Calcolatrice della forma vertice

y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → y = a(x - h)² + k

a

L'allungamento e la direzione. È il coefficiente principale, lo stesso numero della forma standard — la forma vertice non lo cambia — e ora sta davanti alla parentesi. Positivo apre verso l'alto, negativo apre verso il basso, e la sua grandezza decide quanto è stretta la parabola: |a| maggiore di 1 è più stretta della x² semplice, minore di 1 è più larga.

h

La coordinata x del vertice, che è ciò intorno a cui si costruisce la parentesi. Il suo segno si inverte quando entra nella parentesi: un vertice in x = -3 si scrive (x + 3). È anche l'asse di simmetria, e il punto più alto o più basso della curva sta sulla retta verticale x = h.

k

La coordinata y del vertice: il valore che la curva assume lì, e quindi il valore più piccolo che raggiunge quando apre verso l'alto, o il più grande quando apre verso il basso. È quello che resta dopo che il quadrato ha reso conto del resto, e k = 0 è il caso speciale in cui il vertice cade esattamente sull'asse x.

x, y

Le due variabili dell'equazione finita. Ogni coppia che la soddisfa sta sulla curva, quindi la forma vertice è una descrizione completa della parabola — la stessa descrizione della forma standard, disposta in modo che il punto interessante sia quello che riesci a leggere.

Serve quando hai una quadratica in forma standard e quello che vuoi sapere è dove la curva si gira — il massimo di un profitto, il minimo di un costo, il punto più alto di una palla lanciata — oppure quando devi disegnarla, perché il vertice più la direzione di apertura sono gran parte della sua forma. È anche la forma a cui ricorrere quando il vertice è il dato che avevi e la forma standard è quella che vuoi, leggendo all'indietro. Ogni quadratica ne ha una, e i tre coefficienti bastano a trovarla.

1. y = 2x² - 4x + 1 — un coefficiente principale diverso da 1

   1. La x del vertice: h = -b / (2a) = 4 / 4 = 1
   2. La y del vertice: k = c - b² / (4a) = 1 - 16 / 8 = 1 - 2 = -1
   3. La parentesi si costruisce intorno a h = 1, quindi si legge (x - 1)
   4. Il coefficiente principale 2 va davanti alla parentesi: y = 2(x - 1)² - 1

   Il controllo è riespandere: 2(x - 1)² = 2x² - 4x + 2, e aggiungendo il -1 si torna a 2x² - 4x + 1, che è il punto di partenza. È questo che ne fa una riscrittura e non una curva diversa: la stessa parabola, descritta dal suo punto di svolta invece che dai suoi coefficienti. Il 2 davanti fa un lavoro vero e non sparisce; un coefficiente principale pari a 1 è l'unico che lascia la parentesi da sola.

2. y = -x² + 4 — apre verso il basso e non ha termine in x

   1. La x del vertice: h = -0 / (2 × -1) = 0
   2. La y del vertice: k = 4 - 0 = 4
   3. Con h = 0 la parentesi direbbe (x - 0), quindi collassa in un x² nudo
   4. Un coefficiente principale -1 si scrive con un solo segno meno: y = -x² + 4

   È il caso in cui la forma vertice e la forma standard sono la stessa stringa, e il punto è proprio questo: quando b è zero il vertice sta già sull'asse y, quindi non c'era niente da spostare e niente da completare. Leggi la risposta come una descrizione e non come un cambiamento: la curva apre verso il basso e si gira in (0, 4), che sta quattro unità sopra l'origine.

3. y = 0,5x² + 3x + 0,5 — un coefficiente principale frazionario

   1. La x del vertice: h = -3 / (2 × 0,5) = -3
   2. La y del vertice: k = 0,5 - 9 / 2 = 0,5 - 4,5 = -4
   3. La parentesi si costruisce intorno a h = -3, quindi si legge (x + 3): il segno si inverte
   4. Un mezzo si stampa come frazione e fra parentesi, perché 1/2(x + 3)² si leggerebbe come 1 diviso 2(x + 3)²: y = (1/2)(x + 3)² - 4

   Espandere conferma il risultato: (1/2)(x + 3)² = 0,5x² + 3x + 4,5, e 4,5 - 4 riporta il termine noto a 0,5. La frazione compare perché i coefficienti erano frazioni, non perché qualcosa sia stato approssimato: 1/2 è esatto dove 0,5 è lo stesso numero, e la forma stampata è quella che una persona scriverebbe a mano.

