Che cos'è la forma punto-pendenza?

Un modo di scrivere un'equazione lineare che tiene in vista un punto noto della retta: y meno l'altezza del punto è uguale alla pendenza per x meno la posizione del punto. Qualunque punto e qualunque pendenza si possono scrivere così, e rileggendo l'equazione si capisce quale punto e quale pendenza l'hanno prodotta.

A cosa serve, se la forma esplicita è più semplice?

Perché è costruita direttamente da quello che si conosce. La forma esplicita è più comoda da disegnare, ma per ottenerla bisogna moltiplicare e raccogliere i termini, e qualsiasi errore di calcolo si nasconde dentro una costante. La forma punto-pendenza tiene i numeri dati dove sono stati inseriti, quindi si controlla a colpo d'occhio.

Che cosa mi dice l'intercetta y?

Dove la retta incontra l'asse y, cioè la sua altezza quando x vale zero. Discende dagli stessi tre dati di ingresso: parti dal punto noto e disfa la salita che la pendenza avrebbe prodotto per arrivarci dall'asse. Se il punto noto sta già sull'asse, l'intercetta è semplicemente la sua altezza.

Perché una pendenza di 1 si scrive senza numero?

Per lo stesso motivo per cui un coefficiente di 1 si lascia cadere ovunque: scrivere 1(x − 2) aggiunge un simbolo che non porta informazione. Una pendenza di −1 conserva il segno meno ma lascia comunque cadere la cifra, ed è lì che la parentesi deve restare: il meno sta fuori di essa, e toglierla cambia la retta.

Perché le pendenze frazionarie stanno fra parentesi?

Per tenere la frazione attaccata alla parentesi invece che alla x. Scritta senza parentesi, 1/2(x − 4) si legge come uno diviso il doppio della parentesi, che è un'espressione diversa. Con le parentesi diventa (1/2)(x − 4), e l'ordine della moltiplicazione non è più ambiguo.

Una retta verticale si può scrivere in questo modo?

No. Una retta verticale non ha pendenza — la sua salita è reale mentre il suo spostamento orizzontale è zero — quindi non esiste un valore di m che la produca, e la forma punto-pendenza non può descriverla. Una retta così si scrive invece come x uguale a una costante, e quella forma è fuori da quello che questa pagina gestisce.

Calcolatrice della forma punto-pendenza

Risultato

y - 3 = 2(x - 1)

Forma punto-pendenza

Forma esplicita: y = 2x + 1
Intercetta y: 1,000000

Una calcolatrice della forma punto-pendenza scrive l'equazione di una retta quando di quella retta si conoscono un punto e la pendenza. La risposta torna in due disposizioni: la forma punto-pendenza, che tiene il punto in vista come i numeri da cui è stata costruita, e la forma esplicita, che la moltiplica fino a far leggere direttamente l'intercetta y. Il valore predefinito è una pendenza di 2 per il punto (1, 3), che dà y − 3 = 2(x − 1), cioè y = 2x + 1 una volta riordinata. Tutto quello che la retta fa è già visibile nella prima disposizione, ed è il motivo per cui la si preferisce: la pendenza è il numero davanti, e le coordinate del punto stanno dove sono state inserite. Una pendenza frazionaria è un ingresso legittimo e viene scritta come frazione invece di essere arrotondata, perché l'equazione è un oggetto esatto e un decimale non sarebbe che una delle scritture possibili di uno dei suoi numeri.

Dieci pendenze e dieci punti, e le equazioni che producono

Pendenza	x₁	y₁	Forma punto-pendenza
2	1	3	y - 3 = 2(x - 1)
1	0	0	y = x
1	5	0	y = (x - 5)
-1	2	5	y - 5 = -(x - 2)
-1	0	4	y - 4 = -x
0	1	3	y - 3 = 0
0.5	4	1	y - 1 = (1/2)(x - 4)
3	0	-2	y + 2 = 3x
-2	-1	-3	y + 3 = -2(x + 1)
4	2	2	y - 2 = 4(x - 2)

Ogni riga prende una pendenza e un punto e mostra l'equazione che ne esce. Le righe sono scelte per coprire le convenzioni di scrittura più che per essere arbitrarie, dato che sono proprio quelle che il lettore sta verificando: la seconda riga ha entrambe le coordinate a zero, il che fa cadere del tutto la parentesi, e la terza ha un'altezza zero, il che lascia il membro di sinistra come una y nuda. La sesta riga ha pendenza zero e stampa uno 0 semplice a destra. La settima porta una pendenza frazionaria, che sta fra parentesi, e la nona ha coordinate negative, che cambiano entrambi i segni in una volta. Fra tutte, sono i casi in cui una risposta scritta a mano sbaglia, e le coordinate con segno sono ciò che rende la seconda e la nona riga interessanti da mettere una accanto all'altra. Le caselle numeriche di questa tabella non vengono localizzate: qui i valori sono numeri o notazioni, quindi la tabella è identica in tutte le lingue del sito e i decimali vi compaiono con il punto anche se nel testo qui sopra si scrivono con la virgola.

