Calcolatrice delle successioni
Risultato
Termine n-esimo
- Somma
- 210,000000
- Formula del termine n-esimo
- a(n) = 3 + 4(n - 1)
Una successione è un elenco di numeri costruito da una sola regola, e questa calcolatrice delle successioni copre le due regole che si incontrano quasi ovunque: una successione aritmetica, in cui a ogni passo si somma sempre la stessa quantità, e una successione geometrica, in cui invece si moltiplica sempre per la stessa quantità. Le dai il primo termine, quel passo e quanti termini vuoi, e ti restituisce il termine n-esimo, la somma dei primi n termini e la formula da cui tutta la successione è costruita. Il primo termine può essere zero o negativo, e così anche il passo: è per questo che le stesse tre caselle coprono una successione che sale, una che scende e una che alterna fra due valori.
3, 7, 11, … — i primi otto termini con il totale in corsa accanto
| n | Termine | Somma progressiva |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 7 | 10 |
| 3 | 11 | 21 |
| 4 | 15 | 36 |
| 5 | 19 | 55 |
| 6 | 23 | 78 |
| 7 | 27 | 105 |
| 8 | 31 | 136 |
La colonna n è la posizione, la colonna centrale è quello che la formula del termine n-esimo dà lì, e la terza è tutto quello che arriva fino a quella riga compresa. Leggendo la terza colonna verso il basso si vede la forma della formula della somma: ogni riga aggiunge un termine in più, e gli incrementi crescono di 4 ogni volta. La prima riga è identica in entrambe le tabelle, perché con un solo termine i due tipi di successione non hanno ancora avuto modo di differire.
3, 6, 12, … — le stesse otto righe per una successione geometrica
| n | Termine | Somma progressiva |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 6 | 9 |
| 3 | 12 | 21 |
| 4 | 24 | 45 |
| 5 | 48 | 93 |
| 6 | 96 | 189 |
| 7 | 192 | 381 |
| 8 | 384 | 765 |
Stesse tre colonne, stesse otto posizioni, una regola diversa: qui ogni termine è quello sopra moltiplicato per due, quindi la colonna centrale corre 3, 6, 12, 24, … e i totali si allontanano in fretta da quelli aritmetici: 765 contro 136 all'ottava riga. Le due tabelle sono stampate una accanto all'altra di proposito: il primo termine e il conteggio sono identici, quindi ogni differenza che vedi viene dal passo e dal suo tipo.
Formula
aritmetica — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 geometrica — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) tranne che per r = 1, dove S(n) = n * a(1)
- n
- Quale termine stai chiedendo, contato a partire da 1. È anche il numero di termini della somma, ed è per questo che una sola casella risponde a entrambe le domande. Il decimo termine si scrive a(10) e la somma dei primi dieci S(10).
- a(1)
- Il primo termine, il punto da cui la successione parte. Tutto il resto si ricava da lì, quindi un primo termine negativo cambia il segno di tutti i termini di indice pari in una successione geometrica, mentre in una aritmetica la fa semplicemente partire più in basso.
- d
- La differenza comune, usata dalle successioni aritmetiche: la quantità che si somma a ogni passo. Può essere negativa, e allora la successione scende, oppure zero, e allora ogni termine è uguale al primo: è quest'ultimo caso a far collassare la formula stampata in qualcosa come a(n) = 6.
- r
- La ragione comune, usata dalle successioni geometriche: il numero per cui si moltiplica ogni termine. Una ragione fra 0 e 1 fa rimpicciolire i termini verso zero, una ragione negativa li fa cambiare segno a ogni passo, e una ragione esattamente uguale a 1 rende ogni termine uguale al primo.
- S(n)
- La somma dei primi n termini — questa successione e non oltre. Per una successione aritmetica è la media fra il primo e l'ultimo termine moltiplicata per n, che è il trucco di accoppiamento che si dice Gauss abbia usato su 1 + 2 + … + 100. Non è mai una serie infinita: alza n e il totale continua a crescere.
Serve ogni volta che una quantità cresce o cala con una regola fissa e ti serve un valore molto più avanti nell'elenco: il saldo dopo trent'anni dello stesso versamento annuo, l'altezza dopo il ventesimo rimbalzo, la distanza totale percorsa quando ogni passo è una frazione fissa di quello precedente. Le due caselle che decidono tutto sono il passo e il suo segno, quindi l'abitudine utile è calcolare a mano i primi tre termini e controllare che corrispondano alla tabella di riferimento qui sotto.
Esempi svolti
3, 7, 11, … — il decimo termine e la somma dei primi dieci
- Il passo è 4, quindi i termini sono 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
- Il decimo termine è 3 + 9 × 4 = 39
- Accoppia i termini dall'esterno verso l'interno: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42, e così via
- Ci sono cinque coppie di questo tipo, tutte uguali a 42
- 5 × 42 = 210
L'accoppiamento è tutta la formula della somma: con n termini la media fra il primo e l'ultimo è (3 + 39) / 2 = 21, e 21 × 10 è lo stesso 210. La formula stampata accanto alla risposta è la regola, non questa successione in particolare: a(n) = 3 + 4(n - 1) ricostruisce ogni termine dal solo n, quindi n = 1 restituisce 3 e n = 10 restituisce 39 senza elencare niente.
