Che cos'è l'interpolazione lineare?

Tracciare una retta per due punti noti e leggere il valore in una posizione intermedia. La parola lineare dichiara l'ipotesi: si suppone che la grandezza cambi a ritmo costante lungo l'intervallo, quindi la risposta è una miscela pesata dei due valori noti e non una misura.

Che cosa mi dice la frazione del segmento?

Quanto avanti lungo la retta sta il punto, contando dal primo punto noto. Vale 0 all'inizio, 0,5 a metà e 1 alla fine. Il valore stesso si può scrivere come i due valori noti mescolati in quelle proporzioni, quindi la frazione è tutto ciò che l'interpolazione aggiunge ai due punti.

Posso interpolare fuori dai due punti?

Puoi, e questa pagina lo fa, ma l'operazione è allora un'estrapolazione, e la posizione torna sopra 1 o sotto 0 per dirlo. Una retta per due punti è una congettura sull'intervallo fra loro; prolungata oltre uno degli estremi diventa una congettura molto più forte su qualcosa che i dati non hanno mai coperto.

Perché una coppia di punti verticale viene rifiutata?

Perché non c'è un'unica risposta da dare. Due punti con la stessa x stanno uno sopra l'altro, e la retta che li attraversa assegna a quella sola x tutti i valori di y in una volta. La pagina rifiuta quell'ingresso per nome invece di restituire un infinito, che sembrerebbe una risposta.

L'ordine dei due punti conta?

Non per il valore letto sulla retta, ma cambia la pendenza e la posizione. Scambiare i due punti cambia il segno sia della pendenza sia della frazione del segmento lasciando dov'era la y interpolata, perché si sta descrivendo la stessa retta nel verso opposto.

Perché non viene stampata nessuna misura di affidabilità?

Perché due punti non bastano a sostenerne una. Un adattamento misurato su due punti è perfetto per costruzione, quindi qualsiasi indice di bontà verrebbe fuori al suo valore migliore ogni volta, qualunque cosa facciano davvero i dati di partenza. La pagina stampa invece la pendenza e la posizione, che sono fatti sulla retta e non affermazioni sui dati.

Calcolatrice dell'interpolazione lineare

Risultato

5,000000

y interpolata

Pendenza: 3,000000
Posizione lungo il segmento: 0,500000

Una calcolatrice dell'interpolazione lineare trova il valore y che sta sulla retta passante tra due punti noti. Dagli entrambi i punti e la x che ti interessa: il valore interpolato torna insieme alla pendenza di quella retta e alla posizione lungo di essa, espressa come frazione del segmento fra 0 e 1. La coppia predefinita è (1, 2) e (3, 8) con x uguale a 2, che cade esattamente a metà e dà y uguale a 5. Interpolare significa leggere un valore su una retta che hai già tracciato attraverso due misure, quindi la risposta vale quanto vale l'ipotesi che quella retta sia dritta. Quando la x che chiedi cade fuori dai due punti, la stessa formula continua a funzionare e produce un'estrapolazione: qui è ammessa ed è segnalata invece di essere rifiutata.

Cinque posizioni lungo l'intervallo da (1, 2) a (3, 8)

x	t	y
1	0	2
1.5	0.25	3.5
2	0.5	5
2.5	0.75	6.5
3	1	8

Le cinque posizioni di esempio sono i due estremi più tre punti che dividono l'intervallo in parti uguali, quindi la colonna centrale si legge 0, 0,25, 0,5, 0,75 e 1. Leggerla dall'alto verso il basso è il senso della tabella: la colonna delle y avanza ogni volta della stessa quantità, perché una retta è esattamente il caso in cui passi uguali in posizione danno passi uguali in valore. Gli estremi ci sono perché la prima e l'ultima riga si possano confrontare con i due punti noti senza fare aritmetica. Le caselle numeriche di questa tabella non vengono localizzate, quindi i decimali vi compaiono con il punto anche se qui nel testo si scrivono con la virgola: è lo stesso numero in due convenzioni, non due numeri diversi.