Formula

y − y₁ = m(x − x₁) forma esplicita: y = mx + (y₁ − m·x₁)

m: La pendenza: quanto ripida sale o scende la retta, come numero con segno. È il coefficiente davanti alla parentesi a destra, e il coefficiente di x una volta che l'equazione è stata riordinata. Una pendenza di 0 rende la retta orizzontale, ed è il caso in cui la calcolatrice scrive uno 0 semplice invece di una parentesi moltiplicata per niente
x₁, y₁: L'unico punto noto. Qui ne basta uno: la pendenza fissa la direzione e il punto fissa la posizione, e insieme determinano la retta. Gli indici sono quelli che usa la formula e non un indice di una lista: su questa pagina non esiste un secondo punto
intercetta y: Il punto in cui la retta attraversa l'asse y, cioè la costante che resta dopo aver riordinato l'equazione. Esce dagli stessi tre dati di ingresso: la retta passa per il punto dato, quindi la sua altezza con x uguale a zero è l'altezza di quel punto meno la salita che la pendenza avrebbe prodotto per arrivarci
x, y: Le due variabili che l'equazione mette in relazione. A nessuna delle due viene dato un valore: la risposta è una regola che vale per ogni punto della retta nello stesso momento, ed è per questo che la lettura principale è un testo e non un numero singolo

Serve per scrivere una retta quando si conoscono la sua ripidezza e un punto che le appartiene: da un tasso e un valore iniziale, dalla pendenza di una tangente in un punto noto, oppure da due punti dopo aver calcolato la pendenza fra loro. Andare nel verso opposto, dai due punti alla pendenza, è il compito della pagina sulla pendenza; usare un'equazione già pronta per prevedere un valore più avanti lungo la retta è il compito della pagina sull'interpolazione. Il risultato è un'equazione lineare scritta in modo che il punto dato resti leggibile, ed è questa la differenza pratica rispetto alla forma esplicita.

Esempi svolti

Una pendenza di 2 per il punto (1, 3)
1. Metti la pendenza e il punto nello schema: y − y₁ = m(x − x₁)
2. Il membro di sinistra diventa y − 3 e la parentesi diventa (x − 1)
3. La forma punto-pendenza è y − 3 = 2(x − 1)
4. Moltiplica la parentesi: 2(x − 1) = 2x − 2
5. Porta il −3 dall'altra parte: y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
6. La forma esplicita è y = 2x + 1, quindi l'intercetta y è 1
Il caso predefinito, e quello da leggere insieme ai dati inseriti: i due numeri dentro le parentesi sono le coordinate digitate, con il segno cambiato dalla sottrazione. È a questo che serve la disposizione punto-pendenza: tenere leggibile il punto dato invece di piegarlo dentro una costante.
Una pendenza di −1, dove la parentesi deve restare
1. Lo schema dà y − 5 = m(x − 2)
2. Una pendenza di −1 si scrive con un semplice segno meno invece che con −1, come si lascia cadere un coefficiente di 1
3. La parentesi resta: scrivere −x − 2 sarebbe un'altra retta
4. La forma punto-pendenza è y − 5 = −(x − 2)
5. Moltiplica: −(x − 2) = −x + 2, poi y = −x + 2 + 5
6. La forma esplicita è y = −x + 7 e l'intercetta y è 7
La riga che più facilmente va storta. Una pendenza di 1 e una di −1 si scrivono entrambe senza un numero visibile, ma il segno meno deve restare fuori dalla parentesi: toglierla trasforma −(x − 2) in −x − 2, un errore di segno nel mezzo di un'equazione che per il resto sembra del tutto normale.
Una pendenza frazionaria
1. Una pendenza di 0,5 viene tenuta come la frazione esatta 1/2 invece di essere scritta come decimale
2. Lo schema dà y − 1 = (1/2)(x − 4)
3. La frazione sta fra parentesi, perché 1/2(x − 4) si leggerebbe come uno diviso il doppio della parentesi
4. La stessa parentesi si ripete nella forma esplicita: y = (1/2)x − 1
5. L'intercetta y è −1
Il caso che decide due convenzioni in una volta sola. Le frazioni restano esatte perché l'equazione resti un'equazione e non un'approssimazione, e un coefficiente frazionario sta fra parentesi perché resti attaccato alla parentesi e non alla variabile. Entrambe le convenzioni sono le stesse che le altre pagine di algebra usano per lo stesso tipo di numero.

