Che cosa vuol dire FOIL?

È una sigla inglese: First, Outer, Inner, Last — primo, esterno, interno e ultimo. Indica quattro coppie di termini presi dai due binomi in quest'ordine: i due termini con la x, i due che stanno all'esterno del prodotto scritto, i due che stanno all'interno e i due termini noti. Moltiplicare le quattro coppie e sommarle dà la forma espansa.

Perché il prodotto esterno e quello interno si sommano?

Perché entrambi producono un termine in x, e i termini simili si combinano. Niente nel FOIL è facoltativo: i quattro prodotti sono l'elenco completo delle coppie, e il risultato è la loro somma. Esterno e interno sono gli unici due che possono fondersi, ed è per questo che la forma espansa di due binomi ha tre termini invece di quattro.

Il metodo FOIL funziona con i coefficienti negativi?

Sì, e il segno viaggia insieme al termine a cui appartiene. In (x + 5)(x − 5) il prodotto esterno è −5x e quello interno è +5x; si annullano, il termine centrale sparisce del tutto e restano solo due termini: è il caso della differenza di quadrati. Con entrambi i termini noti negativi succede un'altra cosa, e il prodotto finale torna positivo.

Il coefficiente di x può essere zero?

Su questa pagina no. Un binomio il cui coefficiente di x è zero è in realtà una costante, e moltiplicare per essa è aritmetica ordinaria, non questo metodo — il primo passo non avrebbe niente da scrivere. L'ingresso viene rifiutato e il campo viene indicato per nome, invece di essere trattato in silenzio come una costante.

Perché a volte manca un termine nella risposta?

Perché il suo coefficiente è risultato zero. Quando il prodotto esterno e quello interno si annullano, non esiste alcun termine in x, e la forma espansa viene scritta come x² − 25 invece che come x² + 0x − 25. Togliere il termine vuoto è la convenzione che la stampa usa in tutta questa pagina; i quattro prodotti con nome continuano a mostrare che cosa gli è successo.

Perché le risposte frazionarie vengono stampate come frazioni?

Perché una frazione resta esatta, mentre un decimale è solo una delle sue grafie. In (x + 1/2)(x + 3) il coefficiente di x è 7/2, e stamparlo come 3,5 sarebbe giusto qui ma comincerebbe a divergere appena il passo successivo lo moltiplicasse. La forma stampata usa una frazione ogni volta che il denominatore divide esattamente e non supera mille, e ricorre alle sei cifre decimali soltanto quando è costretta.

Calcolatrice FOIL

Risultato

x² + 5x + 6

Forma espansa

Primi: 1,000000
Esterni: 3,000000
Interni: 2,000000
Ultimi: 6,000000

Una calcolatrice FOIL moltiplica due binomi e stampa la forma espansa che i quattro prodotti sommano. FOIL è una sigla inglese — First, Outer, Inner, Last, cioè primo, esterno, interno e ultimo — e indica l'ordine in cui si lavora: i due termini con la x, i due che stanno all'esterno del prodotto scritto, i due che stanno all'interno e i due termini noti. Ognuno di questi quattro prodotti viene elencato con il suo nome accanto alla forma espansa, così (x + 2)(x + 3) si legge come 1, 3, 2 e 6 e poi come x² + 5x + 6. I coefficienti negativi ricevono lo stesso trattamento: quando i due prodotti centrali si annullano in parte, la forma espansa lo mostra, e un termine che risulta zero viene tolto invece di essere stampato con coefficiente zero. I coefficienti frazionari restano frazioni, quindi la risposta resta esatta.

Quattro coefficienti e la forma espansa che producono

a	b	c	d	Forma espansa
1	1	1	1	x² + 2x + 1
1	2	1	3	x² + 5x + 6
1	-2	1	-3	x² - 5x + 6
1	2	1	-3	x² - x - 6
1	-1	1	1	x² - 1
2	1	3	4	6x² + 11x + 4
1	5	1	-5	x² - 25
1	3	1	0	x² + 3x
1	0	1	7	x² + 7x
-1	2	1	3	-x² - x + 6
2	-3	4	1	8x² - 10x - 3
1	10	1	-10	x² - 100

Ogni riga prende i quattro coefficienti di (ax + b)(cx + d) e mostra la forma espansa che ne risulta. Le righe sono scelte per coprire le combinazioni di segno e non per essere arbitrarie, perché i segni sono proprio ciò che i quattro prodotti con nome non riescono a dire da soli: la terza riga ha entrambi i termini noti negativi e finisce comunque su un termine positivo, la quarta ne ha uno per tipo e stampa un termine centrale negativo con il coefficiente 1 omesso, e la quinta annulla del tutto il termine centrale. L'ottava riga mostra un ultimo termine mancante, e la nona lascia fuori sia il prodotto interno sia il termine noto: entrambi vengono tolti invece di essere stampati con uno zero. La decima ha un coefficiente iniziale negativo scritto come un semplice segno meno. Le prime quattro colonne sono numeri interi e la quinta è notazione, quindi le celle sono identiche nelle dieci lingue servite dal sito; solo i titoli delle colonne e questa nota sono tradotti.

