Calcolatrice delle radici

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

Il radicando, il numero di cui si estrae la radice. Qui è un numero intero, e può essere negativo quando l'indice è dispari. La restrizione agli interi riguarda la forma esatta e non l'aritmetica: la radice quadrata di 2,5 è un numero del tutto ordinario, ma la sua forma esatta è una frazione con dentro una radice, ed è una forma di risposta diversa da quella che questa colonna stampa.

n

L'indice della radice, da 2 a 12. Un indice di 1 è l'identità — la prima radice di qualsiasi cosa è la cosa stessa — e un indice di 0 è indefinito, quindi entrambi vengono rifiutati invece che calcolati. Il limite superiore di 12 è pratico: la forma esatta funziona trovando la più grande potenza ennesima perfetta che divide il radicando, e quelle si diradano in fretta, quindi oltre 12 quella colonna conterrebbe per lo più una radice vuota accanto a un numero enorme.

ⁿ√x

La radice come numero decimale, la lettura principale, stampata con sei decimali quando non è esatta. È il valore con cui calcolare, ed è quella che perde informazione: 8,485281 non ti dice se viene da √72 o da √71,9999, e la forma esatta accanto è ciò che te lo dice.

m · ⁿ√r

La forma esatta: la più grande potenza ennesima perfetta che divide il radicando viene portata fuori dal segno di radice e scritta come coefficiente davanti a una radice più piccola. Per √72 questo dà 6√2, perché 72 è 36 × 2 e 36 è un quadrato perfetto. Quando il radicando è una potenza perfetta non resta niente, il segno di radice sparisce del tutto e la risposta si scrive come numero intero: è così che la pagina segnala che la radice è venuta esatta.

x^(1/n)

La stessa radice scritta come potenza, che è il modo in cui viene calcolata. Le due notazioni sono la stessa operazione e vale la pena sapere che lo sono: l'esponente 1/n è la ragione per cui un esponente frazionario è una radice e non qualcosa di inconsueto. La calcolatrice delle potenze prende quella forma direttamente, ed è la pagina da usare quando il radicando non è un numero intero o l'indice non è intero.

√

Il segno di radice senza indice scritto significa sempre radice quadrata, ed è per questo che la pagina stampa un √ semplice per l'indice 2 e ∛ per l'indice 3. Oltre il 12 la notazione esaurisce i caratteri singoli, quindi gli indici più alti si scrivono con le cifre davanti al segno, e la pagina mette un segno di moltiplicazione fra il coefficiente e un indice da 4 in su — 2 × 4√2 — perché 24√2 si leggerebbe come ventiquattro volte la radice quadrata di due.

Usala quando una radice va semplificata e non soltanto valutata, che è ciò che la distingue da uno strumento che dà solo il numero decimale: semplificare √72 in 6√2, controllare se un numero è un quadrato perfetto, affrontare un problema in cui la risposta è attesa in forma esatta. È anche la pagina per le due domande che sorgono intorno alle radici in generale — qual è la radice cubica di un numero negativo (un numero reale, per gli indici dispari), e qual è la radice quarta di qualcosa. Rivolgiti alla calcolatrice delle potenze quando l'indice non è un numero intero, dato che un esponente frazionario è la stessa operazione scritta come potenza e quella pagina la prende direttamente. Rivolgiti alla calcolatrice della formula quadratica quando la radice compare dentro una formula invece che da sola, dato che il discriminante è una radice quadrata e quella pagina ne legge anche il segno. Rivolgiti alla calcolatrice della radice quadrata o a quella della radice cubica quando serve uno solo dei due indici, dato che ciascuna delle due porta il materiale specifico del proprio caso.

1. La radice quadrata di 16

   1. Indice 2, radicando 16: una radice quadrata
   2. 16 è 4 × 4, quindi è un quadrato perfetto e viene fuori tutto
   3. La radice è 4, ed è esatta e non arrotondata
   4. La forma esatta è il numero intero nudo 4, senza alcun segno di radice

   È il caso per cui la pagina viene aperta più spesso, e quello che mostra come la colonna esatta segnali il successo: nessuna radice, nessun numero decimale, soltanto l'intero. Chi voleva sapere se 16 è un quadrato perfetto ha la risposta nella seconda colonna senza leggere la prima.

