Calcolatrice dell'antilogaritmo
Risultato
Antilogaritmo
Una calcolatrice dell'antilogaritmo esegue un logaritmo al contrario. Le dai un logaritmo e una base e ti restituisce il numero da cui quel logaritmo era stato ricavato: l'argomento, il valore a cui la base deve essere elevata a quella potenza per produrlo. Il logaritmo di 1000 in base 10 è 3, quindi l'antilogaritmo di 3 in base 10 è 1000; le due pagine sono una l'inversa dell'altra e condividono lo stesso campo della base. È il procedimento inverso di quello della pagina dei logaritmi, e in tutto il calcolo c'è una sola esponenziazione: quello che resta serve a decidere se il risultato è un numero che si può stampare. Poiché l'esponente può essere negativo o frazionario, la risposta non è sempre un numero tondo: l'antilogaritmo di 2,5 in base 10 è 316,227766, un numero irrazionale, e la pagina lo riporta con sei decimali. Vale la pena tenere le due pagine affiancate: qui si parte dall'esponente per arrivare al numero, di là si parte dal numero per arrivare all'esponente, e in nessuna delle due direzioni c'è un passaggio in più di quanto serva.
Logaritmi e gli argomenti da cui provengono
| Base | Logaritmo | Argomento |
|---|---|---|
| 10 | 2 | 100 |
| 10 | 3 | 1000 |
| 10 | 5 | 100000 |
| 2 | 8 | 256 |
| 2 | 10 | 1024 |
| 3 | 4 | 81 |
| 4 | 3 | 64 |
| 5 | 3 | 125 |
| 7 | 2 | 49 |
Ogni riga è una potenza, letta nella direzione in cui lavora questa pagina: l'argomento della terza colonna è la base della prima elevata al logaritmo della seconda. È lo stesso fatto della tabella che sta sulla pagina dei logaritmi, letto al contrario: 10 alla potenza di 3 fa 1000 in un verso come nell'altro. Le righe sono numeri interi di proposito: una tabella di logaritmi decimali andrebbe localizzata, perché 0,301030 in alcune lingue si scrive 0.301030, mentre i numeri interi si scrivono allo stesso modo dappertutto, e quella colonna è quindi identica in tutte e dieci le lingue del sito. La base e non ha nessuna riga, perché e non è un numero intero: il suo inverso è la funzione esponenziale, non una potenza con base intera.
Formula
x = b^y (b è la base, y il logaritmo, x l'argomento)
- y
- Il logaritmo, l'esponente da cui parti. Sono accettati tutti i valori fra −1000 e 1000, e i valori negativi non sono un caso a parte: un esponente di −2 in base 10 dà 0,01, una risposta sotto 1, che è esattamente quello che significa un logaritmo negativo. Anche gli esponenti frazionari sono accettati e producono di norma un argomento irrazionale.
- b
- La base, il numero che viene elevato a potenza. Deve essere positiva e non può valere 1. Con la base 1 questa pagina sbaglia in modo peggiore della pagina dei logaritmi: calcolata al contrario, 1 elevato a qualsiasi esponente restituisce tranquillamente 1, quindi una calcolatrice senza quella protezione stamperebbe un argomento di 1 per ogni logaritmo inserito. Le basi minori di 1 sono accettate e descrivono un decadimento invece di una crescita.
- b^y
- La potenza stessa, l'operazione che questa pagina esegue. Tutto quello che la pagina fa è una sola esponenziazione, più i due controlli di overflow che decidono se il risultato è davvero stampabile. Elevare la base all'esponente equivale a far salire la base lungo una scala di potenze, ed è per questo che una piccola variazione dell'esponente produce una grande variazione della risposta.
- x
- L'argomento, il numero di cui era stato preso il logaritmo di partenza, e l'unico risultato della pagina. È sempre positivo, perché una base positiva elevata a qualsiasi esponente resta positiva: quindi, a differenza della pagina dei logaritmi, qui non c'è nessun caso zero o negativo da rifiutare. Quando il logaritmo inserito è esattamente 0 l'argomento è 1, con qualsiasi base, perché qualsiasi numero elevato a zero fa uno.
Esempi svolti
L'antilogaritmo di 3 in base 10
- Eleva la base al logaritmo: 10 alla potenza di 3
- 10 × 10 × 10 = 1000
- L'argomento è 1000, esatto
- Verifica sulla pagina dei logaritmi: il logaritmo di 1000 in base 10 è 3
La coppia di pagine si vede meglio qui. La calcolatrice dei logaritmi prende 1000 e restituisce 3; questa prende 3 e restituisce 1000. Nessuna delle due risposte è un'approssimazione, e la verifica è una sola esponenziazione in entrambe le direzioni. Qualunque dei due numeri ti dia un problema, con questi due strumenti raggiungi l'altro.
L'antilogaritmo di un logaritmo negativo
- Un esponente negativo significa il reciproco della potenza positiva
- 10 alla potenza di 2 fa 100, quindi 10 alla potenza di −2 fa 1 ÷ 100
- L'argomento è 0,01
- Un argomento sotto 1 significa sempre che il logaritmo era negativo
Metà di quello che viene chiesto a un antilogaritmo, e la metà che è più facile sbagliare a mano. Un logaritmo negativo qualsiasi dà un argomento fra 0 e 1: mai zero e mai negativo, perché nessuna potenza di una base positiva arriva né all'uno né all'altro. L'argomento esattamente uguale a 1 è la linea di separazione, e corrisponde a un logaritmo di zero.