Il coefficiente principale non può essere zero. Con a = 0 non c'è nessun quadrato da completare e nessun vertice da riportare, perché il grafico è una retta: la pagina rifiuta l'ingresso invece di inventare una risposta. I coefficienti sono limitati a un milione in entrambe le direzioni, e anche un a molto piccolo combinato con un b molto grande viene rifiutato, dato che il vertice verrebbe spinto oltre il punto in cui il numero significa qualcosa. L'equazione viene stampata, non risolta: la pagina non ti dice le radici, né dove la curva attraversa l'asse x, né il valore di y in un altro punto — le radici le calcola la calcolatrice della formula quadratica collegata, mentre riespandere la forma vertice è quello che fa la calcolatrice FOIL. I numeri si stampano come frazioni quando il denominatore è abbastanza piccolo da leggersi e come valori con sei decimali altrimenti, quindi un vertice in un terzo esce come 0,333333. Qui non ci sono unità di misura, perché i coefficienti di una quadratica sono numeri e non misure.

Che cos'è la forma vertice?

È y = a(x - h)² + k, un modo di scrivere una quadratica che mette il vertice in bella vista: il punto di svolta della parabola è il punto (h, k), e entrambe le coordinate si leggono dall'equazione senza fare alcun lavoro. La forma standard ax² + bx + c descrive la stessa curva — le due sono riorganizzazioni l'una dell'altra, e a è lo stesso numero in entrambe.

In che cosa è diversa dalla calcolatrice del completamento del quadrato?

L'aritmetica è la stessa e il vertice viene identico, perché le due pagine prendono esattamente gli stessi tre coefficienti. Cambia quello che consegnano: quella pagina stampa l'espressione riscritta, a(x − h)² + k, e spiega il metodo per arrivarci; questa pagina stampa l'equazione della parabola, y = a(x - h)² + k, e riguarda la lettura del grafico — dove si gira, in che direzione apre, quanto è larga.

Come faccio a capire se la parabola apre verso l'alto o verso il basso?

Dal segno di a, il numero davanti alla parentesi. Positivo apre verso l'alto, quindi il vertice è il punto più basso della curva e k è il valore minimo; negativo apre verso il basso, quindi il vertice è il punto più alto e k è il massimo. La pagina non stampa un verdetto, perché il segno di a non è uno dei suoi risultati — ma è lì nell'equazione, davanti alla parentesi.

Dov'è l'asse di simmetria?

In x = h, la retta verticale che passa per il vertice — lo stesso h che compare nella parentesi. La parabola è simmetrica rispetto a quella retta, ed è per questo che il vertice è il punto di svolta: tutto ciò che sta alla sua sinistra è il riflesso di qualcosa che sta alla sua destra. Significa anche che le due radici, quando la curva le ha, stanno alla stessa distanza dall'asse, quindi la loro media è h.

Perché a volte l'equazione mostra delle frazioni?

Perché il valore esatto era una frazione. Un decimale che finisce entro poche cifre e ha un denominatore piccolo si stampa come frazione — 0,5 come 1/2, 0,25 come 1/4 — dato che è così che si scriverebbe a mano, e perché 1/2 è esatto invece di valere approssimativamente 0,5. Qualunque cosa più lunga si stampa come decimale arrotondato a sei cifre, quindi un vertice in un terzo compare come 0,333333.

Perché a volte manca l'ultimo termine dalla risposta?

Perché la y del vertice è zero, e aggiungere zero all'equazione aggiungerebbe soltanto un termine che vale sempre zero. Succede esattamente quando la curva tocca l'asse x invece di attraversarlo — il vertice sta sull'asse e la quadratica è un quadrato perfetto. Quindi y = (x + 1)² è una forma vertice completa, non una forma troncata.

• Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
• Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)