2. La radice quadrata di 72

   1. 72 non è un quadrato perfetto, quindi la radice è irrazionale
   2. Il più grande quadrato perfetto che divide 72 è 36, dato che 72 = 36 × 2
   3. Portando 36 fuori dal segno restano 6 davanti: √72 = 6√2
   4. Il valore decimale è 8,485281 a sei decimali, e 6√2 è il valore esatto

   L'esempio che giustifica l'intera pagina. 8,485281 è un'approssimazione e il pannello lo dichiara stampando accanto la forma esatta; una pagina concorrente che mostra solo il numero decimale ha lasciato al lettore un numero che non è la radice quadrata di 72. Il 2 rimasto sotto il segno è anche la lettura più rapida della situazione: dentro c'è ancora qualcosa, quindi non è venuto fuori niente di esatto.

3. La radice cubica di 54

   1. Indice 3, radicando 54: una radice cubica
   2. 54 non è un cubo perfetto, ma 27 lo divide: 54 = 27 × 2
   3. Portando fuori 27 restano 3 davanti al segno: ∛54 = 3∛2
   4. Il valore decimale è 3,779763

   La stessa semplificazione con un indice diverso, e il caso che mostra che la pagina è uno strumento solo e non due. Il passo da fare a mano è trovare il più grande cubo perfetto sotto 54 — 27, non 8 — e la tabella di riferimento di questa pagina è esattamente la lista che rende rapida quella ricerca: tre al cubo fa 27, quattro al cubo fa 64, e 64 è troppo grande.

4. La radice quarta di 32

   1. 32 è 16 × 2, e 16 è una potenza quarta, dato che 16 = 2⁴
   2. Portando fuori 16 restano 2 davanti al segno: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. Il segno di moltiplicazione si scrive perché un indice di 4 non ha un segno di radice a carattere singolo
   4. Il valore decimale è 2,378414

   Qui la notazione deve stare attenta. Scrivere 24√2 verrebbe letto dalla maggior parte delle persone come ventiquattro volte la radice quadrata di due, quindi la pagina inserisce un segno di moltiplicazione ogni volta che l'indice è 4 o più: il coefficiente e l'indice sono entrambi numeri e qualcosa deve separarli. Né √ né ∛ hanno questo problema, ed è per questo che il segno appare solo dall'indice 4 in su.

5. La radice cubica di −54

   1. Il radicando è negativo e l'indice è dispari, quindi la radice è un numero reale
   2. Il modulo si semplifica esattamente come prima: ∛54 = 3∛2
   3. Il segno viene portato fuori, e la forma esatta lo stampa in testa: −3∛2
   4. Il valore decimale è −3,779763

   Il caso negativo, e l'unico punto in cui la forma esatta ha una regola propria: il segno meno va davanti all'intera espressione e non dentro la radice. È anche il punto d'ingresso da cui la calcolatrice delle potenze manda qui: quella pagina rifiuta una base negativa con un esponente frazionario perché l'aritmetica sottostante passa per un logaritmo, e questa è la pagina che affronta la stessa domanda estraendo invece una radice.

