Che cosa fa il completamento del quadrato?

Riscrive un'espressione quadratica nella forma con il vertice, a(x − h)² + k, dove il vertice della parabola si legge direttamente dall'espressione invece di essere calcolato. Il procedimento consiste nel prendere la metà del coefficiente di x, elevare al quadrato la parentesi che ne risulta e sottrarre quello che quel quadrato ha aggiunto. Dell'espressione non cambia il valore, solo la forma.

Perché i numeri vengono stampati come frazioni?

Perché la metà di un coefficiente dispari è una frazione, e le frazioni restano esatte per tutto il resto del lavoro. Scrivere 1/2 come 0,5 sembra innocuo finché il passo successivo non lo moltiplica, e a quel punto il decimale va arrotondato e la risposta deriva. La forma stampata usa una frazione ogni volta che il denominatore divide esattamente ed è al massimo mille, e ripiega su sei decimali solo quando non può.

Come faccio a sapere se la parabola apre verso l'alto o verso il basso?

Dal segno del coefficiente principale a: positivo apre verso l'alto, negativo apre verso il basso. Questa pagina non stampa quella conclusione, perché il segno di a non compare in nessuno dei suoi tre risultati: è visibile nel primo campo che hai inserito, e la forma del risultato lo riflette. Quando a è positivo il vertice è il minimo della quadratica, e quando a è negativo è il massimo.

Questa pagina risolve l'equazione quadratica?

No. Riporta l'espressione nella forma con il vertice e le coordinate del vertice. Risolvere significa trovare i valori di x per cui l'espressione vale zero, cioè i punti in cui la parabola attraversa l'asse x, ed è quello che fa la pagina della formula quadratica collegata qui sotto. Le due pagine prendono gli stessi tre coefficienti e restituiscono cose diverse: una restituisce un'espressione, l'altra restituisce le radici.

Perché a volte il termine noto manca dalla risposta?

Perché è risultato zero. Quando la quadratica è già un quadrato perfetto il vertice sta sull'asse x, e la forma stampata lascia cadere il termine noto finale invece di scrivere + 0: il quadrato di x + 3 si scrive (x + 3)², non (x + 3)² + 0. La coda che manca è di per sé significativa: ti dice che la quadratica ha una radice doppia esattamente in quel valore di x.

Perché il coefficiente principale non può essere zero?

Perché allora non c'è nessun termine quadratico, quindi l'espressione è una retta e non c'è niente da completare. Dividere per 2a per trovare il vertice sarebbe anche una divisione per zero, e il vertice di una retta non è un punto ben definito nello stesso senso. La pagina rifiuta l'ingresso e lo nomina, invece di produrre una forma che non significa nulla.

Calcolatrice completamento quadrato

Risultato

(x + 3)² - 4

Forma con il quadrato completato

Vertice x: -3,000000
Vertice y: -4,000000

La calcolatrice del completamento del quadrato riscrive un'espressione quadratica nella forma con il vertice: ax² + bx + c diventa a(x − h)² + k, con il vertice della parabola che si trova in (h, k). Non risolve l'equazione — le radici sono un'altra pagina — cambia la forma dell'espressione, ed è quel cambio a rendere leggibili a colpo d'occhio il vertice e la direzione in cui la parabola apre. I valori che escono come frazioni vengono stampati come frazioni invece che come decimali, così l'aritmetica resta esatta: x² + x si scrive (x + 1/2)² − 1/4 e non (x + 0,5)² − 0,25. Il procedimento è sempre lo stesso: si prende la metà del coefficiente di x, si eleva al quadrato la parentesi che ne risulta e si sottrae quello che quel quadrato ha aggiunto. Il coefficiente principale, cioè il numero davanti a x², resta fuori dalla parentesi e viene raccolto: quando vale 1 non si stampa affatto, quando vale 2 si stampa davanti, e quando è una frazione si mette fra parentesi perché altrimenti la scrittura si leggerebbe al contrario. Il termine noto non è mai facoltativo: ometterlo renderebbe sbagliato il k della forma stampata senza che niente sulla pagina mostrasse che era stata fatta una supposizione.