8, 4, 2, 1, 0,5 — una successione geometrica che si rimpicciolisce
- La ragione è 0,5, quindi ogni termine è la metà di quello precedente: 8, 4, 2, 1, 0,5
- Il quinto termine è 8 × 0,5⁴ = 8 × 0,0625 = 0,5
- Sommali: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 15,5
La somma di una successione geometrica che si rimpicciolisce si avvicina a 16 senza mai superarlo — 8 / (1 − 0,5). Questa pagina dà il totale dei cinque termini che hai chiesto, 15,5, non quel limite, e la differenza è tutta la ragione per cui il numero di termini è un ingresso.
1 + 2 + … + 1000, dove la formula batte la somma a mano
- Il passo è 1, quindi il millesimo termine è 1 + 999 = 1000
- Accoppia il primo con l'ultimo: 1 + 1000 = 1001
- Ci sono 500 coppie di questo tipo, perché 1000 termini fanno 500 coppie
- 500 × 1001 = 500.500
Qui non serve scrivere i termini, ed è proprio il senso di una formula per la somma: le stesse tre caselle risponderebbero anche per un milione di termini se n arrivasse fin lì. È il calcolo che si dice sia stato assegnato a Gauss come punizione scolastica, e l'accoppiamento qui sopra è quello che si dice abbia fatto invece.
Limiti
Solo due tipi di successione: quella aritmetica, dove il passo si somma, e quella geometrica, dove si moltiplica. Qualunque altra cosa — quadrati, cubi, Fibonacci, una successione definita dai suoi due termini precedenti — non ha una regola da inserire qui e richiede uno strumento suo. Il numero di termini deve essere un intero da 1 a 1000; un conteggio frazionario o negativo viene rifiutato invece che arrotondato, perché 2,5 termini non è una quantità che abbia una risposta. Il totale è la somma dei primi n termini e basta, mai di una serie infinita, quindi con una ragione minore di 1 il totale in corsa continua ad avvicinarsi al suo limite senza raggiungerlo. Le risposte sono arrotondate a sei decimali, e una successione geometrica può mandare in overflow l'aritmetica molto prima che n raggiunga il suo limite: 10 alla 300 va bene, 10 alla 6000 no, e quel caso viene segnalato come calcolo fallito invece che come infinito. La pagina risponde a due delle quattro domande che una successione solleva: qual è il termine n-esimo e quanto vale la somma dei primi n. Non fa il percorso inverso — dati due termini, risalire alla regola; data una somma, risalire a n — e non stampa unità di misura, perché una successione è un elenco di numeri.
Domande frequenti
- Che differenza c'è fra il termine n-esimo e la somma?
- Il termine n-esimo è un solo numero: quello che sta in posizione n, che per 3, 7, 11, … con n = 10 è 39. La somma è tutto quello che viene fino a lì messo insieme, che per la stessa successione è 210. Sono stampati su due righe separate perché rispondono a due domande diverse, e perché la somma è di solito quella che serve: un saldo, una distanza totale, un conteggio cumulato.
- Da dove viene la formula della somma?
- Dall'accoppiare i termini dall'esterno verso l'interno. In 3, 7, 11, … il primo e l'ultimo dei primi dieci termini sommano a 42, e così fa ogni altra coppia dello stesso tipo, quindi dieci termini fanno cinque coppie da 42: 210. Scritto in generale, è n per la media fra il primo e l'ultimo termine, n * (a(1) + a(n)) / 2. La somma geometrica ha una derivazione diversa e una forma diversa, ed è per questo che le due sono stampate separatamente.
- Il passo può essere negativo, zero o una frazione?
- Tutti e tre i casi. Una differenza comune negativa dà una successione che scende, come 100, 93, 86, … e una ragione comune negativa ne dà una che cambia segno, come 1, -1, 1, -1. Una ragione di 0,5 dà la successione che si rimpicciolisce del secondo esempio. I due casi da guardare due volte sono la differenza zero e la ragione uno, dove ogni termine è uguale al primo e la formula stampata si accorcia correttamente in qualcosa come a(n) = 6.
- La somma è il totale dell'intera successione infinita?
- No: è la somma dei primi n termini, dove n è il numero che hai inserito. Quella distinzione si vede solo con una successione geometrica che si rimpicciolisce, dove il totale in corsa si avvicina a un limite (16 per 8, 4, 2, 1, 0,5, …) senza mai raggiungerlo. Ogni tanto quel limite è proprio quello che serve, ma è la somma di una serie geometrica infinita: un calcolo diverso, con una formula diversa.
- Quanti termini posso chiedere?
- Qualunque intero da 1 a 1000. Il limite superiore non è arbitrario: una successione geometrica con ragione 10 arriva a 10^300 con n = 300, e qualche centinaio di termini in più andrebbe oltre il numero più grande che l'aritmetica riesce a tenere. Quel caso viene segnalato come calcolo fallito invece che come infinito, così ricevi un messaggio al posto di una risposta silenziosamente sbagliata.
- Perché la formula stampata dice a(n) invece di a con un pedice?
- Perché a(n) si legge in ogni lingua e con ogni carattere, mentre il carattere del pedice no: su alcuni sistemi viene reso come un quadratino vuoto. Il resto della notazione è quello usuale: ^ per la potenza, * per la moltiplicazione e le parentesi intorno a una ragione negativa, così la successione alternante si legge a(n) = (-1)^(n - 1) invece di sembrare un -1 elevato a n - 1 con il meno fuori.
Riferimenti
- Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
- Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
- OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)