L'antilogaritmo di un logaritmo frazionario
- Spezza l'esponente: 10 alla potenza di 2,5 è 10 al quadrato per la radice quadrata di 10
- 10 al quadrato fa 100 e la radice quadrata di 10 è circa 3,162278
- 100 × 3,162278 = 316,227766
- Il valore esatto è irrazionale, quindi la risposta è arrotondata a sei decimali
Il caso che distingue un antilogaritmo da una tavola: 2,5 non è un numero intero, quindi nemmeno l'antilogaritmo lo è. Scritto in forma esatta è 100√10, un numero irrazionale, e nessun numero di decimali lo esaurisce. I sei decimali mostrati sono un limite di visualizzazione, non il valore.
Limiti
La base deve essere positiva e non può valere 1, per il motivo detto sopra: calcolata in questa direzione, la base 1 restituisce 1 per ogni input, ed è il guasto che questa pagina deve evitare più di ogni altro. Il logaritmo deve stare fra −1000 e 1000. Fuori da quell'intervallo l'argomento supererebbe quello che l'aritmetica in doppia precisione può rappresentare, circa 1e308 in entrambe le direzioni, e la pagina rifiuta invece di stampare Infinity. L'altro estremo dello stesso limite conta di più: una base di 1e−15 elevata alla potenza 100 va in underflow fino a zero in virgola mobile, e zero sembra una risposta del tutto ordinaria anche se nessun logaritmo ha zero come argomento. Anche quell'underflow viene rifiutato. Il risultato è arrotondato a sei decimali per la visualizzazione. Le basi minori di 1 sono accettate e danno argomenti minori di 1, che è il caso del decadimento e non un errore. Le basi negative sono rifiutate senza appello: una base negativa elevata a un esponente intero è un numero reale, ma una base negativa elevata a un esponente frazionario non lo è, e questa pagina accetta gli esponenti frazionari, quindi non accetta né gli uni né gli altri.
Domande frequenti
- Che cos'è un antilogaritmo?
- È il numero di cui era stato preso un logaritmo. Il logaritmo di 1000 in base 10 è 3, quindi l'antilogaritmo di 3 in base 10 è 1000. Scritto come formula, l'antilogaritmo di y in base b è b elevato alla potenza y. Il nome viene dalle tavole stampate, dove si cercava un logaritmo in una direzione e il suo antilogaritmo nell'altra.
- L'antilogaritmo è la stessa cosa del logaritmo inverso?
- Sì. Logaritmo inverso è il nome più descrittivo: le due operazioni si annullano a vicenda, quindi applicare un logaritmo e poi il suo inverso restituisce il numero da cui eri partito. In pratica l'inverso di un logaritmo in base 10 si scrive 10 elevato alla x, e l'inverso di un logaritmo naturale è e elevato alla x. Questa pagina calcola quell'inverso per qualsiasi base, non solo per le due che hanno un nome.
- Che cosa succede quando il logaritmo è negativo?
- L'argomento esce fra 0 e 1. Un esponente negativo significa il reciproco della potenza positiva corrispondente, quindi l'antilogaritmo di −2 in base 10 è 1 ÷ 100, cioè 0,01. Non è un caso limite da trattare a parte: è il comportamento normale di un esponente, ed è l'unico modo in cui un antilogaritmo può produrre una risposta piccola.
- Perché la base non può essere 1?
- Perché 1 elevato a qualsiasi potenza fa 1, quindi l'equazione non si può risolvere per un argomento particolare. In questa direzione il guasto è peggiore che sulla pagina dei logaritmi: calcolare 1 elevato alla y non dà nessun errore, restituisce 1 senza dire niente, e la pagina stamperebbe un argomento di 1 per ogni logaritmo inserito. La protezione esiste esattamente per fermare questo.
- Perché una base molto piccola viene rifiutata?
- Perché l'aritmetica va in underflow. Una base di 1e−15 elevata alla potenza 100 sta molto sotto il più piccolo numero positivo che la doppia precisione può rappresentare, quindi il risultato calcolato è zero: e zero sembra una risposta del tutto ragionevole, mentre in realtà nessun logaritmo ha zero come argomento. La pagina rifiuta l'input invece di stampare un numero sbagliato dall'aria normale.
- L'argomento può essere negativo?
- Mai. Una base positiva elevata a qualsiasi esponente è positiva, quindi l'argomento di qualsiasi logaritmo è positivo, e il suo antilogaritmo deve esserlo altrettanto. La pagina lo garantisce per costruzione invece che con un controllo sull'output: gli input che potrebbero romperla, una base non positiva o una base pari a 1, vengono rifiutati prima che l'esponenziazione avvenga.
Riferimenti
- Antilogarithm — the inverse of the logarithm, from the days when antilogarithms were looked up in printed tables — Wolfram MathWorld (United States)
- Exponentiation — the operation behind the single step this page performs, including the behaviour of negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
- Inverse Function — the general idea the log and antilog pair is an instance of, and why both directions are single steps — Wolfram MathWorld (United States)