Quadratice e le loro forme con il quadrato completato

a	b	c	Forma con il quadrato completato
1	6	5	(x + 3)² - 4
1	-4	3	(x - 2)² - 1
1	2	1	(x + 1)²
1	0	-9	x² - 9
2	4	1	2(x + 1)² - 1
3	6	1	3(x + 1)² - 2
1	1	0	(x + 1/2)² - 1/4
5	-10	3	5(x - 1)² - 2

Ogni riga prende i tre coefficienti di ax² + bx + c e dà la stessa espressione riscritta. Le righe sono scelte per coprire le regole di stampa invece di essere arbitrarie: la seconda tira fuori un vertice positivo da un b negativo, la terza è un quadrato perfetto la cui coda è sparita del tutto, la quarta non ha parentesi perché il suo vertice sta sull'asse y, e la quinta stampa un coefficiente principale 2 davanti. La settima è il caso della frazione, dove la metà di un coefficiente dispari resta esatta come 1/2 invece di diventare 0,5. Tutti i numeri delle prime tre colonne sono interi e la quarta colonna è notazione fatta di simboli, quindi la tabella è identica in tutte e dieci le lingue che il sito serve; una tabella di coefficienti decimali andrebbe localizzata, dato che 1.5 in diverse di quelle lingue si scrive 1,5.

Formula

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a: Il coefficiente principale, che non può essere zero: con a uguale a zero non c'è termine quadratico, l'espressione è una retta invece di una quadratica, e non c'è nessun quadrato da completare. Il segno di a decide in che direzione apre la parabola — verso l'alto quando a è positivo, verso il basso quando è negativo — e il suo valore assoluto decide quanto è stretta la curva.
b: Il coefficiente del termine lineare. È quello che fissa la posizione orizzontale del vertice: h è −b diviso due volte a, quindi un b positivo spinge il vertice verso sinistra e un b negativo lo spinge verso destra. Il suo quadrato entra anche in k, ed è per questo che un b grande con un a piccolo sposta il vertice di molto in verticale.
c: Il termine noto. Sposta l'intera parabola in su o in giù e non muove il vertice di lato: c compare solo in k, mai in h. Resta un ingresso obbligatorio invece di essere trattato come zero quando manca, perché ometterlo renderebbe sbagliato il k della forma stampata mentre niente sulla pagina mostrerebbe che qualcosa era stato dato per scontato.
h: La coordinata x del vertice, pari a −b ÷ 2a. È il valore di x che annulla il termine quadratico, che è ciò che qui significa la parola vertice: il punto più basso della curva quando a è positivo e il più alto quando a è negativo. Nella forma stampata il suo segno viene assorbito nella parentesi, quindi un vertice in −3 si scrive (x + 3)² invece di (x − (−3))².
k: La coordinata y del vertice, pari a c − b² ÷ 4a. È il valore che l'intera espressione assume per x uguale a h, quindi è il minimo della quadratica quando a è positivo e il suo massimo quando a è negativo. Quando k risulta zero la forma stampata lascia cadere del tutto il termine noto: un quadrato perfetto si scrive (x + 3)², non (x + 3)² + 0.

Esempi svolti

Completare il quadrato di x² + 6x + 5
1. Dimezza il coefficiente di x: 6 ÷ 2 = 3, quindi la parentesi è (x + 3)
2. Elevala al quadrato: (x + 3)² = x² + 6x + 9, che è 4 in più dell'espressione data
3. Sottrai l'eccedenza: (x + 3)² − 4
4. Il vertice è in (−3, −4), e il coefficiente principale è positivo quindi la parabola apre verso l'alto
L'esempio svolto standard, e quello in cui l'aritmetica si controlla riespandendo. La parentesi viene scelta in modo che il suo quadrato riproduca esattamente i primi due termini; quello che quel quadrato eccede viene sottratto di nuovo, e il risultato è la stessa espressione in una forma diversa. Da questa forma il vertice si legge senza fare alcun calcolo.
Una forma che esce in frazioni
1. Dimezza 1 per ottenere la parentesi: (x + 1/2)
2. Elevandola al quadrato si ottiene x² + x + 1/4, un quarto in più di x² + x
3. Sottrai il quarto: (x + 1/2)² − 1/4
4. Il vertice è in (−1/2, −1/4), che le due colonne numeriche riportano come −0,5 e −0,25
Dove la stampa delle frazioni si guadagna il suo posto. La metà di un coefficiente dispari è una frazione, e resta tale per tutto il calcolo, quindi la forma stampata è esatta mentre 0,5 e 0,25 ne sono soltanto due trascrizioni decimali. Le due colonne numeriche usano per forza i decimali, dato che sono numeri e non notazione — e qui vale la pena leggere ciascuna colonna per via dell'altra.
Un quadrato perfetto
1. Dimezza 6 per la parentesi: (x + 3)
2. Elevando al quadrato si ottiene x² + 6x + 9, che è esattamente l'espressione
3. Non avanza nulla, quindi il termine noto esce dalla forma stampata
4. Il vertice sta sull'asse x, in (−3, 0)
Il caso che mostra perché il termine noto viene omesso invece di essere stampato come + 0. Quando l'espressione è già un quadrato perfetto il vertice tocca l'asse x, e la forma finita ha due termini invece di tre. Che la coda sia sparita è di per sé l'informazione: dice che la quadratica ha una radice doppia, che è il fatto che la pagina delle radici riporterebbe come una risposta sola.

