Calcolatrice forma pendenza-intercetta

punti (x1, y1) e (x2, y2) → m = (y2 - y1) / (x2 - x1) → b = y1 - m * x1 → y = m * x + b

m

La pendenza: quanto la retta sale a ogni passo verso destra. È la salita divisa per lo spostamento, e il suo segno è la direzione — positiva sale, negativa scende, zero è una retta orizzontale. Una pendenza di 4 significa che y guadagna 4 per ogni 1 che guadagna x. È il coefficiente angolare dell'equazione, quello che nell'equazione scritta sta davanti alla x

b

L'intercetta y, cioè l'ordinata all'origine: il valore di y nel punto in cui la retta attraversa l'asse verticale, che è lo stesso valore che y ha con x = 0. È quello che resta di un punto una volta tolto il contributo della pendenza, ed è l'unico numero di questa pagina che si legge direttamente sull'equazione

(x1, y1), (x2, y2)

I due punti. Uno qualsiasi dei due può essere chiamato il primo: scambiarli cambia il segno sia del numeratore sia del denominatore della pendenza, e i due cambiamenti si annullano. Non devono avere la stessa x, perché quella divisione sarebbe una divisione per zero

x, y

Le due variabili dell'equazione finita. Ogni coppia che la soddisfa sta sulla retta, ed è questo a rendere utile l'equazione: metti una x qualsiasi e ti restituisce la y del punto che le sta sopra, senza bisogno di nessuno dei due punti di partenza

Serve quando una retta è descritta da due suoi punti e vuoi la retta stessa — l'equazione, la pendenza e il punto in cui taglia l'asse — invece di un solo numero che la riguarda. Due letture prese da una tabella, due posizioni su un grafico, un valore iniziale e una misura successiva: da lì la pendenza dice quanto in fretta cambia e l'intercetta dice da dove è partita. Se quello che ti serve è solo la pendenza, o solo una previsione a metà strada fra i due punti, le calcolatrici collegate qui sotto fanno esattamente quello e nient'altro.

1. (1, 2) e (3, 10) — il caso ordinario

   1. Salita: 10 − 2 = 8. Spostamento: 3 − 1 = 2
   2. Pendenza: m = 8 / 2 = 4
   3. Intercetta: b = 2 − 4 × 1 = −2
   4. L'equazione: y = 4x - 2

   Controllala su entrambi i punti, che è l'abitudine che vale la pena tenere: con x = 1, 4 × 1 − 2 = 2 ✓, e con x = 3, 4 × 3 − 2 = 10 ✓. Che l'intercetta sia negativa mentre i due punti stanno sopra l'asse non è un errore: la retta è abbastanza ripida da tagliare l'asse ben a sinistra del primo punto, a x = 0,5.

2. (0, 1) e (2, 2) — una pendenza che non è un numero intero

   1. Salita: 2 − 1 = 1. Spostamento: 2 − 0 = 2
   2. Pendenza: m = 1 / 2 = 0,5
   3. Il primo punto sta già sull'asse, quindi b = 1 esce fuori da solo: b = 1 − 0,5 × 0 = 1
   4. L'equazione: y = (1/2)x + 1

   Il coefficiente è fra parentesi perché 1/2x si leggerebbe come 1 diviso 2x. Nota che i due numeri stampati vanno d'accordo con l'equazione alla lettera: la riga della pendenza dice 0,5 e l'equazione dice (1/2), che è lo stesso numero scritto come frazione — la pagina stampa un decimale finito come frazione quando il denominatore è abbastanza piccolo da valere la pena di leggerlo.

3. (1, 3) e (5, 3) — una retta orizzontale

   1. Salita: 3 − 3 = 0. Spostamento: 5 − 1 = 4
   2. Pendenza: m = 0 / 4 = 0
   3. Intercetta: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. L'equazione: y = 3, perché il termine della pendenza non contribuisce affatto

   Una pendenza nulla fa crollare l'equazione: dentro non resta nessuna x, e scrivere y = 0x + 3 aggiungerebbe soltanto un termine che vale sempre zero. È l'unico punto in cui l'equazione stampata smette di somigliare a y = mx + b, ed è corretto e non una scorciatoia: ogni punto della retta ha y = 3, qualunque cosa sia x.

