Calcolatrice della crescita esponenziale

N = N₀ × (1 + r)^t fattore di crescita = 1 + r variazione totale = ((1 + r)^t − 1) × 100%

N₀

La quantità iniziale, quello che c'era prima che la crescita cominciasse. Deve essere positiva, perché le colonne in percentuale dividono per lei e una quantità iniziale di zero renderebbe la variazione totale una divisione di zero per zero invece che un numero grande. Non porta unità di misura: lo stesso calcolo copre persone, euro, batteri e punti di indice

r

Il tasso di crescita per periodo, in percento. Si inserisce 5 per il cinque percento, non 0,05, e può essere negativo: un tasso di −20 percento significa che la quantità perde un quinto di se stessa a ogni periodo, cioè un decadimento e non un calcolo separato. Non può scendere sotto −100 percento: a −100 esatto la quantità arriva a zero, e sotto quel valore il fattore per periodo diventa negativo e il segno si inverte a ogni periodo, che non è più la descrizione di una quantità

t

Il numero di periodi. Che cosa sia un periodo lo decidi tu — anni, mesi, giorni, generazioni — purché il tasso sia riferito allo stesso. Può essere frazionario: mezzo periodo è un ingresso del tutto ordinario e moltiplica per la radice quadrata del fattore dell'intero periodo, non per la metà. I valori negativi vengono rifiutati, perché risalire alla quantità di prima dell'inizio è una domanda diversa da quella a cui risponde questo pannello

(1 + r)^t

Il fattore totale per cui la quantità è stata moltiplicata alla fine. È la parte che rende la crescita esponenziale invece che additiva: ogni periodo moltiplica tutto quello che c'è già, quindi l'aumento del decimo periodo non è l'aumento del primo ma molto più grande. È anche esattamente l'operazione della calcolatrice delle potenze — la base è uno più il tasso e l'esponente è il numero di periodi

1 + r

Il fattore di crescita per periodo, la lettura centrale. Per un tasso del 5 percento è 1,05, cioè la quantità viene moltiplicata per poco più di uno a ogni periodo. È stampato a parte perché è il numero a cui ricorrere quando la domanda cambia: un fattore di 1,05 portato a quattro periodi, lo stesso tasso raddoppiato al 10 percento o una quantità iniziale diversa diventano tutti una moltiplicazione di distanza una volta che è visibile

((1 + r)^t − 1) × 100%

La variazione totale sull'intero arco, in percentuale del punto di partenza. Un tasso del 5 percento su dieci periodi dà 62,889463 percento e non 50, perché il cinque percento di ogni periodo viene preso da una quantità più grande di quella del periodo precedente. È la sottrazione di uno che trasforma un fattore in una variazione: un fattore di 1,6289 è una variazione del 62,89 percento, e un fattore sotto uno dà una variazione negativa, che è il modo in cui si riporta il decadimento

r = −100%

Il limite inferiore, e l'unico tasso che porta la quantità esattamente a zero. È accettato perché è il limite di una quantità che si riduce: a −100 percento il fattore di crescita è zero e ogni periodo dopo il primo moltiplica zero per zero. Sotto quel valore il fattore è negativo, la quantità cambia segno a ogni periodo e il modello ha smesso di descrivere qualcosa di fisico — ed è per questo che quell'ingresso viene rifiutato invece che calcolato

Usala ogni volta che una quantità viene moltiplicata ripetutamente per lo stesso fattore e vuoi sapere dove arriva o a quanto ammonta l'intero arco: la crescita composta su un saldo, una popolazione che cresce a un tasso fisso, un indice dei prezzi che sale nell'arco di decenni, una coltura che raddoppia, un mercato che si riduce di una percentuale stabile ogni anno. La colonna della variazione totale è quella da citare quando scrivi — un aumento del 62,9 percento su dieci periodi dice a quasi tutti più del valore finale, ed è il numero che il solo tasso di crescita non ti dà. È anche la pagina che trasforma un tasso in un fattore, che è il passaggio di cui ogni domanda di interesse composto ha bisogno prima di poter essere calcolata. Passa alla calcolatrice del tempo di dimezzamento quando la quantità si dimezza e il tasso è espresso come un tempo invece che come una percentuale, perché quella pagina prende direttamente il tempo di dimezzamento e riporta anche il conteggio. Passa alla calcolatrice del tempo di raddoppio quando la domanda è l'inversa di questa, cioè dopo quanto tempo la quantità raddoppia. Passa alla calcolatrice delle potenze quando la base è un numero che hai già invece di uno ricavato da un tasso: è la stessa operazione senza la percentuale davanti. Passa alla calcolatrice dell'interesse composto quando la moltiplicazione avviene secondo un calendario e la domanda riguarda versamenti o una frequenza di capitalizzazione, perché quelle sono dimensioni specifiche del denaro che questa pagina non porta con sé.