Limiti

Il coefficiente principale non può essere zero. Con a uguale a zero l'espressione è lineare, il suo grafico è una retta, e l'idea di completare un quadrato non si applica — la pagina rifiuta l'ingresso invece di dividere per zero lungo la strada verso h. Tutti e tre i coefficienti sono limitati a un valore assoluto di un milione, dato che le coordinate del vertice crescono con il quadrato di b, e oltre quell'intervallo la colonna di k finirebbe nelle centinaia di miliardi e smetterebbe di essere un numero utilizzabile. I valori nella forma stampata vengono mostrati come frazioni quando il denominatore divide esattamente ed è al massimo mille, e come sei decimali altrimenti; le due colonne numeriche usano sempre i decimali, perché contengono numeri e non notazione. Questa pagina non risolve l'equazione quadratica. Riporta l'espressione nella sua forma con il vertice e le coordinate del vertice, mentre le radici — i punti in cui la parabola attraversa l'asse x — si calcolano nella pagina della formula quadratica, a cui questa rimanda. Non stampa nemmeno se la parabola apre verso l'alto o verso il basso: quello lo decide il segno del coefficiente principale, e il segno è visibile nel primo campo che hai compilato, non in uno dei tre risultati.

Domande frequenti

Che cosa fa il completamento del quadrato?: Riscrive un'espressione quadratica nella forma con il vertice, a(x − h)² + k, dove il vertice della parabola si legge direttamente dall'espressione invece di essere calcolato. Il procedimento consiste nel prendere la metà del coefficiente di x, elevare al quadrato la parentesi che ne risulta e sottrarre quello che quel quadrato ha aggiunto. Dell'espressione non cambia il valore, solo la forma.
Perché i numeri vengono stampati come frazioni?: Perché la metà di un coefficiente dispari è una frazione, e le frazioni restano esatte per tutto il resto del lavoro. Scrivere 1/2 come 0,5 sembra innocuo finché il passo successivo non lo moltiplica, e a quel punto il decimale va arrotondato e la risposta deriva. La forma stampata usa una frazione ogni volta che il denominatore divide esattamente ed è al massimo mille, e ripiega su sei decimali solo quando non può.
Come faccio a sapere se la parabola apre verso l'alto o verso il basso?: Dal segno del coefficiente principale a: positivo apre verso l'alto, negativo apre verso il basso. Questa pagina non stampa quella conclusione, perché il segno di a non compare in nessuno dei suoi tre risultati: è visibile nel primo campo che hai inserito, e la forma del risultato lo riflette. Quando a è positivo il vertice è il minimo della quadratica, e quando a è negativo è il massimo.
Questa pagina risolve l'equazione quadratica?: No. Riporta l'espressione nella forma con il vertice e le coordinate del vertice. Risolvere significa trovare i valori di x per cui l'espressione vale zero, cioè i punti in cui la parabola attraversa l'asse x, ed è quello che fa la pagina della formula quadratica collegata qui sotto. Le due pagine prendono gli stessi tre coefficienti e restituiscono cose diverse: una restituisce un'espressione, l'altra restituisce le radici.
Perché a volte il termine noto manca dalla risposta?: Perché è risultato zero. Quando la quadratica è già un quadrato perfetto il vertice sta sull'asse x, e la forma stampata lascia cadere il termine noto finale invece di scrivere + 0: il quadrato di x + 3 si scrive (x + 3)², non (x + 3)² + 0. La coda che manca è di per sé significativa: ti dice che la quadratica ha una radice doppia esattamente in quel valore di x.
Perché il coefficiente principale non può essere zero?: Perché allora non c'è nessun termine quadratico, quindi l'espressione è una retta e non c'è niente da completare. Dividere per 2a per trovare il vertice sarebbe anche una divisione per zero, e il vertice di una retta non è un punto ben definito nello stesso senso. La pagina rifiuta l'ingresso e lo nomina, invece di produrre una forma che non significa nulla.

Riferimenti

Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della formula quadraticaLe radici di un'equazione di secondo grado, anche complesse.Calcolatrice della radice quadrataRadice quadrata di qualsiasi numero, esatta o decimale.Calcolatrice delle radiciQualsiasi radice ennesima di un numero, esatta e arrotondata.Calcolatrice della forma verticeL'equazione y = a(x - h)² + k di una parabola, col vertice.