Calcolatrice tasso medio variazione
Risultato
Tasso medio di variazione
- Variazione di y (Δy)
- 8,000000
- Variazione di x (Δx)
- 2,000000
Una calcolatrice del tasso medio di variazione prende i due estremi di un intervallo e riporta quanto è cambiata in media la funzione lungo quell'intervallo, per unità di ingresso. È la grandezza che un grafico mostra come ripidezza della retta secante tracciata fra i due punti, ed è l'idea che il calcolo infinitesimale porta al limite. Inserisci le due coordinate e la pagina restituisce il tasso medio insieme alla variazione con segno dell'uscita e dell'ingresso, così l'aritmetica che ha prodotto il rapporto resta visibile invece di sparire. Si usa con la velocità, con la crescita e in ogni situazione in cui una grandezza si muove in risposta a un'altra lungo un tratto.
Tassi medi di variazione della funzione che eleva al quadrato
| a | b | Tasso medio di variazione |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 2 | 4 | 6 |
| -1 | 1 | 0 |
| -2 | 3 | 1 |
| -3 | -1 | -4 |
Ogni riga dà l'intervallo da a a b e il tasso medio della funzione che eleva al quadrato su quell'intervallo. Ogni risposta è a + b, che è la regola a cui questa funzione obbedisce su ogni intervallo: le prime tre righe partono da 0 e riproducono semplicemente l'estremo di destra, le righe centrali partono altrove, e l'ultima riga passa per ingressi negativi e restituisce un tasso negativo. Quell'ultima riga è la più interessante: la funzione scende da 9 a 1 lungo l'intervallo, e la tabella mostra la discesa come numero con segno invece che come grandezza. Le caselle numeriche di questa tabella non vengono localizzate, quindi i decimali vi comparirebbero con il punto anche se qui nel testo si scrivono con la virgola: in questo caso sono tutti numeri interi, quindi la tabella è identica in ogni lingua del sito — una tabella di tassi decimali andrebbe invece localizzata, dato che 1,5 si scrive così in diverse lingue e 1.5 in altre.
Formula
tasso medio di variazione = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- x₁
- L'ingresso al primo estremo dell'intervallo, cioè il valore precedente di qualunque cosa la funzione prenda: il tempo nel caso della velocità, la posizione in quello geometrico. Niente lo vincola, e non deve essere minore di x₂: i due estremi si possono dare in qualsiasi ordine
- x₂
- L'ingresso al secondo estremo. Non può essere uguale a x₁. Se lo fosse, il denominatore del rapporto sarebbe zero e non ci sarebbe niente su cui fare la media: si starebbe chiedendo alla funzione di cambiare senza alcun cambiamento nel suo ingresso, che è un segmento verticale e non un tasso
- y₁, y₂
- L'uscita della funzione in quei due ingressi. Che la funzione sia una formula, una tabella di letture o una curva sullo schermo, alla pagina servono solo i due valori — e l'ordine conta per le due colonne delle variazioni anche se nel rapporto si annulla
- Δy ÷ Δx
- Il tasso medio stesso: la variazione totale dell'uscita divisa per la lunghezza dell'intervallo in cui è avvenuta. Nella notazione delta la lettera greca indica una differenza, quindi Δy è la variazione di y e Δx è la variazione di x. Leggere l'espressione come «per unità» è il punto: la risposta dice quanto si è mosso y per ogni singola unità di x
- (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- La stessa grandezza scritta per esteso. È numericamente identica alla pendenza della retta che unisce i due punti, ed è per questo che le due calcolatrici danno la stessa risposta a domande diverse: la pagina della pendenza chiede quanto è ripida una retta, questa chiede quanto in fretta si è mossa una funzione lungo un intervallo. Solo la seconda lettura sopravvive nel calcolo infinitesimale, dove l'intervallo viene preso sempre più stretto
Esempi svolti
Il tasso medio di variazione di x² sull'intervallo da 1 a 3
- L'intervallo è lungo due unità: Δx = 3 − 1 = 2
- L'uscita è cambiata di otto: Δy = 9 − 1 = 8
- Dividi: 8 ÷ 2 = 4
- Quindi la funzione ha guadagnato in media 4 unità di uscita per ogni unità di ingresso
Per la funzione che eleva al quadrato la risposta segue una regola che vale la pena conoscere: su un intervallo da a a b il suo tasso medio è sempre a + b, qui 1 + 3 = 4. La regola vale perché b² meno a² si scompone in (b − a)(b + a), e il fattore b − a si annulla con il denominatore. È anche il motivo per cui la tabella di riferimento qui sotto è costruita su questa sola funzione.
Una velocità media su tre secondi
- L'ingresso è il tempo in secondi, da 0 a 3
- L'uscita è la posizione, che si è spostata da 10 a 70
- La posizione è cambiata di 60 in 3 secondi: 60 ÷ 3 = 20
- La velocità media è 20 unità di distanza al secondo
La lettura che rende concreta la grandezza: con la posizione sull'asse verticale e il tempo su quello orizzontale, il tasso medio di variazione è la velocità media. Ed è una media nel senso vero — la velocità effettiva può aver oscillato per tutto il tempo, e questo rapporto non dice nulla sul mezzo dell'intervallo, solo sui due estremi.
