le imposte: un rendimento tassato lungo il percorso si capitalizza a un tasso effettivo più basso, e il tempo di raddoppio del tasso al netto delle imposte è più lungo di quello qui mostrato.

Calcolatrice della regola del 72

Risultato

9,00

Anni per raddoppiare, regola del 72

Anni per raddoppiare, valore esatto: 9,006
Errore della regola del 72: -0,006
Moltiplicatore effettivo dopo gli anni della regola: 1,9990

La regola del 72 è una scorciatoia per sapere quanto tempo impiega il denaro a raddoppiare: dividi 72 per il tasso annuo e ottieni il numero di anni. È davvero utile ed è davvero approssimativa, e questa pagina stampa entrambe le metà di quella frase. Il primo risultato è quello che dice la regola. Il secondo è la risposta esatta, che si ottiene risolvendo l'equazione dell'interesse composto rispetto al tempo invece di dividere qualcosa, e il terzo è la differenza fra i due. Quella differenza è il numero interessante, perché cambia segno. All'uno per cento all'anno la regola dice 72 anni mentre la risposta esatta è 69,661, quindi la scorciatoia esagera l'attesa di più di due anni. Al venti per cento la regola dice 3,60 anni mentre la risposta esatta è 3,802, quindi la sottostima. Da qualche parte fra il sette e l'otto per cento le due si incrociano e la regola è quasi esattamente giusta, ed è per questo che l'otto per cento è il valore predefinito di questa pagina e che la tabella qui sotto include sia il sette sia l'otto invece di sceglierne uno. Il quarto risultato riformula lo stesso errore in denaro invece che in tempo: fa crescere un saldo al tuo tasso per esattamente tutti gli anni che la regola ti ha detto di aspettare, e riporta quello che ottieni davvero. All'otto per cento sono 1,9990 volte il tuo denaro invece di 2, e al venti per cento sono solo 1,9278 volte. Questa pagina non tenta di spiegare da dove viene il numero 72 — è una questione di storia e di convenzione, e la cosa utile qui è l'aritmetica che puoi verificare da solo.

Nove tassi dall'1% al 20%: la regola, la risposta esatta e lo scarto fra le due

Tasso (%)	Regola del 72 (anni)	Valore esatto (anni)	Errore (anni)	Moltiplicatore agli anni della regola
1	72	69.661	2.339	2.0471
2	36	35.003	0.997	2.0399
5	14.4	14.207	0.193	2.019
7	10.29	10.245	0.041	2.0055
8	9	9.006	-0.006	1.999
10	7.2	7.273	-0.073	1.9862
12	6	6.116	-0.116	1.9738
15	4.8	4.959	-0.159	1.9559
20	3.6	3.802	-0.202	1.9278

Leggi la colonna dell'errore dall'alto verso il basso e guardala cambiare segno, perché è tutto lì il senso della tabella. All'uno per cento la regola è più lunga di 2,339 anni; lo scarto si riduce via via che il tasso sale e attraversa il sette per cento, dove è ancora appena positivo a 0,041, e l'otto per cento, dove è appena diventato negativo a −0,006. È per questo che ci sono entrambe le righe: una tabella che saltasse dal cinque al dieci per cento mostrerebbe una colonna che diventa solo più negativa e nasconderebbe il fatto che la scorciatoia dà il meglio di sé nel mezzo. Sotto l'incrocio la colonna del moltiplicatore sta sopra 2, cioè la regola ti ha fatto aspettare più del necessario; sopra l'incrocio il moltiplicatore scende sotto 2 e continua a calare, e al venti per cento la scorciatoia ti lascia con 1,9278 volte il tuo denaro invece di 2. Una nota di lettura: le cifre calcolate dentro questa tabella sono stampate con il punto e senza separatore di migliaia, mentre il testo qui sopra usa la virgola — sono lo stesso numero scritto in due modi, non due numeri diversi.