Formula

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd F = ac O = ad I = bc L = bd (primo, esterno, interno, ultimo)

a, c: I due coefficienti di x, uno per ciascun binomio. Nessuno dei due può essere zero: un binomio con il termine in x nullo è una costante, e moltiplicare per essa non è questo metodo. Il prodotto dei due è il primo termine della forma espansa, ed è per questo che il coefficiente iniziale della risposta è ac e non semplicemente a oppure c.
b, d: I due termini noti. Possono essere zero, negativi o frazionari, e decidono due dei quattro prodotti: la coppia esterna ad e la coppia interna bc si sommano per dare il termine centrale, mentre il loro prodotto bd è il termine noto in fondo. Il fatto che siano entrambi negativi è ciò che rende di nuovo positivo l'ultimo termine.
F, O, I, L: I quattro prodotti, nell'ordine in cui il metodo li nomina: primo (ac), esterno (ad), interno (bc) e ultimo (bd). Il termine centrale della forma espansa è la somma del prodotto esterno e di quello interno, ed è l'unico passo del FOIL in cui due numeri si combinano invece di essere semplicemente scritti.
x: La variabile in cui sono scritti i due binomi. Qui non porta alcun valore — la risposta è un'espressione e non un numero, ed è per questo che la lettura principale è un testo e non una colonna numerica.

Usa questa pagina per moltiplicare due binomi a mano e controllare il risultato passo per passo. Il senso inverso — prendere un'espressione quadratica espansa e riscriverla come prodotto — è la scomposizione in fattori, e la pagina del completamento del quadrato parte dalla stessa espressione dall'altra estremità. Se invece cerchi i prodotti notevoli, cioè le potenze di un binomio come (x + 2)², il passo successivo è la pagina delle potenze.

Esempi svolti

(x + 2)(x + 3)
1. Primo: x × x = x², quindi il primo prodotto è 1
2. Esterno: x × 3 = 3x, il prodotto esterno è 3
3. Interno: 2 × x = 2x, il prodotto interno è 2
4. Ultimo: 2 × 3 = 6
5. Esterno e interno si combinano nel termine centrale: 3x + 2x = 5x
6. La forma espansa è x² + 5x + 6
Il caso standard, e quello in cui i quattro prodotti sono tutti positivi e tutti distinti. Il termine centrale nasce dalla somma del prodotto esterno e di quello interno, che è il passo che i lettori saltano più spesso — avere i due numeri stampati accanto alla risposta è ciò che rende quel passo verificabile.
Quando nessuno dei due coefficienti di x è 1
1. Primo: 2x × 3x = 6x², quindi il coefficiente iniziale è 6
2. Esterno: 2x × 4 = 8x
3. Interno: 1 × 3x = 3x
4. Ultimo: 1 × 4 = 4
5. Termine centrale: 8x + 3x = 11x
6. La forma espansa è 6x² + 11x + 4
Il coefficiente iniziale è un prodotto invece di un numero singolo, quindi non si legge in nessuno dei due binomi. Niente altro del metodo cambia: il termine centrale resta la somma del prodotto esterno e di quello interno, ed è l'unico punto in cui due dei quattro numeri si fondono.
Una differenza di quadrati
1. Primo: x × x = x²
2. Esterno: x × (−5) = −5x
3. Interno: 5 × x = 5x
4. Ultimo: 5 × (−5) = −25
5. Il prodotto esterno e quello interno sono −5x e +5x, e si annullano esattamente
6. Senza termine centrale, la forma espansa è x² − 25
Il caso che dimostra che il termine centrale è una somma e non un prodotto. I quattro prodotti con nome sono tutti diversi da zero, eppure la forma espansa ha soltanto due termini — perché i due che formerebbero il termine centrale sono uguali e opposti. Una pagina che stampasse i quattro prodotti senza sommarli sembrerebbe aver perso un termine.