Formula

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁: Il primo punto noto. È quello che ancora la retta: con x uguale a x₁ la formula restituisce y₁ esattamente, perché tutto il termine di distanza si annulla. Porre x₁ uguale a 0 è ammesso ed è frequente, dato che così il punto sta sull'asse y
x₂, y₂: Il secondo punto noto. I due punti insieme fissano la retta, che è tutto ciò che serve a una retta. Le loro x devono essere diverse: due punti con la stessa x descrivono una retta verticale, dove a una sola x corrispondono tutti i valori di y insieme, e non esiste una risposta unica
x: La posizione di cui vuoi il valore. Non deve per forza stare fra i due punti: fuori da quell'intervallo la stessa espressione continua e il risultato è un'estrapolazione invece di un'interpolazione, ed è per questo che la lettura viene segnalata invece di essere vietata
t: La frazione del segmento, cioè quanto avanti lungo la retta sta il punto contando dal primo: sul pannello è la riga che porta il nome di posizione lungo il segmento. Vale 0 nel primo punto, 0,5 a metà e 1 nel secondo, ed è il peso con cui i due valori di y vengono mescolati

Serve quando si conoscono due misure e se ne vuole una in mezzo: una lettura fra due voci di una tabella, un valore a una data compresa fra due osservazioni, o qualunque coppia di grandezze che si suppone si muovano insieme in linea retta. Quando i due punti servono invece a misurare la ripidezza, quella è la pendenza di una retta; quando il valore che cerchi sta esattamente a metà, è il punto medio.

Esempi svolti

A metà fra (1, 2) e (3, 8)
1. La variazione di y è 8 − 2 = 6, e la variazione di x è 3 − 1 = 2
2. La retta sale di 3 in y per ogni 1 in x, quindi la pendenza è 3
3. x = 2 sta 1 unità lungo un intervallo di 2 unità, quindi la frazione del segmento è 1 ÷ 2 = 0,5
4. Mescola i due valori in quella proporzione: (1 − 0,5) × 2 + 0,5 × 8 = 1 + 4 = 5
5. Il valore interpolato è y = 5
Il caso predefinito, e quello da leggere due volte: con frazione un mezzo la risposta è la semplice media dei due valori di y, 2 e 8. È una coincidenza dovuta al fatto di cadere esattamente al centro, non una regola: a un quarto del percorso la risposta sarebbe 3,5.
Una retta che scende
1. La variazione di y è −20 − 0 = −20, e la variazione di x è 10 − 0 = 10
2. La pendenza è −20 ÷ 10 = −2, quindi la retta scende di due unità per ogni una che avanza
3. x = 4 sta 4 unità lungo un intervallo di 10 unità, quindi la frazione del segmento è 0,4
4. Mescola: 0,6 × 0 + 0,4 × (−20) = −8
5. Il valore interpolato è y = −8
Qui entrambi gli estremi hanno un segno, ed è questo a rendere utile il controllo a mano: lo spostamento è 10 e non −10, e la risposta cade fra i due valori noti invece che oltre. Leggere l'intervallo al contrario cambierebbe insieme la pendenza e la frazione lasciando corretta la y, ed è esattamente per questo che la frazione viene stampata accanto alla risposta.
Chiedere oltre l'ultimo punto
1. La stessa retta del primo esempio: una salita di 3 per ogni 1 che avanza
2. x = 4 sta 3 unità lungo un intervallo di 2 unità, quindi la frazione del segmento è 3 ÷ 2 = 1,5
3. La frazione è sopra 1, ed è così che la risposta dice che il punto sta oltre il secondo valore noto
4. Mescola: (1 − 1,5) × 2 + 1,5 × 8 = −1 + 12 = 11
5. Il valore è y = 11
Un'estrapolazione, e il motivo per cui la posizione viene stampata come numero semplice invece di essere forzata dentro l'intervallo. Una frazione di 1,5 dice che il punto sta mezzo segmento oltre l'estremo lontano; l'aritmetica è identica a quella dell'interpolazione, e cambia solo l'interpretazione.