Formula

Regola del 72: anni per raddoppiare ≈ 72 ÷ tasso annuo; esatto: anni = ln(2) ÷ ln(1 + tasso annuo ÷ 100)

Tasso annuo: Il tasso annuo in percentuale — 8 significa otto per cento — che deve stare sopra lo zero, perché entrambe le espressioni dividono per qualcosa che lì si annulla
72: Il numeratore della scorciatoia, scelto perché la divisione riesca facile a mente ai tassi che si incontrano più spesso
ln(2): Il logaritmo naturale di due, circa 0,6931, che compare perché raddoppiare significa risolvere (1 + r) elevato a n uguale a 2
Anni per raddoppiare: Quanto tempo impiega il denaro a raddoppiare a un tasso che viene capitalizzato; la scorciatoia e la risposta esatta sono riportate una accanto all'altra
Errore: La risposta della scorciatoia meno quella esatta, che è positiva ai tassi bassi e negativa a quelli alti
Moltiplicatore agli anni della regola: In quanto si trasforma davvero il tuo denaro se aspetti esattamente quanto la scorciatoia ti ha detto di aspettare, cioè poco sotto due a quasi ogni tasso

Usa la scorciatoia quando ti serve una risposta a mente durante una conversazione, e usa il valore esatto quando la risposta andrà messa per iscritto. Poiché le due concordano da vicino nell'intervallo in cui vivono quasi tutti i tassi ordinari, la scorciatoia dà il meglio di sé nella pianificazione approssimativa fra il cinque e il dieci per cento, e dà il peggio ai due estremi: sotto il tre per cento circa esagera l'attesa in modo pesante, e sopra il quindici per cento circa la sottostima. Il moltiplicatore risponde alla domanda che l'errore solleva senza risolvere, cioè se sbagliare di un quinto di anno ti costi davvero qualcosa. Al venti per cento, aspettare i 3,6 anni della regola invece dei 3,802 esatti ti lascia con 1,93 volte il tuo denaro invece di 2 — una perdita di circa il sette per cento del guadagno, che vale la pena di conoscere prima di usare la scorciatoia su un tasso alto.

Esempi svolti

Otto per cento: il tasso in cui la regola è quasi esatta
1. La regola: 72 ÷ 8 = 9,00 anni
2. Il valore esatto: ln(2) ÷ ln(1,08) = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 anni
3. Errore: 9,00 − 9,006 = −0,006 anni, circa due giorni
4. Crescendo all'8% per esattamente 9 anni: 1,08⁹ = 1,9990
È il valore predefinito della pagina perché è il caso migliore della regola, e vale la pena vedere quanto è buono il caso migliore: la scorciatoia sbaglia di circa due giorni su nove anni. Il moltiplicatore è l'indizio che anche qui non è esatta — nove anni all'otto per cento capitalizzati danno 1,9990 volte il tuo denaro, non 2, e servono ancora un paio di giorni per chiudere quell'ultimo millesimo.
Uno per cento: la regola esagera l'attesa di più di due anni
1. La regola: 72 ÷ 1 = 72,00 anni
2. Il valore esatto: ln(2) ÷ ln(1,01) = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 anni
3. Errore: 72,00 − 69,661 = +2,339 anni
4. Crescendo all'1% per 72 anni: 1,01⁷² = 2,0471
A un tasso da conto di risparmio la scorciatoia è generosa su quanto devi aspettare, e la direzione è opposta a quella che quasi tutti immaginano. Il moltiplicatore lo rende concreto: aspettare i 72 anni della regola all'uno per cento ti lascia con 2,0471 volte il tuo denaro invece di 2, quindi i due anni e rotti in più non sono sprecati, superano semplicemente il bersaglio. È l'errore più grande della tabella.
Venti per cento: adesso la regola sottostima l'attesa
1. La regola: 72 ÷ 20 = 3,60 anni
2. Il valore esatto: ln(2) ÷ ln(1,2) = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 anni
3. Errore: 3,60 − 3,802 = −0,202 anni
4. Crescendo al 20% per 3,6 anni: 1,2^3,6 = 1,9278
Confronta questo caso con quello all'uno per cento e il senso della pagina diventa visibile: l'errore ha cambiato segno. Adesso la regola promette il raddoppio un quinto di anno troppo presto, e se ti fidi ottieni 1,9278 volte il tuo denaro invece di 2 — circa il sette per cento del guadagno che ti aspettavi. I due casi sono deliberatamente lontani come tasso e vicini come dimensione dell'errore in anni, ed è per questo che l'errore in anni è una guida scarsa da solo e che il moltiplicatore gli sta stampato accanto.

Limiti

La regola del 72 è un'approssimazione e questa pagina non finge il contrario; quello che fa è dirti quanto è grande l'approssimazione al tuo tasso. Presuppone che il tasso sia capitalizzato e che resti lo stesso per tutto il periodo — un tasso che cambia a metà strada non ha un tempo di raddoppio unico, e la regola non ha modo di esprimerlo. Funziona solo su un tasso maggiore di zero, perché sia la divisione sia il logaritmo falliscono a zero, ed è per questo che il campo non accetta un tasso sotto un decimo di punto percentuale. Non dice nulla su imposte o inflazione, quindi il tempo di raddoppio che riporta è in denaro nominale: con un'inflazione al tre per cento un saldo che raddoppia in ventiquattro anni non è raddoppiato in potere d'acquisto. E descrive un unico capitale lasciato lì dov'è, quindi non si applica a una serie di versamenti, dove l'aritmetica è un'altra e la risposta è più breve. Infine la scorciatoia è una regola sul numero 72, non sul tuo investimento — il valore esatto è quello da usare quando la cifra conta, e la scorciatoia è quella da usare quando stai parlando.