Limiti

Il coefficiente di x in ciascun binomio deve essere diverso da zero. Con uno dei due nullo non c'è alcun termine in x da accoppiare, l'espressione è una costante per un binomio e il primo passo del metodo non produce niente — per questo l'ingresso viene rifiutato per nome. Tutti e quattro i coefficienti sono limitati a un valore assoluto di un milione, perché i prodotti esterno e interno vengono sommati prima di essere arrotondati e i valori intermedi più grandi superano quello che si riesce a controllare a occhio. I risultati frazionari vengono stampati come frazioni quando il denominatore non supera mille e divide esattamente, e come sei cifre decimali altrimenti: (x + 1/2)(x + 3) stampa un mezzo e non uno virgola cinque. La forma espansa è una notazione e non è localizzata — dentro di essa il segno meno è un trattino ASCII, l'esponente è ² e non c'è alcun separatore di migliaia — mentre le quattro letture numeriche che le stanno accanto seguono la convenzione italiana, con la virgola decimale e il punto per le migliaia. La differenza si vede nella stessa schermata: con a = c = 1000 la forma espansa comincia con 1000000x² mentre la riga Primi mostra 1.000.000,000000. Questa pagina moltiplica; non scompone in fattori. Andare da una forma espansa ai due binomi di partenza è il problema inverso, e la pagina non lo affronta.

Domande frequenti

Che cosa vuol dire FOIL?: È una sigla inglese: First, Outer, Inner, Last — primo, esterno, interno e ultimo. Indica quattro coppie di termini presi dai due binomi in quest'ordine: i due termini con la x, i due che stanno all'esterno del prodotto scritto, i due che stanno all'interno e i due termini noti. Moltiplicare le quattro coppie e sommarle dà la forma espansa.
Perché il prodotto esterno e quello interno si sommano?: Perché entrambi producono un termine in x, e i termini simili si combinano. Niente nel FOIL è facoltativo: i quattro prodotti sono l'elenco completo delle coppie, e il risultato è la loro somma. Esterno e interno sono gli unici due che possono fondersi, ed è per questo che la forma espansa di due binomi ha tre termini invece di quattro.
Il metodo FOIL funziona con i coefficienti negativi?: Sì, e il segno viaggia insieme al termine a cui appartiene. In (x + 5)(x − 5) il prodotto esterno è −5x e quello interno è +5x; si annullano, il termine centrale sparisce del tutto e restano solo due termini: è il caso della differenza di quadrati. Con entrambi i termini noti negativi succede un'altra cosa, e il prodotto finale torna positivo.
Il coefficiente di x può essere zero?: Su questa pagina no. Un binomio il cui coefficiente di x è zero è in realtà una costante, e moltiplicare per essa è aritmetica ordinaria, non questo metodo — il primo passo non avrebbe niente da scrivere. L'ingresso viene rifiutato e il campo viene indicato per nome, invece di essere trattato in silenzio come una costante.
Perché a volte manca un termine nella risposta?: Perché il suo coefficiente è risultato zero. Quando il prodotto esterno e quello interno si annullano, non esiste alcun termine in x, e la forma espansa viene scritta come x² − 25 invece che come x² + 0x − 25. Togliere il termine vuoto è la convenzione che la stampa usa in tutta questa pagina; i quattro prodotti con nome continuano a mostrare che cosa gli è successo.
Perché le risposte frazionarie vengono stampate come frazioni?: Perché una frazione resta esatta, mentre un decimale è solo una delle sue grafie. In (x + 1/2)(x + 3) il coefficiente di x è 7/2, e stamparlo come 3,5 sarebbe giusto qui ma comincerebbe a divergere appena il passo successivo lo moltiplicasse. La forma stampata usa una frazione ogni volta che il denominatore divide esattamente e non supera mille, e ricorre alle sei cifre decimali soltanto quando è costretta.

Riferimenti

Quadratic Equation — the equation whose left-hand side the expansion produces, and the standard form the coefficients feed into — Wolfram MathWorld (United States)
Completing the Square — the same quadratic expression taken the other way, from expanded form into a squared bracket — Wolfram MathWorld (United States)
Parabola — the curve an expanded quadratic draws, and the reason its coefficients are worth getting right — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della formula quadraticaLe radici di un'equazione di secondo grado, anche complesse.Calcolatrice delle potenzeEleva un numero a qualsiasi esponente, anche negativo.Calcolatrice completamento quadratoIl quadrato completato di una quadratica, con il vertice.