1. 100 che cresce al 5 percento per 10 periodi

   1. Il fattore di crescita: 1 + 0,05 = 1,05
   2. Il fattore totale: 1,05¹⁰ = 1,628894627…
   3. La quantità finale: 100 × 1,628894627… = 162,889463
   4. La variazione totale: (1,628894627… − 1) × 100 = 62,889463 percento

   Il caso predefinito, e quello che mostra perché la colonna della variazione totale esista. Dieci periodi al cinque percento suonano come cinquanta percento, e il pannello dice 62,89: il resto viene dal fatto che il cinque percento di ogni periodo è preso da una quantità più grande di quella precedente. Chi cita solo il valore finale ha raccontato al suo pubblico il saldo ma non la storia; la percentuale è la parte che viene ripetuta.

2. 100 che si riduce del 20 percento per 3 periodi

   1. Il fattore di crescita: 1 + (−0,20) = 0,8
   2. Il fattore totale: 0,8³ = 0,512
   3. La quantità finale: 100 × 0,512 = 51,2
   4. La variazione totale: (0,512 − 1) × 100 = −48,8 percento

   La stessa pagina che fa il decadimento, che è il motivo per cui si accetta un tasso negativo invece di costruire un secondo strumento. Tre periodi al vento percento sono una perdita del 48,8 percento e non del 60, e per la stessa ragione per cui il caso di crescita va oltre: ogni periodo prende il suo quinto da quello che resta. Un fattore di crescita sotto uno è anche il segnale più chiaro che la convenzione dei segni sta funzionando.

3. 100 che raddoppia a ogni periodo per 5 periodi

   1. Un tasso del 100 percento significa che la quantità cresce di quanto vale, quindi il fattore è 2
   2. Il fattore totale: 2⁵ = 32
   3. La quantità finale: 100 × 32 = 3200
   4. La variazione totale: (32 − 1) × 100 = 3100 percento

   Il raddoppio, cioè il caso in cui l'aritmetica è abbastanza facile da controllare a mente e la colonna della percentuale no. La quantità è stata moltiplicata per 32, e la pagina lo riporta come un aumento del 3100 percento: un numero che suona assurdo accanto a 32 volte tanto pur dicendo esattamente la stessa cosa. È l'illustrazione più chiara del perché l'ultima colonna sottrae uno prima di chiamarla variazione.

4. 100 che cresce al 5 percento per mezzo periodo

   1. Il fattore di crescita è ancora 1,05, perché è definito per periodo
   2. Il fattore totale: 1,05^0,5 = 1,024695076…, che è la radice quadrata di 1,05
   3. La quantità finale: 100 × 1,024695076… = 102,469508
   4. La variazione totale: 2,469508 percento

   Il periodo frazionario, e il caso che separa più nettamente le due letture. Il fattore di crescita resta 1,05 perché è una quantità per periodo e mezzo periodo non lo cambia; il fattore totale ne è la radice quadrata, quindi mezzo periodo di crescita al cinque percento è il 2,47 percento e non il 2,5. Applicare metà del tasso sarebbe sbagliato, e questa è la riga che lo dimostra.

5. 2,5 che cresce al 12 percento per 4 periodi

   1. Il fattore di crescita: 1 + 0,12 = 1,12
   2. Il fattore totale: 1,12⁴ = 1,57351936
   3. La quantità finale: 2,5 × 1,57351936 = 3,933798
   4. La variazione totale: 57,351936 percento

   Una quantità iniziale che non è un numero tondo, e non cambia niente: le colonne dei fattori sono del tutto indipendenti da dove la quantità è partita, e 2,5 cresce esattamente del 57,35 percento come crescerebbe 250. Le due colonne che rispondono a quanto, sono quelle da leggere quando si confrontano due scenari, perché sono le uniche due che non si muovono quando si muove la quantità iniziale.