Domande frequenti

Come funziona la regola del 72?: Dividi 72 per il tasso annuo e il risultato è all'incirca quanti anni impiega il denaro a raddoppiare. All'otto per cento sono 9,00 anni e la risposta esatta è 9,006 anni, quindi la scorciatoia è quasi perfetta; all'uno per cento dice 72 anni quando la risposta esatta è 69,661, e al venti per cento dice 3,60 quando la risposta esatta è 3,802. La scorciatoia è uno strumento di calcolo mentale e questa pagina le affianca il tempo di raddoppio esatto.
Perché la regola del 72 è solo approssimativa?: Perché sostituisce un logaritmo con una divisione. Il tempo di raddoppio esatto si ottiene risolvendo l'equazione dell'interesse composto rispetto al numero di periodi, che dà il logaritmo naturale di due diviso il logaritmo di uno più il tasso. La scorciatoia usa invece un numeratore fisso, e il numeratore fisso è un buon sostituto solo su un intervallo di tassi: le due risposte si incrociano da qualche parte fra il sette e l'otto per cento e si allontanano in direzioni opposte ai due lati di quell'incrocio.
Da che parte sbaglia la regola del 72?: Da tutte e due, a seconda del tasso, e questa è la parte che quasi nessuno si aspetta. Sotto il punto di incrocio la scorciatoia dà una risposta troppo lunga: all'uno per cento dice 72 anni contro un valore esatto di 69,661, esagerando l'attesa di più di due anni. Sopra quel punto dà una risposta troppo corta: al venti per cento dice 3,60 contro 3,802 esatti. Il segno dell'errore cambia fra il sette per cento, dove è ancora positivo, e l'otto per cento, dove è già diventato negativo.
Che cosa significa il moltiplicatore agli anni della regola?: È quello in cui il tuo denaro si trasforma davvero se aspetti esattamente quanto la scorciatoia ti ha detto di aspettare. Far crescere un saldo all'otto per cento per 9 anni dà 1,9990 volte il tuo denaro invece delle 2 volte che la regola lascia intendere, e al venti per cento, aspettando i 3,60 anni della regola, se ne ottengono solo 1,9278. Converte l'errore da anni in denaro, che è la forma in cui l'errore ti costa effettivamente qualcosa.
Posso usare la regola del 72 con un tasso basso?: Puoi, ma l'errore cresce in fretta man mano che il tasso scende, e cresce nella direzione di esagerare l'attesa. All'uno per cento la scorciatoia dice 72 anni mentre il tempo di raddoppio esatto è 69,661, uno scarto di più di due anni, e un saldo fatto crescere all'uno per cento per 72 anni finisce a 2,0471 volte il valore di partenza. Il campo non accetta affatto un tasso pari o inferiore a zero, perché sia la divisione sia il logaritmo lì si rompono.
La regola del 72 tiene conto dell'inflazione o delle imposte?: No, e nemmeno il valore esatto di questa pagina. Entrambi lavorano sul tasso che digiti, quindi se quel tasso è un rendimento nominale il tempo di raddoppio è in denaro nominale, e un saldo che raddoppia in termini nominali in ventiquattro anni con un'inflazione al tre per cento non è raddoppiato in potere d'acquisto. Lo stesso vale per le imposte: un rendimento tassato lungo il percorso si capitalizza a un tasso effettivo più basso, e il tempo di raddoppio del tasso al netto delle imposte è più lungo di quello qui mostrato.

Riferimenti

31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
Compound Interest Calculator — the forward form of the arithmetic, for checking a rate by growing a balance at it — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
H.15 Selected Interest Rates — the published benchmark rates a computed rate is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'interesse compostoCome crescono i risparmi con l'interesse composto nel tempo.Calcolatrice del rendimento annualizzatoRendimento annualizzato dal rendimento totale su un periodo.Calcolatrice del valore futuroValore futuro di un capitale attuale a un tasso dato.Calcolatrice degli investimentiCrescita nel tempo di versamenti periodici costanti.