Limiti

I due punti noti devono avere x diverse. Due punti impilati sulla stessa x descrivono una retta verticale, dove a una sola x corrispondono infiniti valori di y e non esiste una risposta interpolata unica, quindi quell'ingresso viene rifiutato invece di restituire infinito. Tutti e cinque i numeri sono limitati a un milione in valore assoluto, dato che sia la pendenza sia la frazione sono quozienti che il pannello arrotonda a sei decimali e oltre quella soglia il controllo a ritroso smette di funzionare. I valori fuori dall'intervallo sono accettati e segnalati invece di essere rifiutati: la posizione torna sopra 1 o sotto 0, ed è la pagina che ti sta dicendo che ha estrapolato. Quello che la pagina non può dirti è se estrapolare avesse senso: una retta passante per due punti non dice niente su cosa succede oltre quei punti, e non viene stampata nessuna misura di affidabilità, perché due punti non bastano a sostenerne una.

Domande frequenti

Che cos'è l'interpolazione lineare?: Tracciare una retta per due punti noti e leggere il valore in una posizione intermedia. La parola lineare dichiara l'ipotesi: si suppone che la grandezza cambi a ritmo costante lungo l'intervallo, quindi la risposta è una miscela pesata dei due valori noti e non una misura.
Che cosa mi dice la frazione del segmento?: Quanto avanti lungo la retta sta il punto, contando dal primo punto noto. Vale 0 all'inizio, 0,5 a metà e 1 alla fine. Il valore stesso si può scrivere come i due valori noti mescolati in quelle proporzioni, quindi la frazione è tutto ciò che l'interpolazione aggiunge ai due punti.
Posso interpolare fuori dai due punti?: Puoi, e questa pagina lo fa, ma l'operazione è allora un'estrapolazione, e la posizione torna sopra 1 o sotto 0 per dirlo. Una retta per due punti è una congettura sull'intervallo fra loro; prolungata oltre uno degli estremi diventa una congettura molto più forte su qualcosa che i dati non hanno mai coperto.
Perché una coppia di punti verticale viene rifiutata?: Perché non c'è un'unica risposta da dare. Due punti con la stessa x stanno uno sopra l'altro, e la retta che li attraversa assegna a quella sola x tutti i valori di y in una volta. La pagina rifiuta quell'ingresso per nome invece di restituire un infinito, che sembrerebbe una risposta.
L'ordine dei due punti conta?: Non per il valore letto sulla retta, ma cambia la pendenza e la posizione. Scambiare i due punti cambia il segno sia della pendenza sia della frazione del segmento lasciando dov'era la y interpolata, perché si sta descrivendo la stessa retta nel verso opposto.
Perché non viene stampata nessuna misura di affidabilità?: Perché due punti non bastano a sostenerne una. Un adattamento misurato su due punti è perfetto per costruzione, quindi qualsiasi indice di bontà verrebbe fuori al suo valore migliore ogni volta, qualunque cosa facciano davvero i dati di partenza. La pagina stampa invece la pendenza e la posizione, che sono fatti sulla retta e non affermazioni sui dati.

Riferimenti

Cartesian Coordinates — the two-axis frame the known points and the wanted position are both written in — Wolfram MathWorld (United States)
Slope — the constant ratio the interpolated values step by, and the quantity that has no meaning when the two x values match — Wolfram MathWorld (United States)
Line — the object two distinct points determine, and the assumption that makes reading a value between them meaningful — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della pendenza di una rettaPendenza di una retta da due punti o dalla sua equazione.Calcolatrice tasso medio variazioneTasso medio di variazione di una funzione su un intervallo.Calcolatrice del punto medioIl punto medio di un segmento tra due coordinate.