Il tasso e il numero di periodi devono essere riferiti alla stessa base, e la pagina non ha modo di verificarlo: cinque percento all'anno su dieci mesi dà una risposta sbagliata dall'aria del tutto normale. Il periodo è quello che decidi tu — un anno, un mese, un giorno, una generazione — e la pagina non lo chiede mai. La crescita è modellata come moltiplicazione per lo stesso fattore a ogni periodo, che è quello che significa crescita composta e non è vero di tutto ciò che cresce: una popolazione che incontra un limite, un mercato che si satura o un tasso che cambia esso stesso restano fuori da questo modello. Il tasso non può scendere sotto −100 percento, perché è lì che la quantità arriva a zero e oltre quel punto il segno si inverte a ogni periodo; il limite superiore di 1000 percento e quello di 1000 periodi esistono perché un traboccamento resti raro, non per esprimere un limite matematico. La quantità iniziale deve essere positiva, il che significa che una quantità che passa da negativa a positiva non è rappresentabile. La capitalizzazione avviene una volta per periodo e non in modo continuo: un tasso del 5 percento annuo capitalizzato due volte l'anno al 2,5 percento ciascuna dà un risultato diverso, e quel calcolo appartiene alla pagina dell'interesse composto, che porta con sé una frequenza di capitalizzazione. Qui non si modella nessun versamento, prelievo o contributo: la quantità viene lasciata crescere da sola. Infine i risultati sono arrotondati a sei decimali, il che conta per la colonna delle percentuali quando i numeri diventano grandi.

Perché la variazione totale è maggiore del tasso moltiplicato per il numero di periodi?

Perché la percentuale di ogni periodo viene presa da una quantità più grande di quella del periodo precedente. Dieci periodi al cinque percento non fanno cinquanta percento ma 62,89, dato che il cinque percento del secondo periodo si applica a una quantità che è già cresciuta. Quella capitalizzazione è tutta la differenza fra crescita esponenziale e crescita additiva, e la colonna della variazione totale è dove si vede: il solo valore finale non la rende visibile.

Posso usare un tasso di crescita negativo?

Sì: un tasso negativo è un decadimento e viene calcolato dalla stessa pagina. Un tasso di −20 percento significa che la quantità perde un quinto di se stessa a ogni periodo, quindi 100 diventa 51,2 dopo tre periodi. Il tasso non può scendere sotto −100 percento: a −100 esatto la quantità arriva a zero e ci resta, mentre sotto quel valore il fattore per periodo diventa negativo e la quantità cambia segno a ogni periodo, il che non descrive più una quantità.

Che cosa conta come periodo?

Quello che decidi tu, purché il tasso sia riferito alla stessa base. Cinque percento all'anno con un conteggio di dieci periodi significa dieci anni; lo stesso tasso al mese con un conteggio di dieci significa dieci mesi, e le due risposte riguardano domande diverse. La pagina non può controllare l'accoppiamento, quindi un tasso annuo con un conteggio in mesi dà una risposta sbagliata dall'aria perfettamente normale.

Qual è la differenza fra il fattore di crescita e la variazione totale?

Il fattore di crescita è per quanto moltiplica un singolo periodo; la variazione totale è a quanto è ammontato l'intero arco. Un tasso del 5 percento dà un fattore di crescita di 1,05, un numero per periodo che resta lo stesso sia che tu lo faccia girare per un periodo sia per cento periodi, mentre dieci periodi danno una variazione totale del 62,89 percento, che è il fattore capitalizzato. Quando la domanda è di quanto è più veloce questa opzione, il fattore di crescita è quello da confrontare.

Il numero di periodi può essere una frazione?

Sì, e mezzo periodo è un ingresso comune. Mezzo periodo di crescita al cinque percento non è il 2,5 percento: è la radice quadrata di 1,05, che vale 2,47 percento. È questo che rende i periodi frazionari qualcosa di significativo invece che una comodità di arrotondamento: la quantità cresce in modo continuo dentro il periodo invece che con un salto alla fine, e prendere la radice è il modo in cui quella continuità viene espressa.

In che cosa è diversa da una calcolatrice dell'interesse composto?

Stessa formula, soggetto diverso. Questa pagina prende un tasso e un numero di periodi e lavora con una quantità qualsiasi; una calcolatrice dell'interesse composto aggiunge le cose che ha il denaro e che una popolazione non ha — una frequenza di capitalizzazione, versamenti regolari e un capitale che può essere rimborsato. Se la domanda riguarda pagamenti dentro o fuori dal saldo, o un interesse capitalizzato mensilmente invece che una volta l'anno, quella pagina porta le dimensioni in più e questa no.

• Exponential Growth — the law this page evaluates, with the growth rate and the number of periods as its two parameters — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same formula applied to money, including the compounding-frequency distinction that separates that calculation from this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the negative-rate half of the same law, where the factor per period is below one and the quantity approaches zero — Wolfram MathWorld (United States)