Limiti

La pendenza e le due coordinate sono limitate a un milione in valore assoluto. Gli ingressi frazionari vengono stampati come frazioni quando il denominatore divide esattamente ed è al massimo mille, e come sei decimali altrimenti: così 0,5 esce come 1/2 mentre un decimale con uno sviluppo periodico lungo ricade sull'arrotondamento. Pendenza e coordinate sono accettate solo come decimali; la pagina non accetta una frazione scritta come testo, quindi 1/3 va inserito come il decimale a cui si arrotonda. Una retta verticale non si può scrivere affatto in questa forma: la sua pendenza è indefinita e nessun valore di m la produce, quindi una retta verticale per il punto dato semplicemente non è una delle rette che questa pagina sa descrivere. Quello che la pagina non fa è trovare la pendenza al posto tuo a partire da due punti, o dirti dove la retta incontra l'asse x.

Domande frequenti

Che cos'è la forma punto-pendenza?: Un modo di scrivere un'equazione lineare che tiene in vista un punto noto della retta: y meno l'altezza del punto è uguale alla pendenza per x meno la posizione del punto. Qualunque punto e qualunque pendenza si possono scrivere così, e rileggendo l'equazione si capisce quale punto e quale pendenza l'hanno prodotta.
A cosa serve, se la forma esplicita è più semplice?: Perché è costruita direttamente da quello che si conosce. La forma esplicita è più comoda da disegnare, ma per ottenerla bisogna moltiplicare e raccogliere i termini, e qualsiasi errore di calcolo si nasconde dentro una costante. La forma punto-pendenza tiene i numeri dati dove sono stati inseriti, quindi si controlla a colpo d'occhio.
Che cosa mi dice l'intercetta y?: Dove la retta incontra l'asse y, cioè la sua altezza quando x vale zero. Discende dagli stessi tre dati di ingresso: parti dal punto noto e disfa la salita che la pendenza avrebbe prodotto per arrivarci dall'asse. Se il punto noto sta già sull'asse, l'intercetta è semplicemente la sua altezza.
Perché una pendenza di 1 si scrive senza numero?: Per lo stesso motivo per cui un coefficiente di 1 si lascia cadere ovunque: scrivere 1(x − 2) aggiunge un simbolo che non porta informazione. Una pendenza di −1 conserva il segno meno ma lascia comunque cadere la cifra, ed è lì che la parentesi deve restare: il meno sta fuori di essa, e toglierla cambia la retta.
Perché le pendenze frazionarie stanno fra parentesi?: Per tenere la frazione attaccata alla parentesi invece che alla x. Scritta senza parentesi, 1/2(x − 4) si legge come uno diviso il doppio della parentesi, che è un'espressione diversa. Con le parentesi diventa (1/2)(x − 4), e l'ordine della moltiplicazione non è più ambiguo.
Una retta verticale si può scrivere in questo modo?: No. Una retta verticale non ha pendenza — la sua salita è reale mentre il suo spostamento orizzontale è zero — quindi non esiste un valore di m che la produca, e la forma punto-pendenza non può descriverla. Una retta così si scrive invece come x uguale a una costante, e quella forma è fuori da quello che questa pagina gestisce.

Riferimenti

Point-Slope Form — the arrangement this page starts from, and the reason a slope and a single point are enough — Wolfram MathWorld (United States)
Linear Equation — the general form the two outputs are both special cases of, and the standard form the answer can be rearranged into — Wolfram MathWorld (United States)
Slope — the number that fixes the line's direction, and the quantity that has no value at all for a vertical line — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della pendenza di una rettaPendenza di una retta da due punti o dalla sua equazione.Calcolatrice dell'interpolazione lineareInterpola un valore tra due punti noti, con il metodo.Calcolatrice tasso medio variazioneTasso medio di variazione di una funzione su un intervallo.