Solo rette, e solo attraverso due punti distinti. Se i due punti hanno la stessa x la retta è verticale: non ha pendenza e non attraversa mai l'asse y, quindi non esiste una forma esplicita da dare, e la pagina segnala un calcolo fallito invece di stamparne una — la risposta onesta là sarebbe x = 3, che non è un'equazione che questa pagina sappia produrre. Due punti che coincidono sono lo stesso caso, dato che per un punto solo passano infinite rette. La pendenza viene arrotondata a sei cifre decimali prima che da essa si ricavi l'intercetta, così i due numeri stampati vanno sempre d'accordo con l'equazione stampata, al prezzo di una retta che oltre la sesta cifra differisce da quella esatta quando la pendenza è periodica — 1/3 diventa 0,333333 e l'equazione viene costruita su quello. L'equazione viene stampata, non risolta: la pagina non ti dirà dove la retta incontra l'asse x, se due rette sono parallele, o quanto vale y in un'altra x. Le coordinate sono limitate a un milione in entrambe le direzioni, e non c'è nessuna unità di misura in gioco, perché una coordinata è un numero e non una misura.

Quale dei due punti conviene inserire per primo?

Uno vale l'altro: la risposta non cambia. Scambiare i due punti cambia il segno del numeratore e del denominatore in (y2 - y1) / (x2 - x1), e i due cambiamenti si annullano. Lo stesso vale per l'intercetta, perché si ricava da un punto e dalla pendenza. L'unica cosa che conta è che entrambe le coordinate di un punto finiscano sulla stessa riga del modulo.

E se i due punti hanno la stessa x?

Allora la retta è verticale e la pagina segnala un calcolo fallito. Una retta verticale non ha pendenza alcuna — lo spostamento orizzontale è zero, quindi la divisione non ha risposta — e non attraversa mai l'asse y, perciò l'equazione y = mx + b non può descriverla comunque si scelgano m e b. L'equazione di una retta verticale è x = 3, una che non contiene né pendenza né intercetta y, ed è per questo che resta fuori da quello che questa pagina produce.

Perché la pendenza è arrotondata, e cosa succede con un decimale periodico?

Viene arrotondata a sei cifre decimali, e l'intercetta si ricava poi dal valore arrotondato invece che da quello esatto. È una scelta deliberata: fa sì che i due numeri del pannello vadano d'accordo esattamente con l'equazione stampata sotto, così la risposta si può controllare a mano. Il prezzo è che con una pendenza periodica, come l'1/3 che danno (1, 1) e (4, 2), la retta stampata è quella arrotondata — 0,333333 invece di un terzo.

In che cosa è diversa dalla calcolatrice della forma punto-pendenza?

Cambiano i dati di ingresso. Questa pagina prende due punti, che è quello che di solito si ha; quella della forma punto-pendenza prende un punto e una pendenza che già conosci, e stampa l'equazione in una forma che mostra quel punto. Descrivono la stessa retta, quindi le due pagine si possono usare una dopo l'altra: prendi la pendenza che questa pagina riporta e il primo dei tuoi due punti, e quella pagina scriverà la stessa retta nell'altro verso.

Perché l'equazione a volte mostra una frazione e a volte un decimale?

Un decimale che finisce entro poche cifre viene stampato come frazione quando il denominatore è piccolo — 0,5 esce come (1/2), 0,25 come (1/4) — perché è così che una pendenza si scrive normalmente a mano. Tutto ciò che è più lungo resta un decimale arrotondato a sei cifre, quindi un terzo compare come 0,333333. Il numero è lo stesso in entrambi i casi, e la riga della pendenza sopra l'equazione va sempre d'accordo con essa.

Come faccio a controllare la risposta a mano?

Metti una delle due x nell'equazione stampata e guarda se ottieni la y di quel punto. Per (1, 2) e (3, 10) l'equazione è y = 4x - 2, e con x = 1 viene 2 mentre con x = 3 viene 10: entrambi i punti stanno sulla retta. Se uno dei due non torna, la pendenza e l'intercetta stampate sopra l'equazione sono i due numeri da confrontare con i tuoi calcoli.

• Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)