Calcolatrice della radice quadrata

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x

Il radicando, il numero sotto il segno di radice. Non può essere negativo: un radicando negativo non ha alcuna radice quadrata reale, e elevare al quadrato un numero reale dà sempre un risultato non negativo, quindi la pagina lo rifiuta e rimanda alle radici di indice dispari sulla calcolatrice delle radici. Lo zero va bene: la radice quadrata di 0 è 0.

m²

Il più grande quadrato perfetto che divide il radicando: 4, 9, 16, 25, 36 e così via. Trovarlo è tutta la semplificazione, e la pagina cerca dall'alto verso il basso, così il primo fattore che incontra è il più grande. Per 72 quel fattore è 36, che lascia 2 sotto il segno di radice.

m

La radice quadrata di quel quadrato perfetto, che finisce davanti al segno di radice: 6 nel caso di 72. Quando il coefficiente è un altro numero intero viene stampato così com'è, quindi la forma esatta si legge 6√2. Quando vale 1 il coefficiente viene tolto invece che stampato, perché 1√2 non è il modo in cui quel numero si scrive.

r

Quello che resta sotto il segno una volta tirati fuori tutti i fattori quadrati. È privo di quadrati, cioè nessun quadrato perfetto lo divide, ed è esattamente ciò che rende la forma definitiva. Se non resta niente — se il radicando era già un quadrato perfetto — il segno di radice sparisce del tutto e la forma esatta è soltanto un numero, come per la radice quadrata di 144.

√x

Il valore decimale, riportato con sei cifre. È lo stesso numero della forma esatta valutata — 6√2 è 8,485281 — e viene stampato accanto a essa invece che al suo posto, dato che le due rispondono a domande diverse. Il numero decimale è ciò con cui un lettore misura; la forma esatta è ciò con cui un lettore dimostra.

1. Semplificare la radice quadrata di 72

   1. Cerca il più grande quadrato perfetto che divide 72
   2. 36 lo divide: 72 ÷ 36 = 2, quindi 72 = 36 × 2
   3. La radice quadrata di 36 è 6, che esce davanti: √72 = 6√2
   4. Valutando la forma esatta si ottiene 8,485281

   È il caso che rende utile il layout a due colonne. Come numero decimale √72 è 8,485281 e non c'è altro da dire; come forma esatta è 6√2, che mostra a colpo d'occhio che elevandola al quadrato si torna esattamente a 72. La verifica è una riga sola: 6√2 al quadrato fa 36 × 2, cioè 72.

2. Un radicando con una cifra decimale

   1. Un radicando decimale viene prima riportato a una frazione: 1,5 = 3/2
   2. Il segno si divide fra numeratore e denominatore con √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
   3. Si ottiene √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2
   4. Il valore decimale è 1,224745

   La forma esatta usa il segno di divisione invece della barra di frazione, e non per caso. Scritta come √6/2 la riga è ambigua: si legge altrettanto facilmente come la radice quadrata di sei mezzi, che è √3. La pagina stampa √6 ÷ 2 perché ci sia una sola lettura. È il caso che la calcolatrice delle radici non prende deliberatamente, dato che richiede radicandi interi.

3. Un numero decimale che si scopre quadrato perfetto

   1. 2,25 come frazione è 9/4
   2. Entrambe le parti sono quadrati perfetti: √9 = 3 e √4 = 2
   3. Non resta niente sotto il segno, quindi la forma esatta è la frazione 3/2
   4. Come numero decimale è 1,5

   Quando la radice si svuota, la forma esatta smette del tutto di essere una radice: è una frazione semplice, ed è il segnale che il radicando era un quadrato perfetto. La forma esatta 3/2 vale la pena di essere preferita a 1,5 in qualsiasi calcolo successivo, dato che moltiplicare per 3 e dividere per 2 mantiene tutto esatto dove il numero decimale non lo farebbe.

Il radicando non può essere negativo: la radice quadrata di un numero negativo non è un numero reale, e elevare al quadrato un numero reale non ne produce mai uno. Lo zero viene accettato e dà zero. Il radicando è limitato a due cifre decimali, e una terza cifra decimale viene rifiutata invece di essere arrotondata: la semplificazione funziona riportando il numero decimale a una frazione e poi dividendo per tentativi, e ogni cifra decimale in più moltiplica il lavoro per dieci, quindi la pagina dichiara il limite invece di stampare in silenzio una forma semplificata che appartiene a un numero leggermente diverso. La forma esatta è una notazione, non un numero: si scrive allo stesso modo in ogni lingua, dato che un segno di radice e un segno di divisione non contengono parole. Il valore decimale, al contrario, è arrotondato a sei cifre, che è un limite di visualizzazione e non di precisione. La pagina ha un indice fisso di due: semplifica soltanto radici quadrate. Le radici cubiche, le radici quarte e qualsiasi altro indice, comprese le radici di indice dispari dei numeri negativi, appartengono alla calcolatrice delle radici a cui questa pagina rimanda.

Che cosa fa davvero la semplificazione di una radice quadrata?

Sposta il più grande quadrato perfetto da sotto il segno di radice a davanti ad esso. La radice quadrata di 72 è lo stesso numero di 6√2 — non è stato approssimato né arrotondato nulla — ma 6√2 è il modo più ordinato di scriverlo, ed è la forma che resta esatta quando la si usa in calcoli successivi. Semplificare non cambia mai il valore, solo la grafia.

Come faccio a sapere quando una radice quadrata è semplificata del tutto?

Quando sotto il segno non resta niente che un quadrato perfetto divida. In 6√2 il 2 è privo di quadrati: 4 non lo divide, 9 non lo divide, e nemmeno un quadrato più grande lo fa, quindi la forma è definitiva. È anche il modo in cui la pagina decide quando fermarsi: cerca il più grande fattore quadrato, dall'alto verso il basso, e si ferma al primo che trova.

Perché la forma esatta è scritta con il segno di divisione?

Perché la barra di frazione sarebbe ambigua. √6/2 si legge sia come la radice quadrata di sei divisa per due, sia come la radice quadrata di sei mezzi, e sono due numeri diversi: il secondo è √3. Stampare √6 ÷ 2 lascia una sola lettura. È la stessa ragione per cui il coefficiente viene tolto quando vale 1: la notazione è scelta perché non si possa leggere male, non perché sia corta.

Posso inserire un radicando decimale?

Sì, fino a due cifre decimali. La pagina riporta il numero decimale a una frazione, poi estrae la radice del numeratore e del denominatore separatamente usando √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d. La radice quadrata di 1,5 è √6 ÷ 2, e quella di 2,25 è esattamente 3/2. Una terza cifra decimale viene rifiutata, perché ogni cifra in più moltiplica per dieci la divisione per tentativi.

Perché la radice quadrata di un numero decimale a volte esce come frazione?

Quando il radicando è a sua volta il quadrato perfetto di una frazione, sotto il segno non resta niente e la forma esatta collassa in una frazione semplice: la radice quadrata di 2,25 è 3/2. È la stessa regola di un radicando intero che sia un quadrato perfetto, dove la forma esatta collassa in un numero intero: se la radice si svuota, non resta niente attorno a cui scriverla.

Perché qui un radicando negativo viene rifiutato?

Non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo, quindi la radice quadrata di un radicando negativo non è affatto un numero reale. Ogni radice di questa pagina ha indice fisso due, quindi non c'è una metà con indice dispari in cui i negativi sarebbero ammessi. La calcolatrice delle radici accetta invece le radici cubiche dei numeri negativi, perché una potenza dispari di un numero negativo è ancora negativa, ed è lì che questa pagina rimanda.

• Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)