Il radicando deve essere un numero intero. La radice quadrata di 2,5 è un numero reale e questa pagina non la prende, perché la forma esatta di quella radice è una frazione con sopra una radice — una forma per cui la colonna esatta non ha spazio — e stampare soltanto il numero decimale nasconderebbe il fatto che la risposta esatta è stata lasciata cadere. Qualsiasi radicando frazionario o decimale appartiene alla calcolatrice delle potenze, inserito come potenza frazionaria. I radicandi negativi sono accettati solo per gli indici dispari: la radice cubica di −8 è −2, ma la radice quadrata di −4 non è un numero reale e questa pagina la rifiuta invece di stampare un valore complesso. L'indice della radice è un numero intero fra 2 e 12; un indice di 1 è l'identità e un indice di 0 è indefinito, quindi nessuno dei due viene accettato, e gli indici frazionari vanno alla calcolatrice delle potenze come potenze frazionarie. Le radici che non vengono esatte sono stampate con sei decimali, che è un limite di visualizzazione e non di precisione: l'aritmetica che c'è dietro è in doppia precisione piena. La forma esatta viene semplificata fino a tirare fuori le potenze perfette, che è la forma standard di un radicale semplificato, e qui non si razionalizza alcun denominatore: una radice che sta sotto una frazione è un problema del lettore. Il radicando è limitato a 1.000.000.000, e quel limite riguarda il costo e non la matematica: la semplificazione funziona per divisioni per tentativi, e un radicando più grande renderebbe la pagina lenta a rispondere mentre digiti, non sbagliata.

Qual è la differenza fra la forma esatta e il numero decimale?

Il numero decimale è un valore arrotondato e la forma esatta è il valore stesso. La radice quadrata di 72 è esattamente 6√2; 8,485281 è quanto vale in sei decimali, quindi moltiplicando 8,485281 per sé stesso si ottiene 71,99999… e non 72. La pagina stampa entrambi perché ciascuno da solo inganna: il numero decimale è quello con cui si calcola, e la forma esatta è quello che ti dice se la radice è venuta esatta.

Come si semplifica una radice quadrata?

Cerca il più grande quadrato perfetto che divide il numero, portane la radice davanti al segno e lascia il resto dentro. Per 72 quel quadrato è 36, dato che 72 = 36 × 2, quindi √72 = 6√2. Se nessun quadrato perfetto divide il numero — è il caso di 2, 3, 5, 7 e di ogni altro numero senza fattori primi ripetuti — la radice non si può semplificare e la forma esatta è semplicemente √2.

Posso estrarre la radice quadrata di un numero negativo?

Non su questa pagina, e non come numero reale da nessuna parte. La radice quadrata di −4 è 2i, un numero complesso, e questa pagina è uno strumento sui numeri reali. Gli indici dispari sono un'altra cosa: la radice cubica di −8 è −2, un numero reale del tutto ordinario, perché tre fattori negativi danno un prodotto negativo. Quindi la pagina accetta −8 con indice 3 e rifiuta −4 con indice 2.

Perché non posso inserire un numero decimale come radicando?

Perché la forma esatta non ha dove metterlo. La radice quadrata di 2,5 è √10 ÷ 2 — una frazione con una radice al numeratore — e la colonna esatta di questa pagina stampa un coefficiente davanti a una radice, non una frazione. Invece di stampare il numero decimale e lasciar cadere in silenzio la risposta esatta, la pagina limita il radicando ai numeri interi e lo dichiara. Un radicando decimale si può inserire come potenza frazionaria sulla calcolatrice delle potenze.

Che cosa significa l'indice sul segno di radice?

È quante volte la radice deve essere moltiplicata per sé stessa per ridare il radicando: un indice di 3 significa radice cubica, quindi ∛8 è 2 perché 2 × 2 × 2 = 8. Nessun indice scritto significa 2, ed è per questo che la pagina stampa un √ semplice per le radici quadrate e ∛ per le radici cubiche. Un indice di 1 restituirebbe il numero invariato e un indice di 0 non ha significato, quindi la pagina parte da 2.

Una radice cubica è la stessa cosa che elevare alla potenza di un terzo?

Sì, ed è così che la pagina la calcola. La radice ennesima di x è x elevato alla potenza di 1/n, quindi la radice cubica di 54 è 54 elevato alla potenza di 0,3333…, che fa 3,779763. Le due notazioni descrivono un'unica operazione. Si separano sulle basi negative: la forma con l'esponente passa per un logaritmo e rifiuterebbe −54, mentre estrarne una radice di indice dispari è immediato, ed è per questo che la calcolatrice delle potenze manda quei casi qui.

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)