Scambiare i due estremi
- Gli stessi due punti del primo esempio, elencati nell'ordine opposto
- Δx = 1 − 3 = −2 e Δy = 1 − 9 = −8
- Il rapporto è −8 ÷ −2 = 4, lo stesso valore di prima
- Entrambe le colonne delle variazioni hanno cambiato segno mentre il tasso no
Chi vede un Δx negativo accanto a un tasso positivo non ha trovato un errore. Il rapporto non cambia quando numeratore e denominatore cambiano segno insieme, quindi il tasso medio non dipende da quale estremo viene chiamato primo; le due colonne delle variazioni sì, perché descrivono una direzione di marcia fra i punti. Il risultato principale risponde a quanto in fretta, le colonne delle variazioni rispondono da dove a dove.
Limiti
I due ingressi devono essere diversi. Quando x₂ è uguale a x₁ il rapporto ha denominatore zero, e la pagina lo rifiuta invece di restituire infinito: un segmento verticale non ha un tasso di variazione per unità di x, perché x non sta cambiando affatto. Gli estremi si possono dare in qualsiasi ordine e il tasso medio è lo stesso in entrambi i casi, ma le due colonne delle variazioni hanno un segno e si scambiano quando si scambia l'ordine. La pagina riporta un tasso su un intervallo e mai un tasso in un punto: il tasso istantaneo è un limite che questa pagina non calcola, e richiede di conoscere la funzione invece di due suoi valori. Ogni coordinata è limitata a mille miliardi in valore assoluto, oltre i quali la sottrazione perderebbe precisione e i sei decimali mostrati sarebbero fuorvianti. Il risultato è arrotondato a sei decimali mentre l'aritmetica procede a piena precisione. La pagina non stampa nessun angolo: un angolo è una proprietà di una retta, e una funzione su un intervallo non ne ha uno, che è una delle differenze fra questa pagina e la calcolatrice della pendenza a cui rimanda.
Domande frequenti
- Che cos'è il tasso medio di variazione?
- È la variazione totale dell'uscita di una funzione su un intervallo, divisa per la lunghezza di quell'intervallo. Se la posizione passa da 10 a 70 in tre secondi, il tasso medio è 60 ÷ 3, cioè 20 unità al secondo. La parola medio fa un lavoro vero: la grandezza riassume l'intero intervallo con un numero solo e non dice nulla su come si è comportata la funzione al suo interno.
- In che cosa è diverso dalla pendenza?
- L'aritmetica è identica — in entrambi i casi si divide la variazione della grandezza verticale per quella della grandezza orizzontale — ma la domanda è diversa. La pendenza descrive quanto è ripida una retta, una proprietà della retta stessa. Il tasso medio di variazione descrive quanto in fretta si è mossa una funzione fra due punti, ed è la grandezza che conserva il suo significato quando l'intervallo si restringe verso zero. Solo una delle due idee sopravvive nel calcolo infinitesimale.
- Perché la risposta è la stessa se scambio i due punti?
- Perché il rapporto non cambia quando numeratore e denominatore cambiano segno insieme, e scambiare gli estremi li cambia entrambi in una volta. Le due colonne delle variazioni invece si scambiano, dato che registrano una direzione di marcia dal primo punto al secondo. Quindi il tasso risponde a quanto in fretta, le colonne delle variazioni rispondono da dove a dove, e sono corrette entrambe nello stesso momento.
- Il tasso medio di variazione può essere negativo?
- Sì, e significa che l'uscita è diminuita mentre l'ingresso cresceva lungo quell'intervallo. Sull'intervallo da −3 a −1 la funzione che eleva al quadrato scende da 9 a 1, quindi il suo tasso medio è −4. Un valore negativo non è il segno che qualcosa è stato inserito al contrario: è la direzione del cambiamento, ed è il motivo per cui le due colonne delle variazioni vengono stampate accanto al rapporto.
- Che cosa succede se i due ingressi sono uguali?
- La pagina rifiuta il calcolo. Con x₂ uguale a x₁ il denominatore è zero, quindi non c'è nessun intervallo su cui fare la media: si chiederebbe alla funzione di cambiare senza alcun cambiamento nel suo ingresso. È un segmento verticale, e non ha un tasso per unità di x. La pagina segnala il rifiuto invece di restituire infinito, che non è un tasso.
- Il tasso medio è la stessa cosa del tasso istantaneo?
- Solo quando la funzione è una retta, dove il tasso è costante ovunque e i due coincidono. Altrimenti il tasso medio descrive l'intervallo nel suo insieme e quello istantaneo descrive un singolo valore dell'ingresso. Restringere sempre di più l'intervallo è ciò che trasforma il tasso medio in quello istantaneo, e quel limite è la derivata: un passaggio che questa pagina non compie, perché lavora su due valori e non sulla formula della funzione.
Riferimenti
- Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
- Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
- Derivative — the limit of the average rate of change as the interval shrinks, which is where this quantity is heading — Wolfram MathWorld (United States)